PRESSIONS SUR LES LIQUIDES

exercées sur Tensemble des parois qui limitent le liquide dans un vasea)(«>'(«)*'a)*'(^g". 73).

Rapportons toutes les directions à trois axes coordonnés OXyOXf Oz, les deux premiers horizontaux et le dernier vertical. Décomposons la surface en éléments InGniment petits et considérons en particulier Tun d*eux o). Menons un cylindre parallèle a Taxe des x ayant 6) pour base et découpant sur la surface opposée un second élément &)^ Comme u et &/ sont au même niveau, ils éprouveront des pressions normales ptù, p(ù', p représentant la pression sur l'unité de surface à ce niveau.

Si nous désignons par a et a' les angles que forment les normales aux éléments o) et oi' avec la direction de Taxe des x, les pressions précédentes ont, parallèlement à Taxe du cylindre, des composantes /7(k>cos«,/?a)'cos a'. D'un autre côté, la section droite du cylindre est représentée par &> cosa et —«'cosa'; comme elle est constante, «cosa— —ûj' cosa', et, par suite, /?û) cosa -h/? w' cosa' =0, ce qui veut dire que les composantes parallèles à Ox des pressions en w et w' se détruisent.

Or, on peut décomposer toute la surface du vase en couples d'éléments tels que w et w', et sans qu'un même élément se trouve compris deux fois dans cette décomposition. Donc la somme des projections de toutes les pressions sur Taxe des x est formée de quantités qui, prises deux à deux, donnent une somme nulle. Cette résultante est donc nulle.

On peut mener de même par w, parallèlement à Taxe des x^ un cylindre qui découpera sur la paroi opposée un élément w", et Ton démontrera de même que les composantes de ces pressions parallèles à 0^ seront égales, parallèles et directement opposées. On aura ainsi réalisé une nouvelle décomposition de la paroi en éléments, tout à fait indépendante de la première et comprenant la totalité de la paroi sans aucun) double emploi;

uo HYDROSTATIQUE.

par suite. la rêsultanie suivant l'axe des y est nulle, et il ne

uuus reste à considérer que les composantes verticales.

Menons encore un cylindre uo>* parallèle à Oz; les pressions /*./>' sur l'unité de surface aux niveaux passant par ueiu* sont égales aux poids de colonnes liquides ayant l'unité pour base et la distance au niveau supérieur pour hauteur; les pressions normales aux deux éléments sont en valeur absolue/'u ety/u', et leurs composantes verticales sont en grandeur et en signe ^N cos/ ex—p'ia' cos/; ucos)' et — w' cosy' sont encore égales enireellesetàla section droile^du cylindre. La somme algébrique des pressions verticales sera dès lors numériquement égale à \p—p')i et dirigée de haut en bas, c'esi-à-dire qu'elle sera égale à la dilTérence des poids de deux colonnes contenues dans le cylindre tracé et ayant pour hauteur les distances de u et u' au niveau ; ce sera, par conséquent, le poids de la colonne {>>&>'. Il en est de même si le cylindre se termine ii ta surface libre du liquide, car alors la composante verticale Pucos)', qui est seule à considérer, représente le poids du liquide contenu dans le cylindre. Si l'on répète le même raisonnement pour tous les éléments de l'enveloppe du vase, toutes les composantes verticales se réduiront à une force unique égale au poids du liquide. Le mode de démonstration que nous venons d'employer, n'impliquant aucune hypothèse

Fis- 7i

compressîbîlité du liquide, sera applicable à un lluide quelconque.

Donc, si l'on place sur le plateau d'une balance un vase de forme arbitraire contenant un liquide, la charge de la balance sera égale au poids du vase, augmenté du poids du liquide. C'est ce que l'expérience la plus vulgaire nous apprend chaque jour.

