lia loi de la proportionnalité des forces instantanées

aux vitesses, indique que les forces accélératrices constantes

sont proportionnelles aux vitesses qu'elles fékraieJit acquérir

dans le même temps à unméme corps. Ainsil'onpeutprendre

pour mesure d'une force accélératriceconstante, agissant sur

Tunîté de masse , l'accroissement g de vitesse qu'elle occar

sione dans l'unité de temps -, ce qui revient à prendre pour

Unité de ce genre de force 9 celle qUi augmenterait de

l'unité de longueur la vitesse de l'unité de masse, dans

l'unité de temps. D'après cette. convention, l'équation

' /?/* fie

e===2>. donnant g- == ~ ^ on peut conclure qu'une force

a^^célératrice. constante* est égale au double de l'espacç qu elle fait parcourir à l'unité de m^ssc , divisé pai: le carré du temps employé.

m^^ss^^rr^^^

29. Lorsqu'un corps , ani^ii^ d'unagvitesffe îqitiale 4 9 e$t sùpms k Taction d'me forcç continua agi^sa^t eu sea« C(»DtFaire dp son iiiouvfBfQeiit prinpitif , la vitesie de çiQ corps Y^ eu dimiauaut , ^% la forpe ^t dîtç r^ié^rdatrhe^ Si cette fbrpç est constantes 1 la ¥itas9e u diminua propor<tîomieUement au temps , et est do^n^ par Tëquation v=sa — gt; on trouve alors que l'espaoe parcouru e, coippté à p^^ir du point où la vitesse était 4 , doit ^tre

e = at — — . Au bout du temps t =; - la vitesse est

d^tndte , et Fespace est égal à — . Si, après cette époque,

la force agît toujpurs, elle entraîne le corps d'un mouve*^ mfpt miifprmément accéléré , en restituant succe^siv^nent 9 la vitesse les élémens qu^elle lui avçdt eplevés. Au bout

d'un autre intervalle de temps égal à t ou à - , le nouvel

espace est e

SU

on ç =3 — , et la nouvelle vitesse

vz=zgx =^a^ en sorte que le corps est retourné à sa position primitive , et «l recouvré sa vitesse initisje » mais dans im sens çontrairie*

3o. liorsqu^uu corps, lié par im fil inextensible à un Force ppîpt fee Cf décrit d'uu mouvement uniforme la ciiw <*°*"%« c^féfeBce du <^rcle dont C est le centre* et C!\I le rayon, il doit nécessairement éprouver à ql^aque instant , et dans la direction du fil , une impulsion qui lui fait quitter la tangente au cercle, où il tend à se mouvoir en vertu de son Fig. 5^ ii)ertie,pour le ramener sur la circonférence, La somme de ces impulsions est une force continue , de la nature des fefces accélén^trice^ constimtes', olle p^ut être, cegardée

comme dëtruisant les impulsions d'une force contraire , qui sollicite le corps à s'éloigner du centre , et qui l'en écarterait effectivement si le fil- venait à se rompre. Cette dernière force, qui porte le nom Ae force centrifuge^ détermine la plus ou moins grande tension du fil, et la quantité de résistance que doit opposer le point fixe pour que le mouvement proposé puisse avoir lieu.

L'intensité de la force centrifuge dont il s'agit , peut se déduire de Feffet produit par la force centrale, qui lui est égale en valeur absolue. Si le corps , arrivé en M avec sa vitesse sur la courbe, cessait d'être lié au point fixe, il décrirait sur la tangente au cercle, pendant un temps très court t, un espace MT-, d'un autre côté, si le corps parvenu en M sans vitesse acquise éprouvait l'action d# la force centrale , il parcourrait d'un mouvement varié , sur le rayon CM [et dans le jméme temps t, un espace MP. Or, il résulte de la loi de la proportionnalité des forces aux vitesses , que lors de l'existence simultanée de la vi~ tesse acquise et de la force centrale, le corps doit décrire d'un mouvement composé, et toujours dans le temps T , un élément circulaire MN , tel que MP soit sa projection sur lé rayon CM*, en supposant, comme on le fait ici, que l'arc MN soit assez peu étendu, pour que l'on puisse regarder les directions des impulsions centrales, comme étant toutes parallèles à CM, lorsqu'elles agissent sur le corps allant de Ma N, dans le temps très court T.

Diaprés cela , si r est le rayon du cercle , et (^ la vitesse du corps sur la courbe, l'arc MN sera égal à ('t; cet arc pouvant être confondu avec sa corde , qm est moyenne proportionnelle entre le diamètre ir et sa projection MP,

on aura MP = = . Connaissant Tespace que la

force centrale ferait décrire au corps dans le temps r , il est &dle d^en conclure son intensité; car toute force accélératrice constante a pour mesure le double de Fespace décrit, divisé par le carré dil temps employé (§ a8). La force centrale qu^il s^ agissait d^évaluer a donc pour mesure

aMP * . \^

-^, ou, en substituant à MP sa valeur, — .

Ainsi, la force centrifuge f qui sollicite le corps proposé , dont la masse est prise pour unité , à s^ éloigner du centre, est égale au carré de la vitesse qui Tanime, divisé par le rayon du cercle décrit. Si le corps suivait une courbe autre que le cercle, la force qui tendrait à Féloigner sur la normale à cette courbe , serait encore représentée par

— , \^ étant la vitesse acquise par le corps au point considéré de sa trajectoire , et r le rayon du cercle osculateur de la courbe en ce point. Cette force variable, à laquelle on donne aussi le nom de force centrifuge , est détruite par une des composantes de la force qui fait décrire au corps son mouvement curviligne, lorsque ce corps est libre -, quand il est assujetti à se mouvoir sur une courbe donnée, cette même force est détruite par la résistance de la Courbe, et sert à déterminer la pression qu'elle éprouve.

Dans le cas du mouvement circulaire uniforme , le seul ^'il nous importait d'analyser, l'expression de la force centrifuge peut se mettre sous une autre forme. Si T représente le temps que le corps emploie à décrire la cir-

3o ^ COURS m vmsïqm.

, conférence entière, on aura aTrrssaj^T, d'où i'rsa -=- ,

et par suite f = -^ r. Ainsi , lorsqu'un corps de fonxie

îàvariftble totime uniformëmezit autour d'un axe fixe, âe» (différentes parties sont animées d'une force centrage y qai ▼arie de Tune^à l'autre proportionnellement aux disliaxtcess qui- les sépare de l'axe, puisque k durée de la rotation: est la même pour toutes.

g 3 1 . On peut, au moyen d'un appareil fort simple , véri-

F16.6. fier les lois de la force centrifiige. D se coûdpose d'une longue barre horizontale AB , mobile sur un pivot vertical CD,' et terminée par deux tiges verticales AA'^ BB'v les deux extrémités A' et B' servent à maintenir borizontalemenit doc baguette métallique, sur laquelle on peut enfiler

^ des boules de masse» différentes. Si [l'on place une de ces

boules au milieu de la baguette, de manière que son centre soit sur le prolongement de Taxe CD, elle reste à cette place lorsqu'on imprime à Tappareil un mouvement de rotation rapide. Ma^s si, pendant ce mouvement, la boule est écartée du centre , elle s'en éloigne de plus en plus, et va frapper contre une des tiges AB , A'B'. Dans le premier cas, la boule tourne autour de son diamètre vertical *, toutes ses parties sont alors animées de forces ceiH trtfugiss différentes y mais, égales et contraires deux à deux> en sarte que leur effet total est nul pour tratnsporter la boule. Dans le second cas, cet équilibre n'est plus pos*sible y et la boule doit s'éloigner de l'axe de rotation;, car les forces centrifuges qui animent deux dte ses parties correspcmdantes, soht dirigée^ dans le métne sens, où si elles sont encore opposées, l'une est plus ihtense que l'autre. y

•va"-»»*'

DBITXIBMB LEÇON. ' il

Si Ton introdalh dans Tappareil Aenx boides de même nature, imies entre elle^ par Un fil inextensible , re!8|iérience indique qu'il est toujours possible de placer ees àenx boules, de part et d'autre de Tax^ CD, de telle manière que lors du mouvement de Tappareil , elles restent aux mêmes places sur la baguette. On reconnaît que, dans' cette position, les» distances qui séparent les deux boules de Taxe sont à très peu pris en raison inverse de leurs volumes ou de .leurs masses. Il est facile d^expUqœr ce rëdultai , (5ar en supposant la masse du fil négligeable, et Tes deux boules très denses et très petites, la force centrifuge que possède chacune d'elles peut être regardée comme proportionnelle au produit de sa masse par sa ^tance à Taxe , et lorsque ce produit e$t le même pour les deux boules, leur système invariable est sollicité àfbîr le centre par des forces égales et opposées. Si Fou écarte 1er système de la position trouvée, la rotatiou de Pappared continue à l'éloigner dans le même sens.

