I. — COMPOSITION DE DEUX MOUVEMENTS VIBRATOIRES PARALLÈLES

388. Battements. — Théorie. — Quand deux mouvements vibratoires parallèles se superposent en un même point suivant une même direction, il y a interférences si les périodes sont égales, battements si les périodes sont presque égales.

L'étude détaillée que nous avons faite du premier phénomène (cliap. IV) facilitera celle du second.

Soient en effet, se superposant au même point, deux mouvements vibratoires parallèles et de périodes peu différentes, ayant pour vitesses respectives

vr=a sin 2r( — ©)

/=:ra'sin 27:(-j— ç'V.

Si Ton écrit cette dernière sous la forme

(^) Cette manière d'écrire la formule, en faisant passer une partie du coefficient de t dans la phase, n'aurait aucun sens physique si la partie englobée dans la phase n'était pas très petite ; en tous cas elle laisse la véritable période incertaine.

OQ voit immédiatement que le mouvement résultant peut être regardé comme produit par la combinaison de deux mouvements vibratoires, ayant la même période et présentant une différence de phase

variable avec le temps, mais lentement variable, puisque, par hypothèse, la différence t--t' est petite relativement à t et t'. Pendant la durée d'une vibration, $ aura donc une valeur sensiblement constante, et, le phénomène se réduira à Tinterrérence de deux mouvements vibratoires avec cette valeur particulière de la différence de phase. A la vibration suivante, ^ n'est plus tout à fait le même, les conditions d'interférence ont un peu changé. La variation continuant, le phénomène au point considéré se déroule dans le temps comme il se développait précédemment dans l'espace (357). L'intensité du mouvement résultant est maximum aux époques pour lesquelles la différence de phase est égale à un nombre entier quelconque ou à un nombre pair de fois 1/2, et minimum aux époques où la différence de phase est égale à un nombre impair de fois 1/2. Les maxima d'intensité se succèdent à des époques distantes de

le même temps 6 s'écoule entre deux minima consécutifs, et le temps - sépare un maximum du minimum suivant.

On observe donc une série de coups équidistants, séparés par des silences tombant à égale distance des coups; et comme le temps peut s'écrire

N et N' étant les nombres de vibrations complètes des deux sons considérés pendant l'unité de temps, comme d'ailleurs le nombre B

des battements dans Funité de temps est précisément égal à Tinverse de la durée de Fun d'eux^ on voit que le nombre des battements pendant l'unité de temps est égal à la différence des nombres absolus de vibrations des deux sons considérés y

Le phénomène sera d'autant plus marqué que les intensités desr deux sons primitifs seront plus près d'être égales :* si elles sont égales entre elles et à i, les coups battront avec une intensité 4* séparés par des silences complets (^).

Expériences, — Les battements s'observent aisément sur les instruments à sons simples, tels que les diapasons. Que l'on prenne deux gros diapasons munis de leur caisse d'harmonie et son-^ nant tous les deux la même note, ut^ par exemple, que l'on désaccorde l'un de ces diapasons (^), et l'on entendra des battements énei^iques, d'autant plus rapides que le désaccord sera plus pro<nonce. Deux grands tuyaux bouchés, à l'unisson, conviennent également bien, les harmoniques supérieurs étant très faibles dans ces instruments : en approchant le doigt de la lumière de l'un d'eux, on en fera descendre le son, et par suite on provoquera des battements. C'est même au moyen des battements que les organistes

(*) Quand les ampliludes sont égales, on a, en introduisant tout de suite les nombres N et N' et en négligeant les phases «p et 9' que Ton peut toujours rendre nulles par un choix convenable de Forigine des temps,

[sinaTcNr-hsin 27:N7=2Cos:r(N — N')r sintî?:^ — \ ,

produit dont le premier facteur montre la variation périodique de Tintensité,

et dont le second indique que le nombre des vibrations du mouvement résul-

N4-N' tant est alors constamment égal à la moyenne — -^- — des nombres de vibra-

tions des mouvements composants.

Quand les amplitudes sont différentes, la hauteur varie à chaque instant de

mêmequelmtensité.lemaximumétant r-, le minimum r-> ^^ **

hauteur moyenne pouvant être évaluée à — ,^ (Tekquem et Boussinesq,

Journal dephysique^ IV, 193 ; J875).

(^) Une surcharge (petite pièce de monnaie ou simple boulette de cire), collée vers le haut d'une des branches^ suffit à abaisser le son.

COMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. — BATTEMENTS. 25i

accordent les tuyaux, les coups s'espaçant de plus en plus à mesure que Ton approche de l'unisson.

Deux tuyaux ouverts, deux cordes de contrebasse ou de piano à peu près à Tunisson donneront encore des battements, mais plus difficiles à saisir. En effet les battements de deux sons complexes sont eux-mêmes complexes : à chaque coup du son fondamental correspondent deux coups du deuxième son élémentaire, trois du troisième, etc.; tous ces battements, plus ou moins nets suivant les intensités respectives des harmoniques, s'entremêlent et l'oreille perçoit une modification de la hauteur et de la qualité plutôt que de l'intensité du son (*). 11 est facile de rendre les battements visibles à l'œil parla méthode optique (397), ou par les flammes manométriques (355;. On peut aussi les enregistrer soit directement soit au moyen du phonautographe.

Dans le cas de deux diapasons, l'inscription directe se fait avec V appareil de Lissajous et Desains^ qui consiste essentiellement en un diapason mobile traçant ses vibrations sur une plaque de verre noircie portée par un diapason fixe, également en vibration. Dans le modèle primitif, le diapason mobile était déplacé à la main, au-dessus de la plaque de verre simplement collée à la cire sur le diapason fixe. L'instrument actuel permet d'effectuer commodément une combinaison quelconque des deux mouvements vibratoires. C'est un solide banc en fonte, auquel s'adapte d'une manière invariable l'un des diapasons et sur lequel peut glisser un chariot portant l'autre diapason; ce dernier est muni du style; au premier est attachée la plaque de verre noircie. Les deux diapasons étant mis en vibration, il suffit de tirer le chariot pour obtenir sur le verre enfumé le tracé de la combinaison des deux mouvements. On peut d'ailleurs donner à ces mouvements telle relation de direction que l'on veut, en orientant convenablement les deux diapasons, 1 un

(^) L'effet est très frappant sur la sirène double de M. von Helmhollz (355), suivant que Ton met ou non les caisses résonnantes. Dans le premier cas, le son fondamental prédomine ; et si Ton détermine la production des battements en tournant la manivelle d, les renforcements et les affaiblissements de Tintensite sont très sensibles. Si Ton enlève au contraire les caisses résonnantes, les sons supérieurs atteignent une intensité relativement grande, et la variation d'intensité pendant le battement devient beaucoup moins saisissante que celle de la liauteur ou du timbre (von Helmuoltz, loc. cit. y 208).

233 ACOUSTICIIlli.

sur le banc, l'aulre sur le chariol qui le poiic. Dans le cas actuel, les lieux diapasons seront placés parallèlement au& rails sur lesquels glisse le chariot.

Fig. 13.

La figure i3i montre un graphique ainsi obtenu.

Application à la mesure de la haulfur absolue des sons. — Sauveur ('), qui le premier étudia les balleiuents, on avait conclu un moyen de déterminer la hauteur absolue des sons. Si en effet les deux sons N et N' donnent B battements:, on a

Si d'autre part on connaît l'intervalle t des deux sons, on a en outre

Ces deux relations définissent complètement les nombres N et N'. Mais la méthode, exacte en principe, esta peu près impraticable, parce que deux sons ne donnent des battements faciles à compter que quand N' diffère peu de N, et alors l'intervalle l est très difficile à évaluer.

Scheibler (^) réussit à éviter cet inconvénient. Il disposa une série de cinquante-six diapasons échelonnés du lu.^ de aao vibralions au /ffj de 44*> vibrations par degrés de quatre vibralions. Chacun de ces degrés pouvant être déterminé avec précision par les battements, et l'intervalle enlier pouvant être apprécié 1res exaclcment à l'oreille, il eut ainsi un tonomèlre, au moyen duquel il con-

(') Sauveub, Histoire de l Aead'!mie des sciences, 13i; 1700.

(') SCBEiBLEw, Pogrj. Ann., XXI.X, 300; et XXXII, 333 cl 192; i833-3i.

naissait d'abord la hauteur absolue de chacun des diapasons de la série par une succession d'équations évidentes, et qui lui permettait en outre d'obtenir aisément la hauteur absolue d'un son quelconque entre 220 et 44o vibrations, par la simple mesure du nombre des battements que ce son donnait avec celui des diapasons dont il était le plus voisin. On pouvait également opérer sur un son plus grave ou plus aigu, h condition de le ramener d'abord par une série d'octaves entre les limites voulues.

