PROPAGATION DU SON. — VITESSE DU SON DANS LES SOLIDES

La substitution de ces valeurs dans la première des équations (196'») donne, après suppression du facteur :^, la première des équations suivantes, le^ deux autres s'obtenant de même,

' (X + [jl) c/i + (p, — p V^) Y = o.

Si Ton ajoute ces trois équations, respectivement multipliées par rt, i, c, il vient

•(X^- 2{j!. — pV-)/i=o.

Celte relation doit être vérifiée; il faut donc que l'on ait ou X-i-2;;, — pV^==o, ou 11=10,

Dans le premier cas, mais en même temps, les trois dernières équations deviennent

an=:(x^ bn=i^^ cn^=y'^

et, si on les ajoute après' les avoir multipliées par a, p, y, on trouve

c'est-à-dire que le déplacement est alors dirigé dans le sens même de la propagation.

Dans le second cas, puisque n = o, le déplacement s'opère dans

le plan de l'onde: la dilatation 6 = /î-v-; est nulle; en d'autres termes,

la densité du milieu n'éprouve aucun changement, et les équations se réduisent à

Ainsi, quand une onde plane se propage dans un milieu isotrope,

sMe déplacement est longitudinal, sa vitesse de propagation est V,, ou, si Ton tient compte des valeurs (12) et (i3) du coefficient d'élasticité Eetdu coefficient de Poisson <j (142), et si Ton remplace la

densité p par -,

1 éy

si le déplacement est transversal, la vitesse est moindre et égale a V^,

Par suite, comme Poisson (*) Ta montré le premier, im déplacement quelconque au centre même de Tébranlement se décompose pour chaque direction en un déplacement parallèle au rayon, ou longitudinal, et en un déplacement perpendiculaire, ou transversal, lesquels se séparent immédiatement, puisque le premier marche plus vite que le second, et se propagent ensuite avec leurs vitesses propres.

D'après Wertheim <7=Tr, les vitesses Vj et V3 ont respectivement

pour expressions

et le rapport

Si, comme le voulait Poisson , X = a, et par suite a =-. ,

^^-\/lf='\/t v.=v/lf=Vi

Vo./l T

Aucune expérience directe n'a encore vérifié ces résultais de la

(*) Poisson, Ann. de chim, et de phys., (2), XXII, 250 et XLIV, 423; 1823-30.

PROPAGATION DU SON. — RELATION FONDAMENTALE ENTRE X, V ET t. 81

théorie. Wertheîm a seulement remarqué que les tremblements de terre semblent en effet accuser la production de deux ondes.

349. Relation fondamentale entre la longueur d'onde, la période et la vitesse du son. — Quand un son de hauteur donnée se propage dans un milieu homogène quelconque avec une vitesse V, la longueur d'onde X du son considéré .étant la distance à laquelle il se transmet dans le milieu pendant la durée t d'une vibration, on a nécessairement

Si Ton désigne par N le nombre des vibrations effectuées en i% on a et la formule précédente peut encore s'écrire

La période t, ou le nombre N de vibrations dans l'unité de temps, est caractéristique du son donné; la vitesse V dépend du milieu où se propage le son ; la longueur d'onde X résulte à la fois de la hauteur du son et de la vitesse avec laquelle il se transmet dans le milieu.

Nous savons déjà comment on peut avoir x (ou N) et V ; nous apprendrons bientôt à mesurer X ; et bien que la mesure directe de ce dernier paramètre ne soit pas indispensable, elle n'en aura pas moins son prix.

Longueurs d'onde des sons usuels, — Dans le tableau suivant on a mis, en regard des nombres de vibrations (*) qui se rencontrent le plus souvent et des périodes correspondantes, les longueurs d'onde dans l'air à la température ordinaire (V = 34o") :

(*) Nous comptons toujours par vibrations complètes ou vibrations doubles. VioLLE, Cours de physique. — II. 6

Sons fondamentaux de Sauveur.