Les propositrons de Mécanique rationnelle que nous ?enoissr S^ développer, suiSseût pour comprendre toutes les consëqueïices que notts aurons à déduire de l'examen dés effets produits par les forces naturelles.

Sa. Tous les corps sont ^e^artj^ c'est-à-dire que libres Pesanteur, dans T'espace , ils tendent tous vers Te centre de la terre. La Pesanteur, ou la cause de cette propriété générale,, produit un mouvement uniformément vari^, comme le prouvent les expériences que nous citerons pïu^s tard*, elle peut donc être regardée comme une force accélératrice constante. Cette force est attribuée à des attractfons que toutes les mofécules à\x globe exerceraient à distance, sur Bes corps, et qui seraient fonctioji de cette distance. La

terre ëtant supposée sphérique et hooiogène, la résultante de toutes ces attractions sur un même point matériel doit évidemment se diriger vers le centre de ce globe ; cette direction doit être , par la même raison de symétrie,: et diaprés les lois de l'équilibre des fluides , normale à la surface des eaux tranquilles. L'expérience prouve, en effet, que la verticale , ou la ligi^ que suit un corps qui tombe librement , est perpendiculaire à la surface des lacs et des mers en temps de calme. L'observation fait aussi reconnaître que la surface des mers est à très peu près sphérique 9 d*où il résulte que toutes les verticales peuvent être regardées comme concourant en un même point.

33. Les observations ordinaires indiquant que certains corps ne tombent pas aussi vite que d'autres, tendraient à faire croire que la pesanteur ne s^exerce pas sur tous avec la même intensité-, mais il est facile de trouver la cause de ces anomalies. L^air, ou le milieu dans lequel les corps tombent, oppose unf résistance à leur mouvement, qui agit comme une force retardatrice -, et cette force dépendant uniquement de la forme et de l'étendue des surfaces , doit retarder d'autant plut la chute d'un corps , qu'il a moins de masse sous le même volume , ou , pour se servir de l'expression vulgaire , qu'il est plus léger.

Si l'on fait tomber plusieurs corps diJBPérens dans un tube vide d'air, ils tombent tous également vite, qu'ils soient lourds ou légers. Si Ton prend une pièce de métal et un disque de papier .de même contour, séparés , ils tombent dans Tair avec des vitesses très diflférentes , parce que , ot frant la même surface à la résistance du milieu , ils ont des masses inégales-, mais si l'on place le papier au-dessus de la pièce, ils ne se séparent plus, et la durée de leur chute

D£UtlkME LEÇON. 33

est la mémev ^^^^^ qu'alors la résistance de Fair ne 8*exeroe directement qne sur le mëtaL On remarque que les liquides ne tombent pas à la surface de la terre de la même manière que les solides \ mais c'est que l'air les divise et oppose une résistance inégale à la chute de leurs diverses parties. Dans le marteau d'eau, qui consiste eh un tube fermé conte* nant de l'eau , et dont on a retiré Tair, oji observe que le liquide tombe sans se diviser, et que toute sa masse arrive en même temps. On doit conclure de ces expériences diverses 9 que la pesanteur s'exerce de la même manière sur tous les corps.

34* Lorsqu'un obstacle fixe emjSêche la chute d'un corps Poids. pesant, il doit en résulter une pression exercée sur cet obstacle , et détruite par la résistance égale et contraire qu'il lui oppose. Cette pression est appelée poids ^ c'est, comme on voit, la résultante des actions que la pesanteur exerce sur toutes les parties du corps. Il résulte de là, et de ce que la pesanteur imprime une vitesse égale à toute matière tombant d'une même hauteur, que les poids des corps sont proportionnels à leurs masses, et peuvent servir à les mesurer. Mais cette sorte d'identité entre les poids et les masses n'a rien d'essentiel, car elle n'aurait pas lieu si la pesanteur n'agissait pas de la même manière sur des substances différentes*, et lors même que cette force n'existerait pas dans la nature , les masses . pourraient encore être définies et mesurées par d'autres moyens^ tels que le choc des corps, ainsi que nous l'avons indiqué ( § 22 ).

35. Poui: prouver par l'expérience que la pesanteur est hoHâ» réellement une force accélératrice constante , il faut cons- * '^*" ^' tater que dans les mouvemens qu'elle imprime à un corps ,

34 GOUAS BE PHYSIQUE.

la vitesse croit proportionnçllement au temps-, et Tespace parcouru comme le Carrë de cette même variable* La trop grande rapidité de ce mouvement empêche qu^ou puisse observer directement ses lois; mais il existe des moyens de le ralentir sans exi changer là nature , ce qui permet de prendre des mesures, et en outre rend négligeable la résistaiice de Tair, insensible pour de petites vitesses. On peut pour cela, coàime Galilée Fa imagihé le prenaier, faire tomber les corps sur un plan incliné. Si ol représente Tangle que ce plan fiât avec la verticale, et g l'intensité de la pesanteur, g'sina sera la composante dé cette force ^ normale au plan , laquelle sera détruite par la résistance égale et contraire qu'oppose la matière dont il est formé. D^un autre câté , g cos a sera la composante dirigée suivant l'inclinaison *, ce sera à elk que le mobile obéira *, l'angle a étant çonstaht , elle sera coi^tante si la pesanteur l'est, etréeiproqtietiieiQt. Or on peut retidre ol assez grande ou g'cosa assez petit , pour pouvoir observer les lois du mouvement d'im corps pesant toikibant sur le plan incliné ,' et vérifier, par exemple ^ que les espaces parclûurus croisent coipme le carré du temps. Dans ce genpe d'expérience ^ importe dé diminuer autant que possible le frottem^at du corps sur le plàti incliné, afin de rendit négëgeables les i^t^s variables qu'il pourrait produire*, il faUt alors prendre pour corps posant un ehariot supporté sur quatre rôùes égales , dont lès jaMés cylindri<|ues soient ^^n métal et très polies*, le plein iiaeliné doit être dur et déj^ourvu d'aspérités.

MAfdûne 36. La taiàchine d'Âtwôod offre ausâi 1^ moyen de rad'Atwood. ^^ j^ mouyement iïnprimé par la pesantèut sans en

changer tes lois. Cette machine se compose de deux mas'

ses m^ n suspendues aux deux extrémités d*un fii assez fin pour qu^on puisse négliger son poids, et enroulé dans la gor^e d'une poulie. L'axe de cette poulie repose sur les ^«6.7. jantes croisées de quatre roues mobiles , disposition qui a pour objet, de diminuer le frottement. Enfin une règle yerticale graduée , servant à comparer l^s espaces parcourus lors de la chute d'une des masses, et une horloge pour mesurer le temps, complètent la machine d'Atwood.

