FORMULE BAROMÉTRIQUE

Supposons pour un instant que les couches atmosphériques soient à une température constante /, que nous les divisions en tranches très-minces ayant une épaisseur commune égale à iXf que leur distance au centre de la Terre soit exprimée par x, que la hauteur du baromètre à la distance x soit H, enfin que Tintensité de la pesanteur soit la même à toutes les altitudes. Dans la couche comprise entre les distances x eix-^ ix, la diminution de pression sera égale àdH; par conséquent, une étendue donnée de cette coucne d*épaisseur ix aura le même poids qu*un cylindre de mercure de même base dont la hauteur est égale à dH; le rapport de la densité de cette couche d*air à celle du mercure sera donc

ix'

D'un autre côté, la pression dans la couche considérée est égale à H et la densité de Tair est proportionnelle à cette pression, d'après la loi de Mariette, dont il sera question plus bas, tandis que la densité du mercure est constante. Leur rapport peut donc se représenter par CH, C étant une constante qu'il faudra déterminer; on aura, en égalant les doux expressions

de la densité de Tair,

dïl

— • fil

- " -^ Cil ' ' ^

ox En passant à la limite, ^, - devient la dérivée de H considérée

OJl/

ioinnic fonction de la distance .r, et, en remontant à la fonction primiiive, on obtient

n = iio^-^'.

Ce résultat montre que, si les hauteurs x augmentent comme le- termes d'une progression arithmétique, les pressions II décroissent en progression géométrique.

^') Quand les deux stations sont assez rapprochées pour qu'on puisse uê- Qlijer la variation de la densité do l'air dans leur intervalle, on applique directement la formule ^i) au calcul de ox^ en remplaçant C par sa valeur approchée

I n , 00 1 39^ 0"», 76 i3,iy<J

i8o BAROMÈTRE.

Considérons en particulier deux couches à des distances et â; + X dont la différence de hauteur est X; appelons Heik les pressions correspondantes. Nous aurons, en prenant les lo— garithmesy

logH=logHo — Ca?log^,

logA = iogHo— C(X-f-a?)loge;

en retranchant,

logH — logA = ex loge;

enfin, en remplaçant loge par le module H des Tables logarithmiques,

Il ne reste plus qu'à remplacer C par sa valeur , et la formule précédente permettra de trouver la différence de hauteur X quand on connaîtra les pressions H et /t aux deux stations.

Nous avons représenté par CH la densité de Tair relativement au mercure, c'est-à-dire le rapport du poids de i" d'air au poids i3«',596 d'un é^al volume de mercure à o*». Nous déterminerons dans la suite le poids d'un volume quelconque d'air; nous démontrerons qu'il varie avec la température t, avec la pression H, avec la force élastique F de la vapeur d'eau qu'il contient, et qu'il est proportionnel à l'intensité de la pesanteur au lieu où il est placé. En réunissant tous ces éléments de variation, nous trouverons que i" d'air atmosphérique pèse, au niveau de la mer,

H-gF

o«', ooi 202*73 (i — o,oo2552 COS2).) -.— - — 7i>

formule dans laquelle X représente la latitude du lieu et a le coefficient de dilatation de Fair. En divisant cette expression par 13,596, nous aurons la densité CH de Tair par rapport au mercure, et par suite la valeur C. En substituant cette valeur

FORMULE BAROMÉTRIQUE. i8i

dans réquatkm qui précède» nous trouverons

0,434^^^ X o»ooiaga73

X{n-o,ooa55acosa>) ^-r, logT"

= 18401" (1 + 0, ooa552C0saX] jT^'^By

Cest la formule de Laplace.

Telle serait la formule barométrique si les conditions que nous avons supposées se réalisaient» c'est-à-dire si l'air avait enxte les deux stations une même température /» s'il contenait la même proportion de vapeur» et aussi si l'intensité de la pesanteur n'éprouvait aucune variation entre les deux points où Ton observe. En fait, aucune de ces circonstances ne se réalise» et la formule que nous venonç d'écrire devra se modifier. Heureusement toutes les corrections qu'il faudra lui faire subir seront très-petites; nous allons indiquer la marche des calculs qui restent à faire.

i^ La tension F de la vapeur n'est pas la même aux deux stations^ et Ton ignore la loi suivant laquelle elle varie de Tune à l'autre. Mais, comme F est très-petit, on peut sans erreur sensible négliger son influence et prendre le dénominateur

I — 7j u comme égal a Tunité.

a* La température n'étant pas la même aux deux stations et la loi de sa variation étant inconnue» on remplace t par la

moyenne des températures observées.

3** Le coefficient a est égal à OyOo366 ou approximativement

^ ^ ; dès lors, le terme i + at deviendra 1 • ^

4* Il faut encore tenir compte de la variation de Tintensité

de la pesanteur à mesure que l'on monte dans l'atmosphère. On

connaît la loi de son décroissement, on peut donc en calculer

l'effet» et l'on reconnaît qu'il se réduit à multiplier par un fac-

i8a BAROMÈTRE.

leur très-peu différent de Tunité le coefficient numérique de la formule.

En résumé, il ne reste plus qu'à savoir la valeur exacte de ce coefficient, et Ton voit que pour l'obtenir il faut connaître séparément beaucoup d'éléments qu'il est difficile de mesurer. Quand Laplace publia sa formule, on ne connaissait avec exactitude ni le poids de Tair ni celui du mercure. Il était dès lors plus simple d'accepter comme vraie la forme de la fonction précédente et de calculer le coefficient d'après l'ensemble de quelques observations barométriques faites à des hauteurs connues. Celte méthode donna 18393" ; ce nombre diffère peu de 18401, valeur calculée ci-dessus et de i84o5 qui a été adoptée depuis et que nous admettrons ; la formule barométrique définitive sera donc

(3) X = i84o5'"(i -H OjOotiSSacosaX) I H — - ^^|'^8"r'

Pour faire avec succès une mesure de hauteurs par ce procédé, il faudra choisir un temps calme, afin d'être assuré que l'atmosphère est aussi près que possible de son équilibre, et faire simultanément deux observations au sommet et au pied de la montagne qu'on veut mesurer. Après avoir ramené les hauteurs U et// à ce qu'elles seraient si le mercure du baromètre était à o®, on calculera X;ces sortes de mesures sont exactes à quelques mètres près.

Quand on connaît la hauteur X d'un lieu au-dessus du niveau de la mer, et que l'on a mesuré la hauteur barométrique A, on peut se servir de la formule précédente pour calculer H, c'està-dire pour réduire la pression à ce qu'elle serait au niveau de la mer.