Diapasons chronographiques. / 3oo

5oo

Diapason normal

o ,oo23o

o ,02000 o ,01000 o ,oo5oo o ,oo333 o ,oo25o

io",63 ou 3j^;>«rf»

350. Réflexion du son. — Lois de la réflexion, — Quand des ondes circulaires excitées à la surface d'une nappe d'eau rencontrent le bord, elles rebondissent contre l'obstacle et reviennent sur elles-mêmes (*).

Pareillement, les ondes aériennes qui portent le son se réfléchissent à la surface des obstacles qu'elles rencontrent, ainsi que l'attestent les phénomènes vulgaires d'écho et de résonnance ; et cette réflexion obéit, comme celle des ondes liquides, aux lois bien connues de la réflexion de la lumière. Si l'on désigne par rayon la direction suivant laquelle s'efi*ectue la propagation, et si Ton appelle angles d'incidence et de réflexion les angles que le rayon incident et le rayon réfléchi forment respectivement avec la normale au point d'incidence, le rayon incident et le rayon réfléchi sont dans

(*) Pour faire voir en projection la réflexion des ondes liquides, on prendra, d'après Desains, une auge rectangulaire remplie de mercure, on placera au-dessus un diaphragme percé d'une fente de dimensions un peu moindres que l'auge, de façon à cacher les bords du bain qui gâteraient l'image, et l'on fera tomber obliquement sur le mercure un large faisceau lumineux que recevra ensuite une lentille disposée de manière à donner sur l'écran une image nette de la surface du bain. Si alors on frappe légèrement l'un des côtés de l'auge, on verra des rides planes partir de ce bord, s'avancer jusqu'au côté opposé, revenir en arrière, et traverser ainsi plusieurs fois le champ en sens alternativement opposés. Avec une auge ronde, il n'y a qu'à toucher le centre pour produire des rides circulaires qui, après avoir été frapper les bords, se replient vers le centre. Il suffît môme d'un choc contre la table ou contre le sol pour faire apparaître les rides en question.

un même plan normal à la surface réfléchissante, et l'angle de réflexion est égal à Tangle d'incidence.

Pour montrer dans les cours que la réflexion du son suit les mêmes règles que celle de la lumière, on se sert ordinairement des miroirs conjugués. Ce sont deux miroirs sphériques, M et M', que Ton dispose à 5 ou 6 mètres de distance, l'un en face de l'autre, de façon que leurs axes coïncident suivant AA'. On place une bougie à l'un des foyers F ; l'image de cette bougie se forme à l'autre foyer F', où l'on peut la recevoir sur un écran. Si l'on substitue à la bougie en F une montre dont le tic-tac est

Fig. 38

imperceptible directement à une distance de i ou 2 mètres, on constate que l'oreille placée en F' l'entend très bien (*).

Échos, résonnances. — De la grandeur des ondes sonores, énormes par rapport aux ondes lumineuses, il résulte d'ailleurs, ainsi que nous le verrons plus loin, que telles aspérités, qui rendraient le miroir absolument mauvais au point de vue optique^ seront sans influence appréciable sur la réflexion du son. C'est ainsi qu'une muraille, une montagne, un groupe d'arbres constitueront de bons miroirs pour le son (^).

Certaines formes de voûtes donnent lieu à des phénomènes curieux par suite de la réflexion du son à leur surface, suivant les lois géométriques rappelées plus haut. Au musée des antiques, une voûte elliptique, aux deux foyers de laquelle on a placé deux

{}) k Toreille on peut d'ailleurs substituer une flamme sensible, ainsi que nous le verrons bientôt.

(2) La surface de l'eau réfléchit parfaitement le son : tous les bateliers savent que la voix porte beaucoup plus loin sur l'eau que sur la terre.

larges vases, permet à deux interlocuteurs parlant alternativement et écoulant dans ces vases, d'entretenir à voix basse une

FiR. 39

conversation, sans être entendus des personnes voisines. En un certain endroit des caveaux du Panthéon, il suffit d'un coup de canne contre le pan d'une redingote pour faire éclater un bruit assourdissant.