Lorsque les deux masses m^ n ^ sont égales, le système est en équilibre. Si ces deux masses sont différentes, m }> /z, la plus grande , cédant à la pesanteur, entraîne dans son mouvement la plus petite , qui est soulevée en vertu de la haison du système. On peut alors considérer la différence m — n, comme étant seule sollicitée par la pesanteur, puisque ses actions sur le reste se détruisent. Mais ks impidsions saccessivçs de cette force sur la seule partie m — n y déterminant le mouvement de la somme totale m-j^n des masses, les accroissemens de vitesse qu'elles impriment au système, sont tous diminués dans le rapport constant de m — n à m-f-n (§îi4)î ®° sorte que le mouvement est ralenti , et qu'il peut être facilement observa, sîm-r-7i est très petit relativement à m-f-n. Il résulte en outre de la constance de ce rapport , que si le mouvement réduit est uniformément varié , c'est que cekd plus rapide de la masse m — n , tombant librement sar la verticale, le serait pareillement -, d'où Toti pourra cMclure que la pesanteur est une force accélératrice constante.

On reconnaît d'abord que deux espaces, Fun quadruple de l'autre, sont parcourus par une des masses chargée d'un petit poids additionnel , dans des temps qui sont entre eux

comme 2 est à i *, la loi des espaces se trouve ainsi Térifiée. Pom* constater celle des vitesses, on en^ploie, comme augmentation de poids 9 une petite lame métallique 9 qui peut être retenue par un anneau fîx(f à )a règle, à une certaine (époque du mouvement. On reconnaît alors que la masse chargée , franchissant Tespace qui la sépare de l'anneau, pendant un certain temps et d'un mouvement accéléré, parcourt ensuite dans le même temps, lorsque la lame s'en est séparée , un espace double du premier, mais d'un mouvement uniforme. Ou trouve enfin que ce dernier ean pace varie proportionnellement au temps employé à le parcourir, lorsqu'on répète Texpérience en plaçant l'anneau à différentes hauteiu-s.

pe ïa 87. La pesanteur n'est qu'un cas particulier de Tattrao-

pesanteup ' * i i n

universelle, tion uuiiïerselle , en vertu de laquelle toutes les parties matérieDes des corps célestes tendent les unes vers les autres proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré des distances qui les. séparent. L'existence de cette force et la loi qui la régit, ont été conclues par le calcul d'un très grand nombre d'observations astronomiques; ces conclusions ont été ensuite éprouvées par tant de vérifications, qu'elles servenl jaujourd'hui de base à la théorie physique la plus complète et la mieux établie parmi les connaissances humaines.

Lorsqu'un globe composé de couches sphériqueà homogènes, mais dont la densité peut varier de l'une à l'autre , exerce sur un corps extérieur des attractions qui suivent la loi précédente , le calcul «indique que la résultante de ces actions est la même que si toute la masse du globe était réunie en son centre. La pesanteur, ou la résultante des attractions terrestres , doit donc varier en raison in-

DEUXIÈME LEÇOH. 3 y

verse du carre de la distance au centre du globe , oe qui n'empécfae pas qu^à la suiface, et dans le même lieu y cette force ne puisse être regardée comme constante, à cause de la petitesse des dimensions des corps que nous y considérons, et des hauteurs dont ils peuvent tomber, comparées au rayon de la terre.

38. Pour donner un exemple d'un mouvement curviligne, et en même temps décrire un instrument propre à constater les variations de la pesanteur, considérons le mouvement d'un corps pesant lié à un axe horizontal fixe, par une tige inextensible et inflexible. Il est évidcqt que la trajectoire qu'il décrira sera la circonférence d'un cercle dont le centre est sur Taxe fixe , et dont le rayon est la longueur de la tige. U pourra être en équilibre dans deux positions différentes , lorsqu'il sera placé sans vitesse acquise , sur la verticale passant par le centre fixe , au-dessus ou au-dessous de ce point*, dans les deux cas l'action de la pesanteur sera détruite par la résistance de l'axe. Mais ces deux positions difi&rent essentiellement Fune de Fautre : en effet, lorsque le. corps sera au-dessus du point fixe, au moindre dérangement la pesanteur Féloignera de la verticale ^ tandis que si le corps est au-dessous de l'axe de suspension , lorsqu'on Fécartera de la verticale , il tendra à y revenir. C'est à raison de cette différence que la première de ces deux positions est appelée équilibre instable, et la seconde équilibre stable.

39. Le système dont nous venons de décrire les liaisons et les conditions d'équilibre, porte le nom de pendule. Pour trouver les lois de son mouvement, nous supposerons d'abord par abstraction , que le corps pesant se réduise à un seul point matériel , et que la tige soit sans pesanteur -,

Du

pendule.

Pendule simple.

38 COUBS ■>£ PBYNQrE.

c'est ce système qu'on ^peUe pendule simple en mécaniqne. Si le peodale est ëcartë de sa position d'équilibre stable , pois abandonna à loMnéme , il tbaà à reveiur sur la verticale en Yerta de l'actioa de la pesanteur. H décrit alors nn arc de cercle d'an monvemoit Tarie , mais non mnftwmânait : car a étant l'an^ que le fil &ïl avec la verticale à ime époque quelconque, et g Tintensité de la pesanteur, cette force peut être décomposée en deux antres , Time ^co9 a saivaDt le prolongement dn fil , qni est détniite par le résistance dn point fixe , et l'antre ^tina mrnnt l'élément de la confie décrite on sa tangente ; oi cette demièie composante j qui rcfsésente l'impolsion ' rédlementdoimée, vaiie avec l'aide a; la force sccélàatrïce dn monvemeot considéré n'est donc pas constante. Le point matériel se ment donc d'un moaronent macâhé en verts d'impulsions décroissant en intennté ; il anivc an ptnnt le pins bas de sa comse avec mie vitesse acqoise , et ■«monte alors de l'antre côté de la verticale. Dans cette partie ascendante de sa trajecTtùrc , la pesanteiv agit sor Ini comme force retardatrice, et diminue la vitesse des méoMS quantités dont dJe l'avait aogmoitée dans la partie desGQidante -, il soit de là que le point matériel parviendra avec one vitesse nulle à la même hauteor dont il est desceada. La pesutteor continuant d'agir, il ledescradra de nouveau pour remonter ensuite, en parcMirant en sens contraire, et avec les mêmes vitesses, l'arc total qu'il avait décrit. D continuerait ainsi à faire des oscillatirats secd>lables et dans le nrâne temps, si des fibstacles on des fwces retardatrices étrangères ne s'y opposaient pas.

4o. Le calcul indique f|Ue si l'écartemcnt primitif est d'un petit nombre de d^rés , le tonps t d'une osciUaboD

DKUXIÈME LEÇOIU Sp

est donné par la formule : f =2 7r%/- , / étant la longueur

delà tige, etiria^rconféreiice dont le diamètre .est Fiimté* Ce teiaps.est donc indépendant de Tëcartement primitif; ce ijésidtBt tient à ce que la force accélératrice efficace gmna peut être regardée comme proportionnelle à a 9 ov à Tare à ^parcourir jusqu'à la position d'équilibré 9 locsque oet arc Tariable est peu étendu pendant toute la durée dn L raouYjÇoiAntt L'expérience co^jSrme d'aillçjiirs cette conséquende iJiégrique ^ die indique pareillement que 1^ durée de rem^îJJatipn n est pas altéréiç par la résistance du milieu, qm tend seulement à diminuer son amplitude -, toutefois y cette résistance finirait par arrêter le mouvement pendulaire, ei^sme force artificielle ne realituait p^s la portion de Titesaç >Çi'el|ç déti^ût-

:4i.. Mpj6 ces expérieniGes.:fîe peuvept être faîtes jquct sur Penduie mp^ndvie coipposé» qui a un Tolilme sensible et une tige p0fiwjb^. Ddtna ce nouveau système , diaque f^ii^t ^A^jbériel , i^il é&tûi Isolé et considéré comme un peoduie ;9itnpfe yAé.*cvôHift jui€ï iOAGÎllatiôn doiit la dujr^Mrait proportio^ndle à 1« Km^^^ Carrée de sa di^lscnce a« poij^t de siispen^ion ; tous les poinlsi matériels du penduL» composé étant ad contraire réanis d'une manière invariable, le mouvement oscillatoire ctes uns sera ralenti, et celui des plus éloignés sera accéléré par le mode de leur liaison mutuelle^ Mais il y aui:a tou^ joui» des poii^ du système, tous dtués sur une drot^ païa^èki à Taxe horizontal de su^ension , qui feront leurs oscillations comme s'ils étaient isolés des autres. La «boite (p contient ces points particuliers est appelée axe d'oscillor lioiifladistanceqiûbusépare de l'axe desuspension, distance ^ l'on nomme longueur d'oscillation, est la longueur

compose.

