PRINCIPE D'ARCHIMÈDE
égal à la capacité du vase» condition que Ton vérifie en enfonçant le noyau dans le cylindre et reconnaissant qu*il le remplit exactement. On accroche le vase A au plateau d'une balance» le noyau B à la base du vase A, et, après avoir équilibré par des poids P ce système suspendu, on le descend dans un vase plein d'eauy en faisant jouer la crémaillère qui soutient la balance. Aussitôt que l'immersion commence, le système se relève et l'équilibre est rompu; il faut donc que le liquide exerce sur le noyau plongé B une action de bas en haut : il y a donc une poussée. Pour la mesurer, on augmente le poids du système en versant de l'eau dans le vase cylindrique A; Téquilibre est rétabli quand il est plein et que le noyau est entièrement plongé, d*où l'on conclut que la poussée qu'éprouve ce dernier est égale au poids d'un volume d*eau égal au sien.
Voici maintenant un corollaire forcé de ce principe. Plaçons sur Fun des bassins d*une balance un vase plein d'eau ^*^* '^'
et à côté de ce vase un solide quelconque, puis équilibrons le tout. Si nous venons ensuite à mettre le solide non plus à côté, mais dans le vase, nous ne détruirons pas réquilibre :
rexpéricnce journalière le prouve. Or, puisque le solide, en pénétrant dans le liquide, perd un poids égal à celui de Tcau déplacéo, il faut que celle-ci gagne ce qu'il perd, ou qu'elle éprouve une poussée de haut en bas égale à celle qui chasse le solide en sens inverse.
Pour confirmer expérimentalement cette conséquence, nous renverserons l'expérience précédente; nous suspendrons le même système à un support Vixe C (Ji§^. ^6), et nous équilibrerons sur la balance le vase de verre où se fait l'immersion ; nous le relèverons avec la crémaillère, et nous verrons aug-
lueiiter son poids aussitôt que le no^^au B plongera. Pour rétablir réquilibre, on puisera de Teau dans le vase de verre, on la versera dans le cylindre A, et, quand il sera plein, le fléau sera redevenu horizontal.
L^explication théorique de ce fait est très-simple. Quand on plonge un corps solide dans Teau, on élève le niveau, et par conséquent on augmente les pressions dans le vase de la même quantité que si Ton y ajoutait un volume de liquide égal à celui que ce corps plongé déplace. Cela revient à dire que le poids de cette eau s^accroît de celui du liquide déplacé.
On peut encore invoquer le principe de Taction et de la roaction et dire généralement que, si le corps plongé éprouve une poussée de bas en haut, Teau doit subir une réaction égale et contraire.
Le principe d'Archimède explique les divers effets qu'éprouve un corps quelconque quand on le plonge dans un liquide. Supposons, pour plus de simplicité, que le corps est homogène : il est soumis, à deux forces appliquées à son centre de gravité et de directions contraires, son poids et la |HUissoo du liquide. S'il est libre, il pourra ou s'élever, ou éli*t^ (Ml équilibre, ou s'abaisser.
Soient i' le volume commun, d eicf les densités du corps et du liquide déplacé; vd est le poids du corps ou la force qui tond à le faire tomber, vd' est la poussée, c'est-à-dire la force qui agit pour rélover, et i'{d—d'] exprime leur résultante. Si </ est plus grand que rf', le corps tombera; si d est égal à d', il sera en équilibre, et, quand d sera inférieur à d\ il montera. Nous allons examiner ce qui arrive dans quelques cas.
001P8 FL0TTAHT8. - Quand le corps plongé a la même densité que le li(iuidc, il se tient en équilibre dans la masse. On ivallse aisément cette condition. Un œuf, par exemple, a une densité plus grande que celle de Teau, mais plus petite que celle de l'eau saturée de sel; il enfonce dans l'eau, surnage sur l'eau saturée et se tient en équilibre au milieu delà masse d'un mélange convenable des deux liquides. L'huile peut également H(« soutenir dans un mélange formé d'eau et d'alcool en nropurllons déterminées; elle se présente alors sous la forme
COftPS FLOTTANTS. i45
il reste immobile : noiu revlenAm»' sur cette expérience.