Dans tout espace fermé, il doit y avoir et il y a de fait réflexion du son. Mais, d'une part, à cause de la persistance des impressions, l'oreitle ne distinguera, eH général, le son répété du son direct que s'il y a entre ces deux sons successifs un intervalle d'au moins 1/10 de seconde ; par conséquent, pour qu'il y ail effectivement répétilion du son ou écho, il faut que l'obstacle contre lequel s'effectue la réflexion soit au moins â 17 mètres, de façon que pour le trajet total, aller et retour, le son doive employer au moins i/io de seconde; sinon, il y aura simplement résoimance. D'autre part, la nature même des parois a une grande influence : des tapisseries épaisses étouffent le son; des boiseries élastiques le renvoient au contraire, en y ajoutant l'effet de leurs propres vibrations. Le son se trouve alors prolongé et renforcé. Dans une salle de réunion ce double etfet peut aider la voix de l'orateur ; mais une résonnance trop forte nuit h la perception distincte de la parole ('). On cite telle église oii la voix du prédicateur n'est

(') La disposition qu'il coQvient de donner â une salle suivant ses dimensions el suivant l'usage auquel on la destine esl une des questions les plus délicates de l'arclii lecture. Voir à ce sujet Lâchez, Asoustique et optique des saiks de riunion. Paris; 187a.

intelligible qu'une fois par an, à la fête de Noël, les voûtes étant ce jour-là couvertes d'ornements qui en diminuent la sonorité habituelle.

Un obstacle situé à 17 mètres ne fait écho que pour un son absolument bref. Quand il s'agit de la parole, comme on ne prononce guère que 5 syllabes par seconde, et que, par conséquent, l'émission d'une syllabe dure i/5 de seconde, pour donner la répétition nette d'un son articulé, sans empiétement sur le son direct, l'obstacle devra être éloigné d'au moins 34 mètres en ligne droite. A cette distance, l'écho sera monosyllabique; à une distance double, il sera dissyllabique ; et ainsi de suite.

Deux obstacles disposés vis-à-vis l'un de Tautre, comme deux miroirs opposés, pourront se renvoyer le son un très grand nombre de fois, sans qu'il cesse d'être perceptible. Ces échos multiples ne sont pas rares; l'un des plus remarquables est celui de la villa Simonetta, près de Milan : un coup de pistolet tiré de l'une des fenêtres de la cour intérieure y est répété quarante à cinquante fois.

Échos aériens; opacité acoustique de P atmosphère. — Un fait curieux d'écho est celui que M. Tyndall (*) a eu l'occasion d'observer au cours d'expériences entreprises à South Foreland, près Douvres, pour étudier l'efficacité des signaux sonores sur les côtes maritimes, en cas de brouillard. Ces expériences, comme celles de M. Henry (*) en Amérique, donnèrent des résultats singulièrement variables : une atmosphère parfaitement transparente au point de vue optique peut être d'une opacité acoustique presque impénétrable. On conçoit, en effet, que si des masses considérables, bien qu'invisibles, de vapeur s'élèvent de la mer, elles feront obstacle à la transmission du son en créant dans l'atmosphère des couches hétérogènes, aux surfaces limites desquelles le son sera partiellement réfléchi. Pour vérifier cette manière de voir, M. Tyndall s'installa au pied du rocher en haut duquel étaient placés les appareils sonores, et il reconnut qu'effectivement l'écho se produisait au large avec une force considérable. 11 institua ensuite dans son laboratoire des expériences décisives, parmi lesquelles

(*} Tyndall, Phil, Trans.; 1874; ei On Sound, 284; 4**» éd. London, Longmans; (') Henry, Report ofthe Lighthouse Board of U, S. for the year 1874.

nous rapporterons la suivanle, que l'on peut facilement reproduire. Une grille rectangulaire à gaz est disposée horizontalement; à l'une des extrémités est placé un petit tuyau à anche; une flamme sensible est à l'autre liout. On fait parler le tuyau. Le gaz n'est pas allumé, la flamme sensible s'agite; on allume le gaz, la flamme revient au repos; mais une deuxième flamme située derrière le tuyau, en un point où, l'onde directe ne pouvant l'atteindre, elle restait immobile quand le gaz n'était pas

Fig- f,o

allumé, vibre maintenant avec énergie. La couche d'air chaud s'élevanl au-dessus de la grille allumée arrête donc le son et le renvoie en arrière, exactement comme dans les expériences à l'air libre.