^O GOIJRS DE PHYSIQUE.

du pendule simple qui ferait son oscillation dan» le même temps que le'pendule composé fait la sienne. L'axe d'oscillation et celui de suspension jouissent de la propriëtë remarquable de pouvoir changer de rôle sans que la. durée d'oscillation soit changée^ cette propriété donnerait un moyen de déterminer par le tâtonnement la longueur d'oscillation d'un pendule composé, si la mécanique n'^a^of* irait pas de plus simple.

42. On a donc des moyens exacts de déterminer la longueur du pendule simple qui ferait ses oscillations dans le même temps qu'un pendule composé donné. Cette longueur étant trouvée, la formule f =7:4/— , peut servir à

déterminer la durée t de l'oscillation lorsque g est connu^ OU g: lorsque t est donné. Dans ce dernier cas, la valeur de t peut être obtenue très exactement en observant la .durée totale d'un grand nombre d'oscillations , et la divisant par ce nombre. Quand on se propose seulement de chercher si la pesanteur varie , on peut pirendre pour sa mesure le Carré du nombre N des oscilktions qu'im pendule de Ion* gueur constante fait dans un certaiii temps T, très grand et toujours le même -, car la durée d'une oscillation étant alors

î =»--•, la formule du pendule donne ■ïg=7r l/~j et l'on

voit que si / et T restent constans , g variera comme le carré de:N. Le pendule offire donc un moyen très précis de mesurer l'intensité de la pesanteur, et de la comparer dans différens lieux-, résultats qu'on ne pourrait obtenir avec la machine d'Atwood , par la difficulté de connaître l'effet des rouages. Le pendule peut aussi servir à confirmer ceprincipe , que la pesanteur agit de la même manière sur

DBOXIBME UBÇOlf. ^l

tous les corps -, car l'expërience donne une égale dorée d'oscillation , pour des pendules de même longueur et de substances différentes.

43. Lea obsenrations du pendule, faîtes à Paris, don- Mesura nent , en prenant la seconde pour unité de temps , pesanteur. ^=9"*, 8088. Ainsi un corps pesant, tombant librement dans le vide , décrit à Paris , dans la première seconde de sa * chute, un espace de 4'',9o44»' ^^ ii acquiert à chaque seconde un accroissement dé vitesse égal à 9*^,8088 (§ 27). On peut encore déduire de cette valeur de gj que la longueur du pendule simple qui ferait ses oscillations dans une seconde de temps, est à Paris de 0^,99384 *, on sait par d'autres mesures que sur Féquateur cette longueur n*est

que de o",99i -, or, en vertu de la formule «=7r W -, les

mtensitÀ de la pesanteur dans ces lieux différens sont entre elles comme ces nombres \ on peut donc conclure de ce rapprochement que la pesanteur varie à la surface de la terre. C^est d'ailleurs ce que les observations comparées d'un pendule de longueur constante ont pleinement 001^ firme. Cette variation est due au mouvement de rotation du globe, ou à l'inégalité de la force centrifuge qui s'ensuit, et à la fonne de la terre , renflée à l'équateur et aplatie vers les pôles. Par ces deux causes réunies la pesanteur doit diminuer avec la latitude.

44* Le mouvement pendulaire est le type de la plupart des moUvemens oscillatoires ou vibratoires autour d'une position d'équilibre *, tous ces mouvemens , entre des limites d'étendue convenables ,, suivent la même loi, et leurs oscillations sont alors isochrones. Si g et ^ représentent deux forces , ou les intensités d'une même force , dans des

4'i cam» DE FHir«i<2U£.

ctrcoiistanOes liifféreiites ,tetfleB diïrées de^ oëcillatîons de |leu d*ëten4ue qu'elles mipriineikt à titi méçue iystème , on a toujours, comme pour le pendule , g' g' '- ^* : t* , ou mieux 9 eu désignant par N et N', les iicuxdnres d*oscfllalioos faites dsois le même teknps TssN^sN^t',

Densités. ^5. I^ poids P d'uu eoi^, ou la pression qu'il occasione sur Tobstacle qui le retient ( § 34) y est évidemmetit prôportibnnel au produit de sa masse M par Tinteiisite g de la pesanteur; on peut donc poser P===^M . Il suit de là que le poids d'un m^éme corps doit varier aTeè la pesaateur ; comme cette variation existe 'égalesqiept pour totts . les corps 9 on ne Saurait Tapercevoir au moyen de la ba^ lance ; mais on peut la constater en équilibrant un poids par une force d'une autre nature, ainsi que nous le verrons par la suite (§8^). L'équation P = ^M peut prendre une autre forme ; si le corps est homogène, sa masse M est égale à son volume Y, multiplié par la masse .D comprise sods Tunîté de volume*, on a ainsi M=DV et P=:gDV. La quantité D, ou la masse plus ou moins grande que contieàt Tunité de vofaone d'un corps homogène , est oe-qu'on app^hi la densité de ce corps^*, elle^^est indépecidatiiio. des variations de la pesanteur; nous indiquerons plus* tard les moyens de la mesurer, ou de l'évaluer en nombre en la rapportant à une unité de même espèce* Sowvent,. l&rs^ qu'on opère dans un mésoe lieu, on pose pius simpl^nent Pt^zDY; mais alors le nombre D^ que Ton .appelle encore densité^ a une nouvelle déinitîon, et se. jrapporte àune autre unité : il r^résente le poids de l'unité de volume du cocps proposé.

TROUBME LBÇOH.* * 4^

««\ W»«MMM«% <»W»WV»«VW»»^%WWy»»%W»»^WWO^^%»>«^»M#X»^*M<»%»»W»^^^^»ft\V*<W» \>%^A/V« v».-

♦ m' Goiistitoticm inlërieure des corps. — Prcssiont et tractions.

État solide. — • ÉUt fluide. -— État liquide. — ÉUt gaseux.'

Pressiouns dans les liquides pesans. — Principe d'Archimède.

Corps flottans. — YaseS cômmuniquans.

46. Tout corps étant compose de parties matérielles Hypotb^ non contigaës, chacune de ses particuks doit être consi- oQuititutton dërée comme soumise à Faction de plusieurs forces, qui ^^^^^^' se font équilibre lorsque le corps conserve sa forme. Plusieors faits paraissent indiquer que ces forces émanent des particules elles-mêmes , qu'elles varient d'intensité avec la distance , mais qu'elles deviennent insensibles lorsque cette distance est appréciable à nos sens. C'est Thypothése gé- oéralement adoptée pour concevoir la constitution interne des corps.

ftlais poilr se rendre compte de tous les phénomènes qui en dépendent , il &ui ^mettre deux genres de forces très différentes , quoique émanant des mêmes particules : les unes attractives , et ne variant dans un même corpk qu'avec la distance, les autres répulsives, qui dépendent Ma fois et de la distance et de l'énergie de la chaleur. On SQf^se que, si la température vient à augiùenter, les particules pondérables s'approprient une j4us grande quantité de calorique , d'où résulte un accroissement dans leur

action répulsive. £nfiq , il faut a^mettne encore ^ue cette dernière action diminue plus rapidement que Faction at* , tractive , lorsque la distance augmente. Définition 47* Si Ton imagine un milieu matériel coupé par un

pr^sion. P'^"^ ^^ ®"^ ^® P'*** ^^ élément de surface S ii^iiixngnt petit, qui serve de base à un cylindre droit SC^ très d^ië, et situé au-dessous du plan , la résultante d^s actions exer- FiG. 5. c^^s P^^ toutes les particules supérieures au plan P, sur toutes celles comprises dan» le cylindre inférieur, est ce qu* on appelle en général la pression ou la traction, exercée sur r élément de surface S. Ce sera une pression si cette résultante tend à abaisser le cylindre, une traction si elle tend à le Sfoulever, enfin une force tangentielle, si cette résultante tend simplement à faire glisser le cylindre pa* rallèlemeat au plan P. Lorsque le milieu est. en équilibie, l'élément S se trouve soumis à deux pressions égales «t contraires qui se détruisent : Tune est celle qui vient d'être définie, Tautre est la résultante des actions 'exercées par toutes les particules inférieures au plan P, sur celles comprises dans un second cylindre droit SC, de même base S, mais situé au-dessus du plan.