ât la dt;iisilé du corps p]on|;é est m<riiidre que celle du liquide, il s'élève. Tant qu'il est eQtiéremeDt immergé, U est pousse par une Torce constante et suit les lois du mouvement unirormém(>Rt accéléré; quand il atteint la surbce, il a une vilcss*; acquise et sort du liquide. A partir de ce mcHneot, le \olume déplacé diminue ainsi que la poussée, pendant que le poids du corps reste le même, et il anire un instant où, la poussée et le poids devenant égaux, l'équiUbre démit avoir lieu ; innis, en vertu de la vitesse acquise, le coi^s dépasse cette position pour y Mre ensuite ramené par son poids et s'y Tuer îipn-s une serin d'of^cillntinns. Ainsi les coips de moindre dcnâiié que lc:i llqiiiili's lm'i 11^ plongent s'y- maintiennent en équilibre en partie immet^és, en partie émergés, et cet équl- Uue exige, comme première condiUoD, que le corps déplace un poids de liquide égal au sien.
Le poids du corps étant toujours appliqué à son centre de gravité G (Jig;. 77 ), ei la poussée au centre de gravité P de la
FiB- :?-
partie immergée, il faut non-seulement que ces Torces soient égales, mais encore qu'elles soient opposées^ de là une se- ' conde condition d'équilibre : c'est que les centres de gravité du corps total et de la partie plongée soient sur une mômeligne verticale. D'où il résulte qu'une sphère homogène sera en équilibre quelle que soit sa position, un ellipsoïde quand l'un quelconque de ses axes sera vertical; un parallélépipède droit à base rectangulaire quand l'un de ses trois systèmes d'arêtes sera verUcal.
J. al B. — I. i> rue. 10
i46 HYDROSTATIQUE.
COHDinOllS DE STIBILITÉ. — Il faut en troisième lieu que réquilibre soit stable, c'est-à-dire que les forces auxquelles le corps est soumis soient dirigées de manière à le ramener à sa position initiale quand on Ten a écarté très-peu. Supposons, par exemple, que la ligne PG [fig. 77) s'incline en P'G'; le centre de gravité se placera en G' ; mais le centre de poussée aura pris une position nouvelle P*, puisqu'il est le centre de gravité de la partie immergée et que celle-ci a changé. Alors le corps est soumis à Faction de son poids, qui agit en G' de haut en bas, et de la poussée, qui agit en P"" de bas en haut : il en résulte un nouveau système de forces qui tend, dans la position indiquée parla figure, à éloigner le corps de sa position primitive; il y était donc en équilibre, mais en équilibre instable. Le point M où la verticale passant par P'^ rencontre la ligne G'P' se nomme le métacentre, et il se trouve ici au-dessous du centre de gravité. Mais, si le nouveau centre de poussée était en P*' au lieu d'être en P'', les deux forces concourraient à ramener le corps à sa position première; dans ce cas, le métacentre serait en M' et au-dessus du centre de gravité. On voit donc que Téquilibre sera instable ou stable, suivant que le métacentre sera au-dessous ou au-dessus du centre de gravilé.
Pour élucider ce point par un exemple, nous supposerons que Ton ait une planche plate, taillée sous la forme d'un parallélépipède rectangulaire droit. Si on la couche d'abord horizontalement sur le liquide dans la position AB [fig. 7H), le
Fig. 78.
centre de gravité sera en G, le centre de poussée en P, et, ces deux points élant sur une même verticale, l'équilibre aura lieu. Que l'on vienne maintenant à incliner la planche dans la position A"B", le centre de poussée se trouvera en P'', le métacentre en M, sur la ligne D''^, au-dessus du centre de gra-
LIQUIDES SUPERPOSES. M?
iSé 6, Ot le corps reviendra à son équilibre. Si ru contraire on *frit i^aeé verticalement la planche en une antre poriticm d'éqidSbre A'B*, et qu'on i'eâi inclinée ensuite en A'B*, le méta- •Mre eût été sur la rencontre de HP* avec A* B' en H'; il eût été phcé Ru-dessous du cenu% de gravité, et l'on voit que le i^jsiïme des deux forces appliquées en G et en H' tend i éloi- 91er le corps de sa position prîmttîve A' V pour' le coucber à ftKt sur le liquide dans la situation AB.
urniMI SOPDMttS. — Quand on aura mêlé du mercure et de l'eau dans un même vase en les agitant, et qu'ensuite on les laissera reposer, chaque gouttelette de mercure disséminée au milieu de l'eau tombera au fond du vase; chaque particule d'eau emprisonnée dans le mercure s'élèvera, et bieiildt les deux liquides seront séparée. Que l'on mêle de l'huile avec de l'eau, l'huile, qui a une moindre densité, montera au sommet, et si l'on avait mélangé ces trois liquides entre eux, ils se seraient séparés deux-mêmes par le repos et se seraient superposés par ordre de densité.
