PROPAGATION DU SON. — 0KDE5 LIQUIDES

d'un quart de période, la molécule o est arrivée au polot le plus bas de sa course, à l'extrémité inférieure du diamètre vertical, les molécules i et 2 ont exécuté respectivement — et — de tour, tandis qut; les molécules 3 à la sont encore immobiles. Après une

Fig. 17

demi-période, quand le front de l'onde atteint la molécule 6, la

molécule o est revenue à son niveau primitif, mais à l'extrémité

du diamètre horizontal opposée à son point de dépar { : l'élongation

dans le sens horizontal est alors à son maximum ; les molécules i et

2 remontent après avoir décrit les — et les — de la circonférence;

3 2 I les molécules 3, 4 et 5, qui ont parcouru les — , — et — de leur

orbite, sont actuellement dans la situation même où se trouvaient après un quart de période les molécules o, 1 et a. Une Yallée s'est

ainsi dessinée à la surface de Teau. Une montagne va suivre : une pente a déjà surgi après trois quarts de période; l'autre versant s'ajoute dans le dernier quart ; et au bout d'une période entière, Tonde est complètement formée et s'étend de o à 12. Elle va se propager ensuite, en présentant toujours le val avec ses molécules écartées et le mont avec ses molécules pressées.

Imaginons maintenant qu'après ce premier tour, la molécule o continue à se mouvoir régulièrement sur son orbite : à la suite de

Fig. a8

la première onde vont cheminer d'autres ondes identiques, ainsi que l'indique la figure 28 (*).

343. Vibrations longitudinales; vibrations transversales. — De circulaire qu'elle était, la trajectoire d'une molécule peut devenir elliptique. Elle peut même se réduire à une droite verticale, sur laquelle la molécule se déplace comme se déplaçait sur le diamètre la projection du mobile décrivant un cercle. La montagne devient alors exactement l'inverse de la vallée : le profil de Tonde se compose de deux arcs symétriques de sinussoïde. Quand la direction de la vibration est ainsi perpendiculaire au sens de la propagation du mouvement, la vibration est dite transversale. Telles sont, par exemple, celles des cordes d'un violon. Lapropagation des vibrations transversales s'observe aisément sur une corde élastique et faiblement tendue, de plusieurs mètres de longueur (tubede caoutchouc (')

(^] Le phénomène est en réalité très complexe. Quand un groupe d'ondes se propage sur une eau tranquille, on voit les ondes avancer à Tintérieur du groupe et venir mourir en tête ; la vitesse du groupe est donc moindre que celle des ondes constituantes. M. Boussinesq,lord Rayleigh et M. Gouy ont publié d'intéressantes recherches sur ce sujet.

(S) Ce sera par exemple un tube de caoutchouc tombant librement du plafond sous l'effort de son propre poids, que l'on aura, s'il le faut, augmenté en remplissant de sable le canal inlérieur.

OU spirale de laiton), lixée à un bout et tenue à la main par l'autre bout. Si J'on déplace vivement la main dans un sens perpeodiculaire à la direction de la corde, l'ébranlement parcourt la corde entière sous la forme d'une onde nettement visible; et si l'on imprime avec la main des secousses convenablement rythmées, on. voit une série d'ondulations se transmettre très régulièrement jusqu'à l'extrémité la plus éloignée. Ici encore il est bien évident que ce qui se propage c'est le mouvement, tandis que chaque molécule n'éprouve qu'un déplacement transversal.

Au lieu de s'effectuer perpendiculairement à ta direction de la propagation, le déplacement des molécules vibrantes peut se produire dans le sens même de la propagation. Tel est le cas de certaines vibrations sonores cheminant dans les solides et de toutes celles qui se propagent dans les liquides et les gaz. C'est assez dire l'importance considérable des vibrations longitudinales en acoustique.

344. Fropafration d'un ébranlement longitudinal dans un cylindre élastique. — L'expérience de Mariotte avec les sept billes d'ivoire (191) montre d'une manière saisissante le mode

Kg. 19

de propagation d'un ébranlement longitudinal dans un milieu élastique, chaque bille recevant toute la vitesse de la bille précédente, qui rentre désormais au repos, puis transmettant celte même vitesse à la bille suivante : le mouvemenl progresse ainsi uniformément et sans rétrograder.

Soit une colonne cylindrique d'un milieu élastique quelconque. Un ébranlement a été produit dans une certaine région, les- molécules d'une même section orthogonale ayant reçu des déplacements égaux et des vitesses égales parallèlement à Taxe du cylindre, les déplacements et les vitesses variant d'ailleurs d'une section à l'autre suivant une loi quelconque dans toute l'étendue de la région considérée. Les forces élastiques qui résultent du déplacement des molécules directement ébranlées, déterminent le déplacement des molécules voisines, d'où naissent de nouvelles forces élastiques qui déplacent les molécules plus éloignées; et l'ébranlement se propage dans la colonne, toutes les molécules situées dans une même section orthogonale prenant à la fois le même mouvement parallèle à l'axe du cylindre.