On conçoit que la direction commune de ces deux ré-* sultantes puisse dépendre de Forientation des axéjs de figure des participes pondérables indivisibles , si elles ne sont pas spbériques ou homogènes, ou de celle des axes qui joignent les centres de l'action répulsive, lesquels peuyent occuper des positions* distinctes dans ces. partir cules , de telle sorte qu'un dérangement apporté dans la direction de ces axes, puisse occasioner des modifications dans Fétat d'équilibre du milieu. Dans tous les cas, Tintensité de ces pressions ou tractions intérieures dépend du

degré de rapprochement des particules du mflieu. E^ général ces résultantes peuvent varier d'intensité, et même quelquefois de signe , en un même lieu , suivant la direo tion de l'élément plan S-, c'est-à-dire que les pressions peuvent n'être pas les mêmes dans toutes les directions antour d'un même point. Telles sont les idées théoriques par lesquelles on se rend compte aujourd'hui des différens états des corps.

48. L'état solide ne pefut exister dans un milieu , que État solide, lorsque l'action répulsive du calorique est assez diminuée pour pouvoir faire équilibre à Faction attractive des par* ticules , sans le concours d'aucune force étrangère. En effet, un corps solide conserve en général sa forme et son état y lorsqu'il est placé dans un espace vide de toute matière pondérable , d'où il suit que sa surface n'est alors soumise à aucune pression , et que la traction ou la pression exercée de chaque côté, sur un élément plan S qudconque pris dans l'intérieur, doit être considérée comme étant nulle d'elle-même ,, dans ces circonstances y si le corps est en outre dépourvu da pesanteur. Si les particules subisteat un rapprochement par la naissance d'une pression étrangère , ou d'une force accélératrice émanée de centres extérieurs, telle que la pesanteur, il suivra de ce rappro-chement xme augmentation plus rapide des forces répulsives que des forces attractives, et conséquemment une pression exercée de chaque côté sur l'élément S, qui poiura varier suivant le lieu qu'il occupe, et dans le même lien avec la direction de son plan. Si au contraire les particules s'écartent les unes des autres par l'application d'une traction extérieure,, il résultera de cet écart une diminution plus rapide des forces répulsives que des forces attrac»

46 , GpUKfi DE PHYSIQUE.

tives , et con8(S<piemment une traction exercée de chaque côté de Tël^ment plan S. Si F^nergie de la chaleur augmente dans l'intërieur du corps , les particules devront s'éloigner, jusqu'à ce que les actions répulsives aient assez diminué pour faire de nouveau équilibre aux actions at-* tractiveS) dont la diminution est moins rapide quand la distance augmente. - .

Mais ce qui caractérise surtout Fétat solide , c'est l'influence puissante que parait occasioner Torientation des axes des particules. Suivant les idées reçues , cette influence serait la cause des changemens de volume ou de densité qu'on observe dans les phénomènes de la cristallisation , ou en général* dans le passage de Tétat liquide à Fétat solide. Elle détenmnet^t ainsi icelté stabilité d'équilibre que présenta l'agglomération des particules d'un mi- Keu solide, et qui ne peut être détruite que par des efibrts exfeériè^uis, le plus souvent considérables. Enfin , il résulterait encore de cette influence que les tractioiMS ou pressions qui naissent dans un cor^s solide, lorsque des forcés artificielles ont détruit son équil3>re d'homogénéité, ne sont pas nécessairement normales aux élémens plans sur lesquels elles s'exercent , et qu'elles peuvent changer de direction , d'intensité et même de signe , par rapport aux différens ^«élémens plans qui se croisent en un même point du milieu.

Ainsi , dans un corps solide , les particules ont ïion-seulement des positions^, mais encore des directions particulières et essentielles. Écartées un instant dé ces positions <Mi de ces directions d^équîlibre stable , elles tendent à les teprendre, et oscillent autour d'elles, jusqu'à ce que la force twè de leur toouvemetft vibratoire disparaisse, en se partageant eMre toutes les iOriasBes environnantes.

TROISUBIU LEÇOH. ^7

^g. L'état fluide d'ui^ milieu se distingue de Tëlat sa* État fluide, lide, en ce que Tonentation des axes des particules parait avoir une ii^uence , sinon tout-à-»fait nulle, au moins extrémement petite sur leurs conditions d^é(]uilibre. Dans cet état, les particules cèdent avec une grande fisusilité à un changement de position ou de direction , d'où résulte la nécessité que la pression exercée, sur un élément plan pris dans Tintérieur du milieu , soit nonnale à ce plan , et que son intensité reste constante autour d'un même point.

5o. La diminution rapide qui s'opère dans Tiofluence Eut liquide, des axeë dies pMicules , lorsqu'un milieu passe de Tétat solide à l'état liquide , pinte à l'augmentation que subit . alors l^a quantité de chaleur qu'il contient, laquelle est prouyée pwc un grpind nombre de fiedts , comme nous \e veiroDIs plus tard, soa:ible indiquer que 1& calorique se répand aJors {Jus uniformément sur la suiface ou dans toute l'étendue d'une particule, et que son action répulsive n'émane] plus )lê centres particuliers, comme dans Tétat solide -, eo sorte que si ces particules étaient homogènes et fiphéfdques , et qu'ainsi elles n'eussent pas non plus d'axes par mippori; à l'action attractive^ leur direction deviendrait tput-à-fiût indifférante ponr l'équilibre. Les phénomènes (pi dféimdent de la viscosité , et qui ne permettent pas de Kjgarder les liquides coaune des fluides parCûts , sont prob^lement dus à ce que leurs particules ont des axes at*^ tmetifi', qui eittcen^ «noore une influence sur l'étal d^ nûlî^.

La plupart des liquides ne paraissent pas pouvoir oonservet jlçur ét^tdans un espace vide de toute matiez pottdëral^e : uœ partie. s'y tralasforme en gaz , et elt^ôrce une priposî— i sur k liquide restapt; Il suit de là qu'en général

5o COURS DE PBTSIQVE.

compliqoéeâ et i^ioins connues, seront traitées plus tard. On donne le nom d! hydrostatique à la partie de la mëca— nique rationnelle qui s'occupe de l'équilibre des fluides général*, ce sont les principes de cette science quM 8*a| d'exposer.

Principe 5a. Toutes les propriétés des liquides en équilibre soti^ de pression des couséquènces de ce principe fondamental : qu*iz7t K-^

dans tous les . , ^ i / . -i

sens. t/uide transmet sans altération à toutes ses parties urz^ pression exercée sur une portion quelconque de sa sur*-^ face. Concevons dans un vase prismatique un liquide , ^[iie nous supposerons d'abord soustrait à l'action de la pesân-» teur, et sur lequel on exerce une pression au moyen d*im piston *, suivant le principe énoncé , . il faut admettre (jvlc toutes les parties du vase éprouveront cette même pression proportiormeUement à leurs surface -, en sorte que si Von pratiquait un trou dans la paroi, et que l'on voulût maintenir l'équilibre du liquide qui tendrait à sortir par cette ouverture , il faudrait appliquer au nouveau piston qui la fermerait, une force ou pression qui serait à celle exercëe sur le premier , dans le rapport des surfaces de ces deux pistons , et qui lui serait égale si ces deux surfaces étaient elks-mémes égales entre elles. C'est-à-dire enfin que si l'on prend pour mesure de la pression celle exercée sur l'unité de surface, elle sera la même partout, 9ur les parois du vase ainsi que sur tout corps à faces planes <piî serait plongé dans le liquide.

