DIAGRAMMES ÉLECTRIQUES

extérieur à S demeure la même; on pourrait établir une distribution analogue sur l'élément </o-' de S', .... La densité électrique de chacune de ces distributions est toujours

En appliquant le théorème de Green à une portion de tube limitée à deux surfaces équipotentielles, on reconnaît immédiatement que la quantité p dv dé ces distributions est invariable. Il en est de même si Ton considère un tube de lignes de force interceptant sur Iqs surfaces équipotentielles des surfaces finies.

Cette propriété des lignes de force est caractéristique ; elle nous sera utile dans la suite.

BIAfilAMMBS iLECniaUES. — Les diagrammes construits au moyen des surfaces équipotentielles et des lignes de force offrent une disposition analogue à celle des Cartes topographiques, sur lesquelles on flgure le relief d'un terrain à Faide des courbes de niveau et des lignes de plus grande pente : leur lecture est aussi aisée et leur emploi permet de résoudre graphiquement un grand nombre de problèmes d'éieclricilé pratique. Il importe donc de se familiariser avec leur usage. Nous en fournirons ici quelques exemples, auxquels se rapporte la PI, IL

I** Point unique, — Les surfaces équipotentielles ont pour équation

ce sont des sphères ayant pour centre le point A. Si Ton fait croître V en progression arithmétique» les valeurs correspondantes de r deviennent de plus en plus rapprochées à mesure que V est plus grand. Supposons notamment la charge m égale à 1, et donnons à V les valeurs

elles correspondent à r = 00 , i , J, i, |, . . . , o.

Les lignes de force sont des droites issues du point A. Les segments interceptés sur ces lignes par les sphères équipoten-

loo ÉLECTRICITÉ STATIQUE,

tielles sont d'autant plus grands, et par suite la force est d'autant plus petite, qu'on s'éloigne davantage du point A.

Pour donner au diagramme électrique toute la précision possible, il convient de faire partir du point éleclrisé un nombre de lignes de force proportionnel à la charge et de supposer celles-ci également réparties dans l'espace. Il résulte de là, pour les diagrammes plans, une difficulté que l'on écartera, d'après M. Maxwell, grâce à la convention suivante. On supposera que l'on fait tournei'Ie diagramme autour d'un axe XX' passant par le point A [fig. ai]. Dans ce mouvement, une dnriie

telle que A i, faisant un angle Si avec AX', décrit un cône ei intercepte sur une sphère, décrite de A comme centre avec l'unité pour rayon, une zone de surface 3 ir(i — cos5( ). Si l'on désigne par m la charge du point A, m étant un nombre entier, on placera, dans l'intervalle X\',m lignes de force, auxqudkï on donnera des directions 61 , di. ■ ■ ■ > ^at telles que

-cos9i)= -1—

an(i — cosflm

„lî=i

DIAGRAMMES ÉLECTRIQUES. loi

ie telle sorte que les zones comprises entre deux lignes coniécutives soient toutes égales à — de la surface entière de la

»phère. La dernière de ces lignes coïncide avec AX'. Lsifig. ai >e rapporte km = 8.

Au lieu de déterminer 6i, Ot, ... par les équations précédeoteSy il sera plus simple de construire graphiquement les droites A i , A 2, ...» en divisant le diamètre de Tun des cercles du diagramme en m parties égales, élevant en ces points des perpendiculaires à XX' et joignant au centre les points d'intersection avec la circonférence.

D'après un théorème précédent, relatif aux surfaces équipotentîelles (p. 98), le diagramme» construit pour un point électrisé, est encore exact pour un conducteur électrisé ayant la forme sphérique, et possédant une charge» égale à celle du point A, uniformément répandue sur sa surface.

1^ Deux points électrisés possédant des charges égales et de signes contraires. — Le potentiel, en un point dont les distances aux points A et B sont r et r', est

L'équation des surfaces équlpolenlielles est donc

Elles sont de révolution autour de la ligne AB qui joint les deux points. Leurs méridiennes sont en général des courbes du quatrième degré.