Il est intéressant de rapprocher ces faits de l'observation du même savant relative à la transmission parfaite du son à travers une tourmente de neige, sur la nier de glace, pendant l'hiver de 1859. Le son passe avec une Tacilité extraordinaire par les interstices des corps solides; il traverse aisément douze foulards de soie superposés, tandis qu'un seul l'arrête complètement si, ayant été préalablement trempé dans l'eau, il forme un écran continu.

Les porte-voix et Cornets acoustiques sont des applications immédiates de la réflexion du son, compliquée d'ailleurs d'effets de résonnance.

Réflexion du son à Cextrémité d'un tuyau cylindrique, — Parmi les nombreux phénomènes de réflexion sonore, il en est un que nous devons étudier en détail, tant à cause de son importance propre que par suite des conditions simples et bien déterminées dans lesquelles il a lieu : c'est la réflexion d'une onde plane au bout d'un tuyau limité par un fond solide, ou s'ouvrant librement à l'air.

Dans le premier cas, quand l'onde se réfléchit contre le fond solide d'un tuyau fermé, la réflexion se produit, comme à l'ordinaire, avec changement de signe dans la vitesse et sans changement de signe dans la condensation, l'ébranlement qui se propage en sens inverse restant condensant s'il était condensant, dilatant s'il était dilatant.

A l'extrémité d'un tuyau ouvert, les choses se passent tout différemment. Quand un ébranlement condensant arrive à l'extrémité libre, la dernière tranche d'air ne trouve plus devant elle la résistance qu'ont éprouvée successivement les tranches intérieures : l'air extérieur cédant de tous côtés, la tranche s'avance au delà de sa position d'équilibre, entraînant derrière elle, de proche en proche, les tranches contiguës. Un nouvel ébranlement prend donc naissance, ébranlement dilatant qui se propage dans le sens rétrograde, mais en conservant le sens direct du mouvement des tranches. Ainsi la réflexion s'est produite sans changement de signe de la vitesse et avec transformation de la condensation en dilatation.

D'ailleurs l'un des phénomènes entraîne l'autre : du moment qu'à une certaine époque x se change en — jc, si -y- conserve son signe,— -7— en change, et réciproquement.

Dans la réflexion contre le fond supposé absolument résistant d'un tuyau fermé, la dernière tranche d'air doit satisfaire à la con-

dition u=zo ou -7- = o, ce que l'on ne peut obtenir qu'en superposant au mouvement direct un mouvement rétrograde de même amplitude a:vec changement du signe de la vitesse et, par suite, avec -conservation du signe de la condensation.

A rextrémité libre d*un tuyau ouvert, u n^est soumis à aucune conditioQ non plus que-i-, mais la pression ne saurait différer sensiblement de la pression atmosphérique actuelle : ainsi la condensation est très petite, et Ton a sensiblement -7- =o. Au mouvement

direct doit donc se superposer un mouvement rétrograde tel qu'à l'extrémité la compression de Tun compense la dilatation de Tautre; en d'autres termes, il doit y avoir changement du signe de la condensation, et par conséquent conservation du signe de la vitesse.

Analytiquement, le cas d'un tuyau limité peut se ramener au cas précédemment étudié d'un tuyau illimité (344), si l'on dispose de l'état initial de toute la partie ajoutée, de façon qu'en abandonnant ensuite le système total à lui-même, les conditions physiques qui existaient aux limites se trouvent remplies d'elles-mêmes à chaque instant.

Soit, par exemple, un tuyau limité dans un sens par un fond rigide.