Le principe de Tégalité de pression ainsi défini , est une conséquence nécessaire de Fhypothèse admise pour concevoir la constitution intérieure des corps. Les molécules qui composent la couche du liquide que le piston presse directement j doivent se rapprocher lèé' unes des autres ,

autour d^ud même point. Cette pression peut augmenter

beaucoup , soit par Taccroissement des pressions extérieures , qui détermine alors un rapprochement des particules ou une diminution considérable du volume occupe par le gaz , soit par rtSëvation de sa température, qui augmente l'énergie des forces répulsives dues à la chaleur* Les physiciens ont constaté , conune nous le verrons , que lés lois smvies par ces augmentations de pressions ou ces diminutions de volume sont identiques , dans les mêmes circonstances, pour tous les gaz , quelle que soit leur nature -, il £ïut en conclure que les forces attractives sont insensibles dans ces fluides , ou qu'elles disparaissent devant des forces répulsives incomparablement plus grandes.

Les gaz et les liquides sont désignés collectivement sous le nom de fluides *,1es*variations de volume qui accompagnent celles de la pression , étant très grandes dans les gaz et presque insensibles dans les li^des, on distingue souvent ces deux états des corps par les dénominations de fluides élastiques et àtjluides incompressibles^ mais cette^ dernière , appliquée aux liquides , doit être rejeti^e comme énonçant un fait reconnu faux.

Les détails dans lesquels nous venons d'entrer étaient né- Principes cessaires pour faire concevoir les différences qui caractérisent les trois états sous lesquels se présentent les corps de la nature, et surtout pour donner la définition la plus exacte de ce que l'on doit entendre par la pression , dans les liquides et les gaz. S est essentiel maintenant de revenir sur chacun de ces états en particulier, afin d'énoncer les lois qui régissent leurs propriétés spéciales, et de répéter les expériences qui ont servi à lès découvrir. Nous commencerons par les liquides et les gaz -,, les propriétés des corps solides , plus

hydrostatiq.

5o COURS DE PHYSIQUE.

compliqiiëes et i^oins connues, seront traitées plus tard. On donne le nom i! hydrostatique à la partie de la mëcanique rationnelle qui s'occupe de Tëquilibre des fluides en général-, ce sont les principes de cette science qu*il 8*agit d'exposer.

Principe 5a. Toutcs les propriétés des liquides en équilibre sont de pression des conséquenccs de ce principe fondamental : qu un li-^

dans tous les . , ? / . «

sens. quide transmet sans altération à toutes ses parties une pression exercée sur une portion quelconque de sa sur-^ face» Concevons dans un vase prismatique un liquide , que nous supposerons d*abord soustrait à l*ac(ion de la pesanteur, et sur lequel on exerce une pression au moyen d*un piston *, suivant le principe énoncé , . il faut admettre que toutes les parties du vase éprouveront cette même pression proportionneU^ent k leurs surfaces ; en sorte que si Ton pratiquait un trou dans la paroi , et que Ton voulût maintenir l'équilibre du liquide qui tendrait à sortir par cette ouverture , il faudrait appliquer au nouveau piston qui la feroierait, une force ou pression qui serait à celle exercée sur le premier , dans le rapport des surfaces de ces deux pistons , et qui lui serait égale si ces deux surfaces étaient ell^s-mémes égales entre elles. C'est-à-dire enfin que si l'on prend pour mesure de la pression celle exercée sur l'unité de surface, elle sera la même partout, sur les parois du vase ainsi que sur tout corps à faces planes <pd serait plongé dans le liquide.

Le principe de Tégalîté de pression ainsi défini , est une conséquence nécessaire de Fhypothèse admise pour concevoir la constitution intérieure des corps. Les molécules qui composent la couche du liquide que le piston presse directement, doivent se rapprocher leé' unes des autres ,

TROISIÈME LBÇOlr. 5l

•fia que la pression propre de cette couche y aucmeiitëe par ce rapprochement, puisse détruire Teffort extérieur. Mais Téqullibre de la masse liquide exige qu^un Aémeat plan, pîs sur la surface cpî séparerait la première couche de la suivante, soit soumis à deux pressions égales et con«* tnires, et il faut pour cela que les molécules de la seconde couche se soient autant rti[^rochées que celles de la première; le même ei&t devra être produit dans la couche, et par suite dans toute la masse. L'effort ayant ainâ déterminé un rapprochement égal de toutes leÉ molëcules du liquide j la pression exercée sur un élément plan serm conséquemment la même , en quelque lieu qu'il soit sîtuë% dans Tintérieur de Ifi masse ou sur une paroi.

53. Supposons maintenant que la pesanteur agisse sur Pressions le liquide proposé. Il résultera de cette action une preÉsion UquMef pevariable d^une partie à Tautre de la masse \ car elle sera *^"** plus grande vers le £3nd que vers le haut du vase, puisque les molécules inférieures sont les obstacle^ qui s'opposent à la chute des molécules supérieures* Cette pression va* riera donc proportionnellement k la hauteur du liquide au-dessus du point que l'on y considérera ^ elle sera la même pour tous les points situés sur un même plan hori<^ 2ontal, ou sur une même couche de niveau*, mais d'une couche à celle qui lui est infârieure, elle augmentera sur, la mênoie «étendue ensur&ce, du poids de la première couche; de telle sorte que les pressions exercées en deux pointa plac^ sur une même verticale différeront entre elles d'une quantité égale au poids d'une colonne du liquide , qui au^ rait pour hase Tunité de surface, et pour hauteur la distance de ces deux points. Il est facile de voir, d'après oela , que la pressioil résultant de Taction de la pesanteur sur

5a COUKS DE PHYSIQUE.

toutes les parties d'une masse liquide, ne dépend que de la profondeur au-dessous de sa surface libre , et est indépea*dante de la forme da va^.

Ainsi il faut bien distinguer dans un liquide en ëquilibre^ la pression provenant d'une action exercée sur sa surface , et qui §e transmet (également à toute la masse , de celle due à ia pesanteur, laquelle est difierente pour des masses par-» lielles ^tuëes à dififërentes hauteurs. La variation de cette dernière pression est nécessairement accompagnée d-un cbangement correspondant dans rintervalle des molé^ cules. Cette inégalité de densité, beaucoup trop faible pour être aperçue quand la masse liquide a peu.d*éten* due , peut être constatée dans Teau des mers et des lacs profonds.

Surface ^4* I^ résulte de la mobilité relative des parties dVa li^de!^ même liquide , que la résultante des forces qui sollicitent une molécule de sa surface doit agir de dehors en dedans y ■ et être normale à cette surface -, car si elle était oblique , elle pourrait se décomposer en une force normale ou près- ' sion qui se transmettrait dans la masse, et une force tangentielle qui ferait glisser les mcJécules et troublerait con^ séquemment l'équilibre. C'est par cette raison que . la surface des eaux tranquilles est perpendiculaire j en chacun de ses points , à la direction de la pesanteur, et que les liquides contenus dans des vaseS s'y terminent par des plans horizontaux.