On s'explique aussi comment la pression sur le fond plat d'un vase rétréci \ /'#.'■ T î' peut être supérieure au poidsd'un liquide contenu dans li> Mise, tandis qu'elle lui est inférieure dans le cas d'un vase rliu'iti. Los parois étant solidaires, la balance reçoit la résultante lie lomos les pressions; elle ne recevrait que la pression sur

PRINCIPE D'ARCHIMÈDE. i4i

le fond si celui-ci était détaciié du reste du vase comme dans l'expérience de Pascal (voir p. i3o). Cette contradiction apparente est connue sous le nom de paradoxe hydrostatique.

flUCIPB yâHîHIltog. ~ En appliquant le principe de la composition des pressions, on est conduit à un autre résultat théorique de la plus haute importance. Imaginons que l'on plonge dans un fluide un corps de forme quelconque et que l'on cherche la résultante des pressions qu'il éprouve sur tous les éléments de sa surface ; le même raisonnement va s'appliquer et la même flgure peut servir. On considérera encore sur la surface du corps immergé des éléments tels que u, &>', ta", tù"^; les pressions qu'ils subiront seront égales & celles que nous venons d'exprimer, mais auront une direction opposée; par conséquent, toutes leurs composantes horizontales se détruiront encore, toutes leurs composantes verticales se réduiront à une force unique égale au poids d'une masse liquide qui remplirait le volume immergé et agissant en sens inverse de la pesanteur. Cela revient à dire que tout corps plongé dans un fluide éprouvera une pression résultante unique, égale au poids du liquide déplacé, appliquée à son centre de gravité et poussant le corps de bas en haut.

Ce principe, découvert par Archimède ( • ), qui en avait fait la base de l'Hydrostatique, fut complètement oublié au moyen âge et découvert de nouveau par Stevin {^), Le raisonnement

('^ Le Traité d'ArchimèdG avait pour titre Traité des corps flottants. Il fut retroiiTc en i5{3 par Tartaglia, qui en donna une traduction on latin fort incorrecte; le texte exact a été publié plus tard par Commandin.

(*) Le Traité d'Hydrostatique, do Stevin, a été publié en i586. Stevin appelle vasiforme un vase dont les parois sont d'épaisseur et de poids nëfjligcablcs. Voici, d'apKt M. Thurot {Recherches historiques sur le principe d'Archimède, dans la Revue archéologique, 18^8-69) lo texte de sa démonstration:

• TlUoBiaE I. - L'eau proposée tiendra telle position que l'on voudra dans l'eam,

• Soit, dans le vasiformc, a l'eau proposée mise dans l'eau bc. Il faut démontrer que l'eau a demeurera là. Si l'on pouvoit faire autrement, assavoir que a ne demeorast là, mais qu'il deseendtt où d est, alors l'eau qui survient en son lian descendra plut bas pour la même raison, et ainsi du reste, tellement que cette eaa sera en perpétuel mouTement à cause de a, ce qui est absurde. Et l'on demoDttren pareillement que a ne montoit ni ne se mouToit vers aucun

i4a HYDROSTATIQUE.

synthétique par lequel ce dernier justifiait le principe d'Archimède est intéressant à connaître; il revient a peu près à ceci. Isolons par la pensée, dans un vase plein de liquide, une masse terminée par une surface quelconque; elle est en équilibre et ne tombe pas : il faut donc admettre que son poids est détruit par la réaction du li- Fiff- 75- quide qui Tentoure, c'esl-

à-dire qu'elle est soumise à des pressions dont la résultante est égale et directement opposée à son poids. Or ces pressions sont indépendantes de la nature de la surface; leur résultante sera donc la même pour tous les corps plongés qui auront la même enveloppe que la masse liquide qui vient d*être imaginée; elle sera donc toujours égale et contraire au poids de cette masse, c'est-à-dire au poids de Teau déplacée. Ce raisonnement est applicable à toute espèce de fluides, compressibles ou non.

Pour démontrer expérimentalement le principe d'Archimède, dans le cas des liquides, on prend un vase cylindrique de cuivre A [Jiff. 7')) et un noyau de métal B ayant un volume extérieur

costé, et qu'elle demeurera où on la mettra, soit en d, e^fou g^ ou en autre lieu dans l'eau bc.

« Théorème VI Ï. — Tout corps solide est plus léger dans l'eau qu'en l'air de la pesanteur de l'eau égale en grandeur à icelujr.

« Soient a un corps solide et bc l'eau, soit d un vasiTorme pareil à a. Le rasiforme d plein d'eau n'est dans l'eau bc pesant ni loger, veu qu'il so peut tenir où on le met par la première proposition : par quoi vuidant l'eau </ et y mettant le corps a qui y conviendra, il se trouvera estre de la légèreté mentionnée, assavoir la pesanteur de a moins de la pesanteur de l'eau ruidée... {Journal de Physique de il. d'yilmeida, t. 1, p. 4;.)