Suivant que r ^ r', le potentiel est positif ou négatif. Quand V est positif et très-grand, r est très-voisin de zéro; la courbe représentée par l'équation (10) se confond sensiblement avec un cercle ayant pour centre le point A . Pour V = o, on a r = r' ; réquation (10) représente une droite perpendiculaire au milieu de AB; pour des valeurs intermédiaires du potentiel, l'équation (10) représente des courbes ovoïdes, aplaties vers B et protubérantes en dehors. En attribuant à V des valeurs négatives, on retrouve en ordre inverse les mfêmes courbes enveloppant le point B.

Lesjig. I, a, 3 de la PL 11 sont destinées & montrer comment on peut construire graphiquement les méridiennes des surfaces équipotentîelles d*un système de deux points et les lignes de force correspondantes.

Occupons-nous d'abord des surfaces équipotentîelles [PI, 77, fig. 1 ). Le potentiel total V en un point est la somme algébrique du potentiel Vi relatif au point A et du potentiel V] relatif au point B :

V = V|-hV,-.

Traçons autour des points A et B les surfaces équipotentldles correspondant à des valeurs de V| et de Vs croissant en progression arithmétique. Soient, en particulier, deux de ces su^ faces, les sphères ¥,=/?, V2 = ^. Le potentiel à leur intersection a pour valeur

donc, sur le diagramme, la méridienne de la surface V^p-hq passe par tous les points d'intersection des cercles éqaipotentiels, tels que la somme algébrique (le leurs numéros d'ordre soit égale hp -h q.

On peut rapprocher autant qu*on veut la raison de la progression arithmétique, et par suite obtenir autant de points que l'on voudra de chacune des surfaces équipotentîelles.

Dans le cas particulier qui nous occupe, le potentiel relatif au point B est négatif, et Ton a tracé sur la figure les cercles correspondant aux potentiels i, 3, 4« ^» 6 et 7 fournis par le point A, — o., — 3, — 4, — 5, — 6, — 7, fournis par le point B. La surface de potentiel zéro passe par les intersections (3, — 3\ (4t — -4)>(^> — 5/f-> I21 surface de potentiel -f- 1 par {3, — 1 .

(4, ~3), (5,-4)» Dans la figure, les surfaces équipoien-

tielles de chacun des deux points sont tracées en pointillé, le> surfaces équipotentielles du système en traits pleins.

On voit sur la^g*. 1 [PI. Il) comment on trace les lignes de force. On attribue aux lignes de force de chacun des points A et B un numéro d'ordre; considérons le point d'intersection C de deux de ces lignes (fig. 22) possédant les n***p et q. La première limite sur la sphère, décrite du point A comme centre et pas-

DIAGRAMMES ÉLECTRIQUES. jo3

sant par le point d^intersection, une zone dep unités, c*est-à-

dire que, si l*on remplace le point A par une distribution

électrique eflèctuée sur cette splière, la zone CD limitée par AC

possédera p unités d'électricité ;

de même sur la sphère décrite du ^'S* ^^'

point B comme centre» avec BG

pour rayon, la ligne de force g

limite une zone CF à laquelle on

peut attribuer la charge g. Con- -f^ ^i^ ^

sidérons maintenant la surface

équipotentielle du système A et B passant au point C; on peut de même remplacer le système AB par une distribution d'électricité sur cette surface, de telle sorte que la zone CE correspondante comprenne/? unités d'électricité pour le point A, g unités pour le point B, en tout p-^ g unités. La ligné de force d'ordre p-^g passe donc par le point C.

On obtiendra autant de points que l'on voudra de cette ligne de force en prenant Tunité d'électricité assez petite pour que les points d'intersection soient très-rapprochés.

Dans le cas actuel, les lignes de force correspondant au point B, dont la charge est négative, doivent porter des numéros d'ordre négatifs. Dans la^îg^. 2 [PI, II)y les lignes de force de chacun des deux points sont marquées en pointillé, et celles du système en traits pleins.

L^ Jig. 3 (PI. Il) montre le diagramme complet dont les fig. I et 2 indiquent la construction. Dans cette figure et dans toutes les figures suivantes, les surfaces équipotentielles sont marquées en pointillé, les lignes de force en traits pleins.