Pression ^S- La pression/7 due à l'action de la pesanteur sur ua ïun^ase. ïiq*iîde OU équilibré, est évidemment proportionnelle à l'intensité g de cette force , à la densité d du liquide, et à la hauteur h qui sépare du niveau supérieur,, le plan horizontal où se trouve l'unité de surface sur laquelle s exerce

TROISlàMS LBÇ02V* 53

cette pression. On pourra donc poser p :=aLgdh. Si.l&Tase qoi contient le liquide a un fond horizontal comprenant b. unités de surface , et situié à une* profondeur h au-dessous, de la surface libre, la pression totale P exercée sur ce fond sera donnée par la formule 'P'=^gdhb , et cela quelle que s(Ht la forme des parois latérales du vase. Si donc on prend plusieurs vases, dont lies fonds soient égamc en surface, et situes sur un même plan horizontal , mais qui aient les uns. la forme d'un cylindre droit ou oblique , les autres celle d'uo cône tronqué posé sur s^ plus petite ou sur sa plus grande base , un même liquide s'élevant à la même hauteur dans tous ces vases , devra exercer sur leurs fonds des pressions qui seront toutes égales entre elles*, cette conséquence est vérifiée par Fespérience*

56. H ne faut pas confondre ici la pression exercée sur le fond , avec celle produit^ par le vase sur le plan horizon^?tal qui le soutient et qui s'oppose à sa chute. Cette der-* nière e^ égale, dans tous les cas , au poids de la matière solide qui compose le vase, plus celui du liquide qu'il contient. Cette proposition est évidente : car un système de corps pesans en repos éprouve nécessairement, de la part de l'obstacle qui l'empêche de tomber, une résistance qui détruit la somme des actions que la pesanteur exerce sur toutes ses parties-, or, dans le système actuel, la résistance du support étant directement développée par la pression du vase, cette dernière force doit lui être égale et opposée, et a con^équemment la même valeur et le même sens que le poi^ total;

57. D'un autre côté, la masse liquide étant en repos ; R^uitanta il faut en conclure qu'elle éprouve de la part du vase, une ^®^ pj;ession8

^ ^ r • ' d'un liqaide

résistance totale, .égale et contraire à son poids ^ or 'cette >«' "" ^'^^*

Pressioi^

d'un Tase

■ur Bon

support.

54 coums me physique.

rësittatice est directement développée par les prossiona que le liquide exerce snr les difiërentes parties de la paroi ; la résultante de ces prenons a donc nécessairement la même ▼alenr et le même sens que le poids de la masse liquide. H impocte de fiur^ voir que ce dernier résultat est une conséquence nécessaire des lois énoncées plus haut comme régissant les pressions dans les liquides pesans^ ce qui fournira une preuve de la réalité de ces lois..

Soit 0) un élément de la paroi inclinée du vase, a^ez petit pour être considéré comme plan, quoiqu'il puisse appartenir à une surface courbe *, soit z la distance verticale qui sépare un de^ ses points de la surface plane libre du liquide; d'après la petitesse supposée de Félément tù^ 9(9-9' cette distance sera sensiblement la même pour tous ses points y et la pression qu'il éprouvera de dedans en dehors aura ainsi pour valeur gpf*iZj g étant l'intensité de la pesanteur, et p la dennté du liquide. Représentons par.a, jS^jr^ les an^es que la direction de cette pression, ou la normale à la paroi au Beu de Télânent o) , fidt avec trois axes xectangulaires , desquels l'un AZ est dirigé dans le sens de la pesanteur, et les deux autres AY, AX, sont pris dans le plan de la sur&ce libre*, la pression gptùz peut être remplacée par trois composantes parallèles aux axes, etdont les valeurs seront gptj^ cos a, g'^oajs ces ^, gp^az cos y. Or, si l'on désigne par a, £), c, les projections de Félément 6d , sur les plans coordonnés àe^yz , des zx et des xyy avec lesquels son phm prolongé formerait des angles dièdres égaux à a , |3 et y, on aura , d'après un théorème connu rela|^ aux projections des aii*es planes : a = eo cos a, issco cos |3 , csscocQS y ; d'où il suit que les trois composantes de la pression e3|;ercée sur la partie tù de la paroi, deviennent

TROISliuCK LICOU. 6S

gpaz, gpbjg^ gpcz. Si Ton imagine qu'une décomposition semblable soit faite pour les pressions exercées sur toutes les parties du yase en contact aTec le liquide f on aura à considérer trois groupes de forces respectivetnent parallèles aux trois axes, et qui sollicitent Venyeloppe solide.

Il est facile de voir que le groupe des forces parallèles à

Taxe AX a une résultante nulle* En effet » considérons le

cylindre horizontal qui projette Télétaient cd sur le plan

des zjTy il découpe sur la partie opposée de la pvoi un

autre élément u, de même profondeur z au-dessous de la

soc&oe libre du liquide , et ayant la même protection a

que (à ; diaprés cela, la composante parallèle à AX de la

presâon exercée suri?, a aussi pour Tidi^ numérique ^pa^r^

mais elle est évidemment dirigée en sens contraire de la

composante semblable proTenant de Félément où*, en sorte

que ces deux composantes se détruisent dans la sommation

de la résultante du groupe considéré, qui se trouve ainsi

composée d'un nombre pair de termes, deux à deux égaux

et de signes contraires, et est conséquemment ^o. La

résultante du groupe des forces horizontales parallèles à

AY est pareillement nulle*

Le groupe des forces verticales subsiste donc seul , et il suffit d^évaluer sa r^ultante, pour obtenir celle d.<^, pressions que le liquide exerce sur Tenveloppe solide. Pour cda^ considérons le cylindre vertical qui projette Télément ci> sur le plan de la surface libre -, il découpe sur la jiartie supérieure de la paf pi un autre élément a/, mais si-* taé à une profondeur z' moindre que z \ la composante verticale de la pression exercée sur où' a ainsi pour valeur gpcz' -, mais elle est évidemment dirigée en sens contraire de la composante gpœ , correspondante à l'élément ta \ en

sorte que ces deux composantes rëumes, donnent dans rejc-* pression de la résultante totale, un terme de la forme gpc {z — y). Or, ce terme doit être regardé comme égal an poids de la colonne liquide, actuellement comprise dazis le cylindre vertical ayant &> et a>' pour sections , d'où il suit que la résultante cherchée, qui doit se composer d'au— tant de termes semblables que Ton peut imaginer de cylindres verticaux analogues dans Fintérieur du vase , est pr<î— cisément égale au poids total de la masse liquide,, et dirigée dans le sens de la pesanteur. Ceux des filets cylindriques qui aboutissent à la sUrface libre elleHoiéme, donnant dans la somme des termes de la formé g^cz , ne changent rien au résultat précédent. Donc la résultante des pressions que le liquide exerce sur les parois du vase est égale au poids de ce liquide -, dont enfin la pression exercée par le vase 9ur Fobstacle horizontal qui s'oppose à sa chute, est égale au poids de l'enveloppe solide, plus le poids du liquide qu'eUe contient.

Réaction 58. On peut déduire de l'expérience une autre vérifica- ^ ^^ ^ tion des considérations théoriques qui précèdent. Les commouTement. pog^nteg horizontales des pressions exercées sur les parois latérales d'un vase contenant un liquide en équilibre, doivent se détruire. mutuellemcxit,- ainsi que nous l'avons démontré-, mais li'il existe, sur un côté de ces parois, une ouverture par laquelle le liquide s'échappe, il existera sur le côté opposé une pression.dont la composante horizontale ne sera pas détruite , et le vase devra être poussé dans le] sens de cette composante. Or c'est ce que l'on pourrait vérifier par l'expérience, en diminuant autant que possible le firottement qui s'oppose au mouvement du vase.

On peut écarter facilement cet obstacle en transformant

' TROISIÈME LEÇOn. ^ Sj

le mouvement de translation en un mouvement de rotation. On prend pour cela un tube cylindrique vertical, mobile autour de son axe/ et termine vers le bas par plusieurs tdbes horizomaux avec lesquels 0 communique ,. qui sont mobiles avec luietboucbës à leur extrémité libre j mais qui ont chacun ime ouverture latérale du même côté de cette ex- yk, io. trémité. De Teau qui, remplissant le tube Vertical et les branches horizontales, s'écoule par les ouvertures latérales, exerce sur les côtés des tubes horizontaux opposés à ceux où se trouvent ces ouvertures, des pressions horizokitales non détruites qui font tourner tout le système. Cet appareil porte le nom de roue à réaction.