La tranche d'air contiguê doit rester immobile. On doit donc avoir, àtouteépoque, ^=0 pour 07=0, en comptant les abscisses à partir du plan fixe (positivement du côté directement ébranlé), ou, d après la valeur générale de la vitesse,

f'{at)-F'{-at) = o,

OU, comme cette relation doit avoir lieu quel que soit f ,

ou encore, si l'on change z en —z^

Les deux fonctions /'' et F' sont donc connues pour toutes les valeurs négatives de la variable; et la question est résolue. On peut supprimer le fond si l'on attribue à la masse de gaz contenue dans la portion négative du tuyau un mouvement satisfaisant aux deux conditions précédentes. Ces conditions entraînent une consé-

quence immédiate. Calculons la vitesse et la condensation pour une tranche quelconque de la partie négative : les formules générales donnent, par le changement de j: en —Xy

v^ = a/'(-. X'\'at) — aF[ — a: — a^) = aF\x — at) — af[x 4- af ) = - ç»

Y^ = — /'( — ^4-a^) — P( — X — ârf)=— F^(a7 — flrf)— /'(j:-+-af)=Y.

Donc, comme il était facile de le prévoir, si Ton attribue aux tranches situées à la même distance de part et d'autre de Torigine, des vitesses égales et de signes contraires avec des condensations identiques, la tranche à Torigine restera perpétuellement en repos.

Si maintenant nous considérons dans la partie positive un ébranlement limité, compris entre d et ^+/, nous devrons imaginer dans la partie négative, entre —rf et —(rf -+-/), un ébranlement à vitesses égales et opposées et à condensations identiques. Chacun de ces ébranlements donnera naissance à une onde se propageant vers l'origine avec la vitesse a. Lorsque Tonde positive arrivera à l'origine, l'onde négative y arrivera également, et ces deux ondes, continuant leur marche, se pénétreront réciproquement. D'où il résulte que dans le tuyau limité les choses se passeront comme si l'onde directe, arrivée au plan fixe, se repliait sur elle-même, en se superposant aux parties qui marchent encore vers ce plan ; et lorsque la seconde extrémité de l'onde positive atteindra le fond. Tonde entière se trouvera retournée et prête à se propager en sens inverse.

On traiterait de même aisément le cas d'un tuyau s'ouvrant librement dans Tatmosphère, et Ton reconnaîtrait qu'en ce cas les choses se passent comme si Tonde directe éprouvait contre l'air extérieur le mode de réflexion que nous avons défini plus haut.

361. Réfraction du son. — En passant d'un milieu dans un autre, le son se réfracte comme la lumière, suivant la loi de Descartes, l'indice de réfraction d'un corps par rapport à Tair étant égal

au rapport des vitesses de propagation du son dans l'air et dans le corps. Sondhauss (') en a fourni la preuve expérimentale au moyen d'une lentille creuse, en coUodion, remplie d'acide carbonique: ce gaz étant plus lourd que l'air, un son émanant d'un point S,

Fig. 1r

situé à une certaine distance sur l'axe, venait se concentrer au foyer conjugué F, ou l'on pouvait le constater soit à l'oreille, soit au moyen d'une membrane B, recouverte de sable.

M. Hajech (^) a fait des mesures précises à l'aide d'un tubeprisme, semblable à ceux que l'on emploie en optique pour étudier la réfringence des gaz. Ce tube traversait le mur de séparation de deux pièces : dans l'une était installée la source sonore, en face du tube fermé de ce côté par une membrane normale à l'axe; dans l'autre se tenait l'opérateur au-dessus d'un cercle gradué tracé sut le parquet; l'expérience consistait à déterminer la direction du rayon réfracté pour une inclinaison donnée de la membrane de sortie, le tube étant rempli d'un fluide connu. Le tableau suivant renferme quelques-uns des résultats obtenus; on remarquera que l'eau, dans laquelle la vitesse de propagation est sensiblement la même que dans l'hydrogime, produit aussi des déviations k peu près égales :

{") Sondhauss, Pogg. Ann., LXXXV, 378; 1832.

(2) Hajech. Suovo Cimento , 1S57; et Ann. de ckim. et de pkys. (3), LIV, 438; 1859.