Un plan M, situé à la dislance x de l'origine, est venu à l'époque t en M', à la dislance x -+- u. Un plan infiniment voisin M^,

MM, WM; Fig. 3o

silué au début à la distance x + dxy est venu en Mi, à la distance X -{- dx-hu-h -r- dx. La distance des deux plans, qui était dx, est

devenue dxli 4--?- ). Ainsi j— est la variation de l'unité de lon-

\ axj ax

gueur parallèlement à l'axe du cylindre ; ou, la section n'ayant

pas changé, si l'on considère la variation de volume, — -7- est la condensation y.

Par suile de l'écartement des deux plans M'MÎ, il s'est développé entre eux une force élastique proportionnelle à la déformation (135), valant en conséquence E-7-par unité de surface. Cette force élastique étant égale et de signe contraire à celle qui a produit la déformation, celle-ci aura pour expression — E-r-, le signe — indiquant que la force appliquée au plan M est dirigée vers la gauche. Sur un plan N, situé à la distance x -j- 8 x, agit

de même une force extérieure, dirigée vers la droite, et égale à E (-Z- -h -i-^^xj , Sur la tranche MN s'exerce donc, dans le sens

Fig. 3i

des X positifs, par unité de surface, une force E-i— ^Sx. D'autre part,

ce tM^

la force agissante, étant égale au produit de la masse par Taccélération, a pour expression Bx.D.-rrr, si Ton désigne par D la densité du milieu.

On a donc

ou, en posant «' = 1^^

d'^ti ^d'^u

dt^^'^dP'

Cette équation, que nous retrouverons dans Tétude des cordes vibrantes, a pour intégrale générale, donnée pour la première fois par d'Alembert,

y et F étant deux fonctions arbitraires.

On en dçduit pour la vitesse v et la condensation y, en un point quelconque x du cylindre et à une époque quelconque t,

Les fonctions /' et F^ sont définies par les conditions initiales. Les

vitesses et les condensations étant données à l'époque t = Q dans toute l'étendue de l'ébranlement initial, les quantités

sont des fonctions connues dex; les fonctions/' et F' sont donc déterminées :

On en conclut

Y = ^[x'{'at)-ha^{X'hat) — (f{x — at)-^af^[x—at) .

Ces équations résolvent complètement la question.

Supposons l'ébranlement initial limité entre les deux sections x=zo et x=L Alors les fonctions ç et i!; sont nulles pour toute valeur de la variable plus petite que o et plus grande que /. Nous partagerons l'étendue du cylindre en trois régions : 1° Considérons d'abord un point situé du côté des x positifs au delà de /. Dans un tel point, les termes ç(a:4-at) et ^ (x+at) sont toujours nuls ; les expressions générales de la vitesse et de la condensation se réduisent donc à

11 en résulte entre la vitesse et la condensation la relation remarquable

Mais, pour que ces quantités {f et y ne soient pas nulles, il faut que rÔQ ait

/> x — at > o, ou

Ainsi, le point x demeure au repos jusqu'à l'époque , il entre

oc alors en mouvement pour retomber au repos à Tépoque -, tandis

que l'ébranlement se propage au delà, en restant semblable à luimême puisque la variable x — at présente en chaque point la même série de valeurs de / à o. A une époque t, les seuls points en mouvement sont ceux qui se trouvent compris entre les deux tranches pour lesquelles on a x — af = / et x — at^zo. Une onde de longueur / se propage dans le sens des x positifs avec la vitesse constante

11 est à remarquer que cette vitesse est indépendante de la forme de l'onde, ou de la loi de l'ébranlement initial.

2* Du côté des x négatifs, de o à — oo , les termes ç [x — at) et ^{x— at) étant toujours nuls, la vitesse et la condensation ont pour expressions

v=^ (^(x-hat)-haf^{x--hat) L

Y = -^ j^ç(a: + at)-haij;(x+at)J;

par suite

On retrouve entre la vitesse et la condensation le même rapport constant, au signe près; et l'on reconnaîtrait aisément que le mouvement se propage du côté des x négatifs avec la même vitesse a, en restant encore à chaque instant enfermé dans une onde de longueur /, mais en présentant dans cette onde des vitesses et

VioLLB, Cours de physique, — II. 4

des condensations différentes de celles de la première onde.

