Superposition de mouvements pendulaires har

(') Radau, Moniteur scientifique de Quesneville, (2), If, 430, et Ilf, 792; 1865-66. ' (2)Beetz, Pogg, Ann., CXXX, 313 et 587 ; 1857. (3) Kœ.nic, loc, cit. y 139.

COMPOSITION DES MOUVEMENTS. — VIBRATIONS HARMONIQUES. 2b9

moniques. — Ua cas important de l'addition des mouvements pendulaires parallèles se rencontre quand les nombres de vibrations des mouvements composants sont des multiples entiers du plus petit d'entre eux, ou, ce qui est la même chose, quand en un même point se superposent un son fondamental et ses harmoniques. Le mouvement résultant admet alors évidemment pour période celle du son fondamental. La figure ci-jointe, empruntée au livre de

Fig. 1.^2

M. von Heimhollz, présente eu C le résultat de la composition de deux mouvements vibratoires simples A et B, dont les nombres de vibrations sont entre euv comme i : 2, et dont la différence de phase est o (les points d^, et e se superposent, les ordonnées c^, c.,.,, sont les sommes géométriques des ordonnées «j et A^, a^ et b^.».). En D la différence de phase est 1/8 de la période du son fondamental (le point e coïncide avec le point r/,). Sur la moitié gauche de la figure on a marqué en ponctué la courbe A, afin de rendre immédiatement sensible à Tœil la composition des deux mouvements. L'examen de la moitié droite où manque ce repère, montre que la courbe résultante ne porte pas nécessairement Tindication des mouvements composants.

Sans doute l'existence d'un son supérieur peut s'accuser par des dentelures sur les festons de la sinussoïde fondamentale, comme dans Texemple représenté fig. io8, mais le plus souvent Tceil sera incapable de démêler sur la courbe résultante la nature des mouvements composants. Comment pourrait-il y réussir sur des courbes telles que celles des (ig. lo et ii?

En tous cas, on conçoit que le mode de superposition que nous venons d'indiquer est susceptible de donner pour une même période une infinité de courbes caractérisant une infinité de mouvements vibratoires d'espèces différentes.

393. Théorème de Fourier (^). — Fourier a démontré qu'une fonction périodique quelconque, de période t, peut toujours et d'une seule maiiière, être remplacée par une somme de fondions circulaires

de périodes t, -, q...,

Acossrj — ) +A'cos2- / — ?'\ -t-A''cos2- / /\ +...,

les coefficients A, A', A''..., <p, 9', <?'..., en nombre infini, étant calculables dans chaque cas.

11 en résulte que tout mouvement vibratoire peut toujours et d'une seule manière être considéré comme résultant de la superposition d'un certain nombre de mouvements vibratoires pendulaires.

394. Étude théorique de la superposition de deux mouvements vibratoires rectangulaires. — Équations fondamentales, — - Examinons maintenant deux mouvements vibratoires à angle droit. Les mouvements étant toujours supposés pendulaires, si nous prenons pour axes les deux directions suivant lesquelles

(') Fourier, Théorie analytique de la chaleur. Poris; 1821.

ils sf'effectuenl, les déplacements pourront se représenter par

et

x=^ h cos 27U (Mî — o),

j =/C0S 2tcN?,

M et N étant les nombres de vibrations dans Tunité de temps, et ç la différence de phase des deux mouvements composants dont les amplitudes sont respectivement k et /. La trajectoire du mouvement résultant s'obtiendra par l'élimination de t entre ces deux équations.

Cette élimination, difficile dans le cas général, est au contraire très simple dans certains cas particuliers, les plus importants pour la pratique.

Umsso?i. — Supposons d'abord les deux mouvements à l'unisson, M — N, on a alors

- = cos 27uN^ cos 27:ç + siu 2::N^ sin 2x9 ,

ou

j =iy cos 2TC(p =t i/ I — j^ sin 27:ç, et en conséquence

•T^ COS 2x9 = si n ^27U9 ,

x^ r^ ixy . q

|»i 1— PAS OTT/n —1 SI n -^OT/n

équation d'une ellipse rapportée à son centre et inscrite dans le rectangle 2^,2/, suivant une orientation qui dépend de l'angle 2x9. ^

Car, si l'on fait successivement x=zk et j=zl dans l'équation de l'ellipse, il vient LT = / cos 2::© et LT' = k cos 2x9, d'où