La surface de séparation de deux des liquides est plane et horizontale. Considérons {fig. 79] deu\ plans horizontaux M et M', si- ^'B- salués dans chacun des liquides et ca- i,- ^-
raciérisés par les valeurs p el p' de
la (ircssion. Soit H leur distance. Par n — „-| —
un point quelconque m du plan M {
menons une verticale qui rencontre " «
M' en m' et la surface de séparation
en un point n, où la pression rapportée à l'unité de surface est
c. On a dans le liquide inférieur
/> = ra -H hd, dans le liquide supérieur
m = p'+{R-h]d'; ajoutant membre à membre, il vient
p=p'-hRd-i-{B~h]<i\ p-p-Hd' = /i{d-d'].
iis
Le premier membre de cette équation est indépendant de la pos!4iiou que le point m occupe dans le plan M; donc le second Tesl aussi. Si rf — rf' est différent de o, on a donc h = const. el Itt surface de séparation des deux liquides est plane et horizontale. $i</=c/% le premier membre est égal àoet estquelconque. ta forme du liquide est alors déterminée exclusivement par les actions capillaires, dont nous faisons actuellement abstraction.
tes deux plans M el M' pouvant toujours être pris assez voi- :!iius i un de Tautre pour que les poids spécifiques d et d* ne varient pas sensiblement dans Tintervalle compris entre ces plans et U surface de séparation, la proposition est applicable aux Duides compressibles aussi bien qu*aux liquides communs.
TâSSS CQHHUnCAHTS. — Nos théorèmes sur Féquilibre des liquides sont indépendants de la forme des vases. Toutefois, en établissant la formule fondamentale (p. i3i .et i34), nous suous supposé que la droite qui joint les centres de gravité a et ft
des deux éléments que l'on compare est entièrement comprise dans le liquide, ce qui n'a pas toujours lieu. Pour écarter celte reslriclion,joignonsael6(y?g^. 80) à travers le liquide par une ligne polygonale brisced'un nombre de côtés suffisant pour qu'entre deux sommets quelconques, <? et /par exemple, la densité f//f du fluide puisse être considérée comme iMVtuInblo. Soient alors cj,/i,cî« les pressions rapportées à Tunité k\k^ surface en e et /, hn la difTércncc de niveau comptée posi- (iMMUiMitde haut en bas, négativement en sens contraire; on a
Kiff. 80.
XSn — UJ,i-i -+- hndu'
|)(» nir»mo, à partir de a, où la pression est p^ jusqu'au //i'"" sommet />, où la pression asi p\ on a les équations
xrj\^^ p -h hidiy
THj ^1^ GTi -T- /l'iCl*,
P' — ^//<-i -H h m dm 9
TASB8 QOMMUNICANTS.
c^«8t-è-dire que la pression en b est égale à la pFessIon en a nmwée ilO poids d'une colonne liquide ayant pour base l'uihé, pour hauteur la différence des niveaux de a et de b, et pour densité en chaque point la densité du liquide. Cette cooclusion est identique à celle que nous avons obtenue page i33, et n'est plus soumise qu'à une seule .restriction : c'est que la ctHidDuUé du liquide ne soit nulle part interrompue entre les points a et 6 que l'on compare.
â le liquide est incompressible, la densité d est constante, et la formule ( a } peut s'écrire
ou, eo appelant désormais h la différence de niveau totale,
(3) p-=p + hd,
tonnule identique à celle de la page i34. Dans tous les cas, il résulie de la Tormute ( 3 ] :
I* Que la pression au même niveau (2A(/:==o] est la même dans deux vases communicants ; i* Que, s'il y a dans chacun d'eux une surface libre confinant
i5o HYDROSTATIQUE.
à la même atmosphère, les deux surfaces libres sont dans un même plan horizontal.
On vérifie celle proposition à Taide du cathétomètre et de Tappareil représenté ^g*. 8i. C'est un vase A mastiqué sur une garniture métallique à robinet C,à laquelle on peut adapter des tubes de dimensions ou de formes différentes.
CAS DE DEUX-LKHUIDES. — Quand deux vases communicants
contiennent des liquides de différente densité, par exemple du mercure en CD, de Teau en DA (fig, 81), on peut appliquer le
théorème fondamental à la surface de sépa-
1 , ration I), qui appartient à la fois aux deux liquides. La pression en D^ abstraction faite de la pression atmosphérique, est égale au poids d'uHe colonne de chacun des liquides ayant respectivement les hauteurs h et h'.
Quand les liquides peuvent être considérés comme incompressibles, on a, en désignant par d etrf' leurs densités,
hil^h'd' ou -!-==T,5
les hauteurs au-dessus de la surface de séparation sont en raison inverse des densités. Cette proposition se vérifie à l'aide du cathétomètre.