3"" Dans la région enfin où s'est produit Tébranlement initial, entre les plans a: = o eta:=/, Tétai d'un point à chaque instant est celui qui résulterait de la superposition des vitesses et des condensations afférentes aux deux ondes dans la position qu'elles occuperaient à cet instant (^).

Si^ au lieu d'un ébranlement unique, on considère un mouvement vibratoire périodique entretenu par une cause quelconque dans une région déterminée du cylindre, en substituant à ce mouvement une série d'ébranlements élémentaires on verra sans peine que le mouvement vibratoire originel donne naissance à deu\ mouvements vibratoires de même période, se propageant en sens opposé avec la même vitesse a.

Suivons Tun de ces mouvements ; et, pour fixer les idées, imaginons que l'impulsion initiale provienne de Tune des branches d'un diapason placé en face de l'ouverture d'un long tuyau cylindrique d'axe OX. Supposons qu'au début cette branche se trouve à son plus grand éloignement de l'origine du tuyau : elle va d'abord s'en rapprocher en poussant la tranche d'air adjacente et lui communiquant successivement toute la série des vitesses qu'elle prend elle-même. Cette première tranche, déplacée et comprimée, agira sur une deuxième, qui se comportera de même avec une troisième, et ainsi de suite, les impulsions se transmettant uniforme* ment d'une tranche à la suivante, de sorte que les états élémentaires originels équidistants dans le temps se retrouveront à un même instant équidistants dans l'espace.

Pour représenter l'état de l'air dans chaque tranche, nous porterons en abscisse la distance de cette tranche à l'origine, et en ordonnée la vitesse comptée positivement dans le sens de la propagation du mouvement et négativement en sens contraire. Nous

(') Des deux ondes de môme longueur mais de conditions différentes, qui se propagent ainsi en sens, inverse avec la mêmevilessea, ilpeutarriverqueTune fasse défaut. 11 suffit pour cela qu'entre les vitesses et les condensations initiales existe le rapport =i= â;. En effet, la condition ('=:aY,par exemple, entraîne la nullité de la l'onction /^ ; par suite o(aî)=— a<Kœ); l'expression de la vitesse se réduit à <^ = — a^{x-^at)\ et comme pour toute valeur négative delà variable la fonction 4* est nulle, de pareilles valeurs rendront toujours la vitesse nulle. La première onde existera seule.

aurons alors, après i/4, i/a, i période, les trois courbes ci-conlre où se voient éparpillées sur toute la longueur de la colonne trou-

rig. 32

blée les vitesses qui ont successivement animé la tranche originelle pendant la durée de i/4, i/^j i vibration. On appelle longueur de ronde la distance OP à laquelle le mouvement se transmet pendant la durée d'une vibration.

Les mêmes courbes peuvent être considérées comme représentant les condensations, proportionnelles aux vitesses. Soit par exemple la dernière courbe, relative à TQnde entière : à partir du front P de Tonde, la condensation croît comme la vitesse, jusqu'à une distance PV égale au quart de la longueur d'onde ; vitesse et condensation vont ensuite en décroissant et s'annulent ensemble au milieu N de Tonde ; puis les vilesses reprennent des valeurs égales et contraires à celles qu'elles ont affectées sur la première moitié de Tonde, tandis que des dilatations reproduisent en sens inverse la série des condensations antérieures.

Le mouvement vibratoire continuant à Torigine, tandis que cette première onde se propagera d'un mouvement uniforme, de nouvelles ondes marcheront à sa suite avec la même vitesse a ; et à un instant quelconque Tétat de Tair dans le tuyau sera figuré par une

Fig. 33

série d'arcs égaux, alternativement positifs et négatifs, Tordonnée à Torigine représentant Tétat actuel de la tranche directement actionnée par le diapason.

346. Vitesse du son dans l'air. — Vitesse dans un tuyau, La formule

"^V^Ic:

est générale.

Âppliquons-la d'abord à la déterminatioQ de la \itesse de propagation d'un ébranlement dans une colonne cylindrique d'air ou de tout autre gaz suflisamment éloigné de son point de liquéfaction. La condensation y étant toujours supposée très petite, si l'on regarde les changements de pression du gaz, dans ses condensations et dilatations successives, comme régis par la loi de Mariotte,

on aura pour l'accroissement de pression correspondant à la condensation y

Mais

Donc

dp=z-tL—=py,

[formule de Newton)

Dans cette formule /; et D représentent, évaluées en unités mécaniques, la pression et la densité actuelles de la colonne gazeuse.

On a donc

p=igm1i, et

en appelant

g l'accélération due à la pesanteur (à Paris 981),

h la hauteur barométrique, en centimètres,

. (*) E désigne le rapport de raccroissement de pression dp à la condensation 64rre.spoi^dô[nte 7. On a donc encore, Df étant Taccroisaennent dé la. densité'dD,