M. Kœnig (*) a construit un grand tonomètre- allant de i6 à 32 000 vibrations (^) et comprenant par conséquent toute l'échelle des sons perceptibles.

389. Sons résultants. — Phé?iomè7ies . — Quand deux sons suffisamment intenses N et N' (distants de moins d'une octave (^)), se font entendre simultafiément, de leur concours naît un troisième son dont le nombre de vibrations est

U = JN'-xN.

C'est le son résultant, signalé presque en même temps par Sorge (*) de Hambourg, Romieu (') de Montpellier et Tartini (®) de Padoue.

Dans les cabinets de physique se trouvent ordinairement deux tuyaux faisant entendre isolément ut^ et /ir/p et dont le son résultant est fa.y Pour rendre ce fa.^ plus distinct, on le produit quelque temps au moyen d'un troisième tuyau fa., que l'on fait taire ensuite : le son résultant semble alors continuer la voix de ce dernier tuyau devenu silencieux. On peut encore manifester le son résultant par les battements qu'il donnera avec un son voisin.

{}) Kœnig, Catalogue dC appareils d'acoustique. Paris; 18S2.

(^) De iG*** à 25G''<', huit diapasons à curseur suffisent, chacun d'eux pouvant, selon la position du curseur, donner trente-deux notes différentes. Dans la dernière octave, les diapasons sont remplacés par des tiges droites (332), dont la plus petite «^10 = 32768'**, ne rendant môme plus de son perceptible, peut servir de. frappeur sans qu'on ait à craindre la production de sa propre note.

(•'') Cette restriction se comprendra plus loin (390).

(*) %o\{GE, Anwmung zur Stimmungder Orgelwerke iinddes Claviers, Hamburg;

{^) RoMiEU, Mémoires de V Académie de Montpellier ; 1753. . (^) Tartini, Traité de Vharmonie» Padoue ; 1754-.

Les instruments qui conviennent le mieux pour étudier les sons résultants sont les diapasons (nous y reviendrons bientôt), et partieulièrement les diapasons de i^octave 5.

Dans les cours on emploiera avec avantage l'appareil de KceniÇy qui se compose de deux tubes de verre (^), frottés Iongitudinalement par une roue garnie de drap mouillé tournant entre ces deux tubes. A Taide de ce dispositif on prolonge autant qu'on le désire les sons primaires, et par suite aussi le son résultant, qu^il est dès lors facile de saisir et que l'on peut au besoin mettre en évidence par Tun des artifices indiqués plus haut.

Explication (TYoïing. — Young (*) attribuait ce son à des battements devenus suffisamment rapides. Et de fait le son résultant se rattache d'une façon incontestable aux battements. A côté d'un diapason donnant 1/^3 = 256""*, faisons résonner un deuxième diapason dont nous élevons graduellement le ton à partir de Tunisson, et voici les phénomènes que nous constatons (^) : les battements, d'abord nettement séparés, se changent avant qu'on arrive à la seconde 9.88'''* (32 battements) en un roulement de plus en plus rapide et qui, dans le voisinage de la tierce 320"^^ (64 battements), n'est plus distinct que comme une simple dureté du son (^). En même temps» on commence à entendre faiblement un tit^ 64^** qui s'élève jusqu'à Viit^ 128'^, à mesure que l'on approche de la quinte 384^"* (128 battements), tandis que la dureté du son disparait complètement. De 384^'* à 448'''* le son résultant monte au 504 192'** et prend une intensité surprenante relativement à celle qu'il avait eue jusque-là. Bornons-nous à cette première étape, et comparons-en les phénomènes à ceux que l'on obtient avec une roue de Savart, dont on augmente progressivement la vitesse. Ce sont d'abord des chocs successifs^ puis un ronflement qui persiste encore quand il y a 128 chocs à la seconde; mais en dehors de ce rondement et

(*) L*appareil est accompagné de douze lubes accordés aux notes 11^^== 8,

w/,r=i6, wi?.ji=2o, /(i^j-i-mtiS, CCS demiers pour les sons résultants des intervalles harnrioniques (390).

(«) YoUiNG, 9lnL 'ïran%,\ 1800; et JMwce/kneous Worft.<î, I, 83.