ÉaUILIBBE D'UH LiaUIDE DiCOMPBESSIBLE SOUMIS A DES FORCES OUELCOHOUES. — Le cas le plus général de l'Hydrostatique est celui d'un liquide soumis à des forces variables en grandeur et en direction d'un point à un autre de sa masse. Les trois composantes X, Y, Z de la force agissant en un point A, rapportées à l'unité de masse du liquide, sont, en général, des fonctions continues des coordonnées a:, ^, z de ce point et de la densité p, et il en est de même de la pression qui, d'après le principe de Pascal, est la même autour du point A dans toutes les directions. Nous n'étudierons que le cas où la densité p est invariable.
Considérons un parallélépipède infiniment petit, ABCDEFGU
ÉQUILIBRE DES LIQUIDES. i5i
. > > limiié par trois plans parallèles aux plans coordonnés
j Imiii les arêtes sont ix, ix, iz, le volume ixiyix et la
ui.ir--e po.rorôj. La force agissant sur cet élément de volume a
l-Hiir composâmes n
Fig. 83.
/^fâ^y^âl
pYixixàZf
pZ dxdx^^
et doit donner, avec les pressions appliquées aux six faces du cube, une résultante nulle.
Occupons-nous d'abord des forces parallèles à Ox, La pression sur ABCD
est p dj3z ; sur EFGH, — {p-hip) dy-dz. Ces pressions sont parallèles à Taxe des x; leur somme — ipiyiz doit donner avec la composante p\àxiyiz une résultante nulle. On a donc
ô/; — pXâj", et à la limite
/4— pX;
on aura de même, en considérant les faces CBFG, DAEII d'une part, AEFB, DIIGC d'autre part,
•>) //,•== pY,
Les équations (i), (2), (3) expriment les conditions de l'équilibre. Posons
Les équations (i), (2), (3) établissent que les composantes de la force sont les dérivées partielles d'une même fonction
des coordonnées du point A.
On appelle surface de lUi^eau une surface telle que la pression ait en tous ses points la même valeur;
p=f[x,y,z)Tzza
i5a HYDROSTATIQUE.
esi donc l'équation générale des surfaces de niveau. On voit sans peine que deux surfaces de niveau ne peuvent se renconirer, puisque à une valeur donnée de Xy y, z ne peut correspondre qu'une seule valeur, de/.
Les composantes X, Y, Z de la force agissant en un point sont proportionnelles aux dérivées partielles de la fonction /; il en résulte que la direction de la force est partout normale aux surfaces de niveau.
Nous signalerons deux exemples :
1* Équilibre d'un liquide soumis à la pesanteur seule, — Nous prendrons pour axe des z une droite verticale, pour axes des X et des y deux droites rectangulaires, prises arbitrairement dans un plan horizontal. On a
[ibis] X = o,
{•ibis) Y=o.
La force verticale Z agissant surTunité de masse est {-ibis) Z='-^p',= g,
d'où, remontant à la fonction primitive et désignant par/?' une constante,
p = pgz-^p'.
Soit d le poids spécifique pg :
p=p' -^ zd.
C'est notre formule fondamentale de la page i^^; p' désigne la pression dans le plan des xy pris pour plan de comparaison.
Dans le cas actuel, les surfaces de niveau sont des plans horizontaux
z = const.
En particulier, la surface libre est plane et horizontale
^* Équilibre d'un liquide tournant autour d'un axe vertical. — Nous ramènerons ce cas à la considération de l'équilibre par l'introduction d'une force centrifuge, conformément aux observations de la page 56.
ÉQUILIBRE DES LIQUIDES. i53
Soient <ki la vitesse angulaire de rotation, r la distance d*un point A à Taxe vertical Oz. La force centrifuge en A rapportée àTunité de masse est tù^r; elle est dirigée suivant le prolon-
Fîg. 84.
gemeni du rayon OA. Ses composantes suivant Ox et Ox sont
[tier]
, -2 ter I
Y=-y.>=:«vi=o,''r,
La pesanteur fournit la composante verticale
i 3 ter I
En remontant à la foncXion primitive, on a
P est une constante. C'est la pression au point de Taxe pris, pour origine.
L*équation des surfaces de niveau est
£^ ( J?2 4- j2 ) } p ^g. ::::: COUSt.
Cest réquation d'une famille de paraboloTdes de révolution. La surface libre du liquide est elle-même un paraboloTde.
i54 ÉQUILIBRE DES GAZ.