3* Deux points électrisés possédant des charges de même signe, — On a

et les surfaces de niveau électrique ont pour équation

iii) — I — r =const.

io4 ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

Layîg-. 4 de la PI, 11 se rapporte au cas m = m'y \9Lfig. 5 au

cas m =4/w'(*)-

Pour de très-grandes valeurs positives de V les surfaces de niveau se dédoublent en deux nappes sensiblennent sphériques enveloppant les points À et B; pour des valeurs de V plus faibles, les deux nappes ressemblent à celles de surfaces de révolution ayant pour méridiennes des lemniscates; elles se réunissent en une surface dont la méridienne est une courbe enoo , et qui présente par conséquent un point nodal : c*estce quiseprésentedanslecasdelayîg-. 4(/*/./A)(/w= i!x,AB= la) pour une valeur entière du potentiel = 4> ©^ dans la fig, 5

5o (/w = 20, /w'=5) pour une valeur égale à -r^* Au delà les

surfaces équipotentielles se déforment encore et se rapprochent de plus en plus d'être des sphères quand on attribue à y des valeurs de plus en plus petites.

rfV Au point nodal, la valeur de -^ est indéterminée, mais la

force électrique est nulle. On reconnaît sans peine que ce point correspond à une position d'équilibre instable. Cest ce qui se produit chaque fois qu'une surface équipotentielle présente un nœud.

4** Deuai points ëlectrisés possédant des charges de signes contraires. — h^ifig, 6 [PI, II) se rapporte à ce cas, pour des valeurs de /w =: 20 et — yw' = — 5. Nous désignons ici par m' la valeur absolue de la charge négative du point B. Il est à remarquer que dans ce cas la surface équipotentielle de poteotiel zéro est une sphère entourant le point B; elle a pour équation

\ =0 ou — = — 7 •

La distance des deux points étant désignée par a, le centre C de la sphère est à une distance de B égale à — ; a, et son

rayon est — j— — -^ a. Ces quantités deviennent infinies pour

(*) Les/ig. 1, 3, 3, 5 et 6 de la PI, II ont été destinées d'après Maxwell.

DIAGRAMMES ÉLECTRIQUES. io5

m = m\ et en effet, dans ce cas, nous avons vu que la surface de potentiel zéro est un plan perpendiculaire au milieu de AB.

Toutes les surfaces équipotentielles intérieures à la sphère C ont un potentiel négatif, celles qui sont extérieures ont un potentiel positif. On remarquera que toutes les lignes de force parties de B vont se terminer en A, tandis qu'un nombre /ti — ni de celles qui partent de A vont se terminer à Tinllni. Nous verrons plus loin Timportance de cette observation.

Une remarque non moins importante, c'est que, puisque la sphère C est au potentiel zéro, on ne changera rien à la force exercée aux points extérieurs à cette sphère, si on la remplace par une surface conductrice en communication avec le sol. Celle-ci ne possédera alors aucune charge; mais, si Ton venait à supprimer la charge du point B, la sphère conductrice, soumise désormais à la seule influence de À, prendrait une charge déterminée, et le potentiel, nul en un point quelconque du conducteur, serait nul aussi dans son intérieur. À Textérieur, le potentiel serait partout le même que si le point B existait.

Il résulte du théorème de Green (p. 90) que la charge qu'il faut supposer répartie sur une surface équipotentielle entourant un point B électrisé, pour qu'elle produise à l'extérieur la même action que lui, est égale à celle du point. La sphère C posséderait donc une charge négative, égale à celle du point B. Nous verrons un peu plus lard Tutililé de celle observation pour rétude de l'influence d'un point sur une sphère [voir p. i3i).

5" Nous nous demanderons encore quel est le diagramme qui convient pour reprcsenler une portion de Tespace où la force électrique conserve partout la même grandeur et la même direction : c'est ce qu'on appelle un champ électrique constant. Le potentiel est alors une fonction linéaire des coordonnées, les surfaces équipotentielles sont des plans parallèles équidistants, et les lignes de force des droites perpendiculaires à ces plans et équidistantes entre elles; le diagramme se compose donc de deux systèmes de droites rectangulaires régulièrement espacées.

tLECTRIClTÉ STÀTIQUB.