5g. Liorsqu*on plonge un corps dans un liquide pesant , Principe Il éprouve sur sa surface des pressions que 1 on pourrait évaluer analytiquement par la méthode que nous avons exposée ; car il n'y a que des dîflFérences de signe entre ces pressions et celles qui s^ exercent sur les parois du vase qui contient le liquide. On trouverait ainsi que toutes les composantes horizontales des pressions exercées s'entre-détruisent, et que la somme des composantes Verticales est dirigée de bas en haut ,. et a pour valeur le poids d'un volume de liquide égal à. celui du corps plongé.

On peut aussi démontrer ces conséquences par des considérations, fort simples. Lorsqu'un liquide est en repos, chacune de ses molécules est elle-même en équilibre, et détruit par sa résistance les pressions exercées sur elle. Si f on conçoit qu'une partie de ce liquide , ayant une forme quelconque , vienne à se solidifier en conservant la même densité , cette masse solide sera encore en repos , car une liaison invariable établie entre ses molécules ne saurait les tirer de cet état ) donc toute$ les pressions exercées sur sa

FiG.II.

surface et son poids, doivent être combinées de manière à se faire équilibre ^ ce qui exige que les composantes boriz^n^ taies des pressions se détruisent mutuellement , et que la somme de leurs composantes verticales soitigale et directement opposée au poids de la masse.

Si Ton imagine maintenant qu'à la place de cçtte niasse liquide solidifiée on substitue un corps solide de même forme, de même volume, mais de densité difflérente; ce corps sera sollicité à se mouvoir de baut en bas en vertu de son poids P. Mais il sera en outre sollicité sur sa surface par les pressions du liquide , qui seront évidemment les mêmes que celles exercées sur la masse liquide solidifiée, et qui se décomposeront par conséquent en pressions borizontales se détruisant, et en pressions verticales, dont la résultante sera dirigée de bas en haut, et égale au poids P du liquide déplacé par le corps. Si PsP', le corps sera en équilibre* Si P surpasse P, le corps tendra à tomber dans le liquide comme s'il ne pesait que P — P, et l'on pourra dire qu'il a pendu de son poids une quantité égale au poids du liquide déplacé. Cette dernière conséquence porte le nom de principe d^jirchimède^ elle est vraie pour tous les liquides et pour tous les fluides pesans dans lesquels les corps peuvent être plongés.

Pour vérifier ce principe par l'expérience ^ on se sert d'un cylindre plein de cuivre , qui remplit exactement un vase cylindrique creux du même métal \ on pèse le tout dans l'air \ après avoir âté le cybndre plein du cylindre creux, on accrocbe le premier au-dessous du second, et on le fait plonger entièrement dans l'eau. Ainsi disposé , le système a perdu de son poids , et la balance n'est plus en équilibre. Mais si l'on remplit d'eau le cylindre creux ,

T&OISIEMB LBÇ09- ^9

Pdqnilibre se rétabKt-, ce qai prouve qne la différence entre la premiàre et la féconde pesée était prëciaëment le poids d'un Toliime d'ean ^;al à celai du cylindre im-

60 . Ijorsque le poids P du corps solide plongé est moin- Gorpt dre^e la résultante verticale et opposée P' des pressions ipe le fluide exerce sur sa surface, le corps tend à monter en yerla de Teaccès P — P« Si aucun obstacle ne s'oppose à cette ascension y le corps s'élève dans le liquide, et flotte nr sa surface libre lors<pi'il ne déplace plus qu'une quantité de liquide dont le poids est ^al au sien; U est alors loOicité par deux forces verticales de même intensité : . Tmie, dirigée de baut en bas, est la résultante des actions que la pesanteur exerce sur ses diverses parties, et passe par son centre de gravité; l'autre, dirigée au contraire de l>as en baut , est la résultante des pressions qu^il éprouve , et passe par le centre de gravité du volume de liquide déplacé, point qu'on appelle centre de pression, lie corps lera évidemment en équilibre stable , si le premier centre de gravité est au-dessous du second sur la même verti* cde-, mais cette condition n'est pas indispensable.

En eSet , considérons un corps flottant de forme cou-? vexe, tel que deux plans particuliers rectangulaires ent^e 0UI, et passant par son centre de gravité, le coupent chacun en deux parties symétriques. Si l'axe d'intersection de ces plans est vertical , il contient à la fois le centre de gravité et celui de pression , et le corps flotte en équilibre. Mais, pour que cet équilibre soit stable^ ilfautetiisuffitque 1 une des sections restant verticale , et l'autre s^inelinant un pea, la ligne verticale qui passe par le centre de pression Fig. la. déplacé, vienne rencontrer l'axe maintenant incliné, en un

6o ' COURS DB PHYSIQUE.

point situe au-dessus du centre de gravite qu'il contient toujours-, car cet axe se trouve alors soumis à Faction d'un' couple qui tend à le ramener dans son ancienne position. Or, cette condition de stabilité peut être remplie quand même le centre de pression serait au-dessous du centre de gravite.

Il est souvent nécessaire en Physique qu'un corps ou une enveloppe de forme donnée, flotte à la surface d'un liquide dans une position déterminée : on atteint ce but en chargeant la partie inférieure du corps flottant d'une quantité suffisante de matière plus dense que la sienne, afin d'amener le centre de gravité de la masse totale au-dessous du centre de pression. On appelle lest ce poids additionnel y et le système est dit lesté.

Liquides ^'' Q^^^^^l plusieurs liquides de densités différentes, et upèrposés. n'ayant aucune action chimique l'un sur l'autre , ont été fortement agités dans un même vase , qu'on laisse ensuite en repos , ces liquides ne tardent pas à se séparer et à se placer les uns au-dessus des autres, les plus denses au fond, les plus légers vers la partie supérieure. Cette séparation s'opère par les mêmes causes, qui font mouvoir les corps solides dans les fluides : le liquide le' plus dense, se réunissant en gouttes dont le poids est plus considérable que celui du fluide hétérogène qu'elles déplacent, doit desceudre *, Tinverse a lieu pour le liquide le plus léger. Lorsque l'équilibre est établi , les liquides se trouvent superposés dans l'ordre décroissant de leurs densités , en sorte que le centre de gravité de la masse totale est le plus bas possible, comme l'exige la condition de stabilité -, toutes les surfaces de séparation sont des plans horizontaux, ce qui devais

êtpe d'après la loi des pressions intérie^res.

TROISIÈME LEÇON, t 6l

63. Si une force accélëratrice étrangère à la pesanteur et ayant une autre direction , agît sur une masse liquide et sur les corps qui s'y trouvent plongés, les conditions d'éqmlibre du système, ou les piouvemens relatifs qui s^y mamfestent , pourront différer beaucoup de ce qui aurait lieu , à la pesanteur agissait seule. On peut citer à ce sujet Texptfrience suiyante. On dispose sur Tappareil qui sert à vérifier les lois de Ja force centrifuge , des tubes cylindriques A'A'', B'B'', légèrement inclinés vers l'axe ^ le premier Fio.iS. contient de Teau et des boules plus denses qui reposent sur son fond A'' \ le second renferme des liquides différons, superposés suivant Tordre décroissant de leurs densités. Or, lorsqu'on imprime à l'appareil un mouvement de rotation rapide , toutes les masses mobUes dans les tubes s'âèvent et se dirigent vers les extrémités supérieures A' et B'*, mais les plus denses y arrivent les premièflv et 1^ plus légères sont* repoussées plus bas et plus près de l'axe de rotation. Ces mouvemens sont détertninés par la force ceiArifiige , qui ajgit en sens inverse et beaucoup plus fortement que la pesanteur, parallèlement aux arêtes des tubes. Cet excès occasi&ne une pression dans la masse liquide tournante qui augmente #ec la distance au centre ; d'où il suit que tout corps étranger qui s'y trouve plongé, éprouve une pression totale dirigée vers l'axe , et égale en valeur absolue à la force centrifuge que posséderait la masse liquide qu'il déplace -, et comme ce corps est en outre animé, au même lieu, d'une force centrifuge qui dépend de sa propre masse , il doit s'éloigner ou se rapprocher du centre, suivant que sa denaîté est plus grande ou plus petite

que celle du liquide qui l'entoure.

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