('•*) Voir Kœnig, loc, cit, 100.

(^) En tout cela, M. Kœnig est complètement d*accord avec M. von Helmlioltz qui a le premier appelé Tatlenlion sur ce changement des battements en dureté.

en même temps on entend distinctement le son ti/^ isS""' (*). La ressemblance avec les battements est complète (^).

Théorie de M, von Helmholtz ('). — Partant de ce fait que les sons primaires doivent avoir une certaine intensité pour donner lieu à des sons résultants sensibles, M. von Helmholtz considère ceux-ci comme une sorte de perturbation du mouvement vibratoire, devenu trop violent pour suivre les lois ordinaires.

Quand les vibrations pendulaires sont suffisamment petites, les forces élastiques mises en jeu par les déplacements sont proportionnelles à ces déplacements; et le principe de la superposition pure et sim pie des petits mouvements, dont nous avons fait si souvent usage jusqu'ici, s'applique en toute rigueur. Quand au contraire les amplitudes des vibrations sont assez grandes pour que le carré des déplacements puisse exercer une influence notable sur la valeur des forces, le calcul montre qu'il se développe un nouveau système de mouvements vibratoires simples. Un diapason ou une cloche que l'on fait vibrer énergiquement émet l'octave (^), tandis que, vibrant avec une force modérée, l'instrument ne donne que des sons supérieurs non harmoniques. Si deux systèmes d ondes à grandes amplitudes viennent se rencontrer en un même point, deux classes de sons résultants apparaissent, ayant pour types : d'une part, le son différentiel dont le nombre de vibrations est égal à la différence des nombres de vibrations des sons primaires; d'autre part, un son additionnel dont le nombre de vibrations est égal à la somme des nombres de vibrations des mêmes sons {^). Ce deuxième son échappe évidemment à l'explication d'Young.

(^) Le ronflement domine si les dents rencontrent une lame de bois dur; le son est'plus distinct avec une carte pointue et peu résistante.

(-) La coexistence du bruit des chocs séparés et du son continu concorde avec les deux faits suivants, bien connus : i^ il suffit de i6 impulsions primaires pour donner un son (332) ; tP Foreille constate la non-coïncidence de deux pendules dont Toscillation ne diiTère que de i/ioo de seconde, et par conséquent distingue deux impulsions séparées de i/ioo de seconde. (Diaprés ce qui précède, la rapidité du pouvoir de perception de l'oreille atteint même i/i3o de seconde.)

(3) Helmholtz, loc, cit., 191 et 519.

(^) En faisant vibrer fortement un diapason à branches longues et minces on peut, à Taide desrésonnateurs, constater jusqu'à l'harmonique 4« (Cf. Gripon^ Ùéunion des sociétés savantes, 1880; et Kœnig, Quelques expériences, p. 193.)

(^) De môme que les sons primaires, les harmoniques donnent des sons résultants : ces derniers s'entenden t assez facilement sur le violon et sur rharmoniuni.

Importance musicale des sons résultants. — Les sons résultants jouent un rôle important en musique, par Finfluence qu*ils exer* cent sur la justesse des accords.

Considérons par exemple les deux accords parfaits (335) com> piétés par Foctavc.

Dans l'accord parfait majeur

les sons résultants sont

c'est-à-dire la double octave grave du son fondamental, l'octave de ce même son, l'octave grave de la quinte, et le son fondamental; tous ces sons renforcent simplement les sons primaires et particulièrement le son fondamental ; l'accord est franc et solide. L'accord parfait mineur

admet pour sons résultants

c'est-à-dire la double octave basse de la tierce majeure grave, la double octave basse de la tierce mineure, l'octave basse du son fondamental, la tierce majeure grave, enfin le son fondamental. Ici un son nouveau apparaît répété, la tierce majeure grave, qui est en dissonnance avec la quinte. De là le caractère indécis, inquiet, de l'accord mineur (*).

390. Battements des intervalles harmoniques. — Reprenons notre expérience avec les deux diapasons rendant des sons simples, l'un fixe à ut^^ l'autre mobile à partir de la même note; et

(') Les considérations précédentes s'appliquent aux différentes formes que Ton peut donner à Faccord parfait par renversement c'est-à-dire en transposant d'une octave une ou plusieurs de ces notes. Les sons résultants se trouvent alors modifiés, et introduisent ces dlssonnances secondaires dont Palestrina sut tirer un si admirable parti.