LT LT
Fig. i33
De même, en faisant successivement x-=^o et j =0, on trouve
sin iTio
oh; oh ol""~ol
Si la différence de phase des deux mouvements composants est nulle, en d'autres termes si 9 = 0, Téquation devient
Tellipse se réduit à une droite PN ayant pour coefficient angulaire 7; et puisque x ^i j partent au début de k et de / pour s'annuler en même temps et arriver ensuite à — /f, — /, la droite
est décrite d'abord de N en P, puis de P en N, et ainsi de suite indéfiniment.
Si ?=7» réquation représente une ellipse rapportée à ses axes,
cl les mouvements composants étant alors
X^iÛVLlT^t et J^ = / COS 27;Nf ,
on voit que Tellipse est parcourue dans le sens de la flèche, ou dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre : cette giration de gauche à droite (pour un observateur en 0) est dite dextnwsiim. Ouand en outre k=l, l'ellipse devient un cercle.
Si ç = -, on a une droite MO,
symétrique de la précédente PN par rapport aux axes, et parcourue d'abord de M en Q, puis de Q eu M, et ainsi de suite.
En résumé, pour les valeurs de ç comprises entre o et 1/2, la courbe est une ellipse ayant son grand axe dirigé dans Tangle xOj si la difTérence de phase est inférieure à 1/4, et dans Fangle j^'Oj^ si cette différence est supérieure à 1/4.
Puis, (p croissant de 1/2 à i, la courbe repasse en sens inverse par les mêmes formes; et ces diverses trajectoires sont parcourues en sens contraire : la giration est sinistrorsum, *
Les valeurs de 9 supérieures à i redonnent les mêmes courbes, puisque d'une manière générale une différence de phase égale à un nombre entier plus une fraction n'intervient algébriquement que par cette fraction seule.
Accords harmoniques. — (Juand les nombres de vibrations M et N sont dans le rapport de /; à 1 , on peut poser
x=ik cos iT. [p^t — 9), j — l cos 2z iN/;
et, si Ton développe l'expression de x, il vient
=iA: cos 21:9 (cos2::N^)p — ^^^^ — î-^(cos 27:Nf)^--sin^2::N^-l-... + A sin 27U9 p (cos 2::N/)P - * sin 2::^ -^^^^^^^^^^
ou, puisque cos 27:Nf— y et sin 2T:Nf = =t w 1 — '-yj, i=Aco»»=,[i^-'-fci'-g^'(. -•7^)+-]
On a donc pour 7^ — 2 (octave)
j: — /<; cos 27:9 (?'7j — i ) =±=/t sin 2^9 (^tIV/ i "'77»
pour p — Z (douzième)
JC
^/icosaïuff 4'^— 3^ j±:A:sin2î:î>f4^— i jy » — 'tt*
La courbe /^=:2 est une parabole
quand quand
Fig. i37
Fig. i38
Lorsque <?=7, Téqualion devient
elle représente une courbe en forme de 8, passant par l'origine qui est à la fois centre et point multiple. La courbe a deux sommets verticaux
et quatre sommets horizontaux
Entre ces deux ligures, les variations de la phase amènent une série de formes toutes inscrites dans le rectangle a/i;,^/, et que Ton peut concevoir en supposant que le 8 se plie par le milieu et rapproche ses branches, de façon à arriver enfin à Tare parabolique.
La courbe p = 3 se réduit à une S,
X = A- (4*73 — 3-t] quand ©=o,
a: = -A^4-^-3lj quand ^=zL
Pour 9 = 7, on a une sorte de 8 à double croisement, dont Té-
quation est
la courbe offre un sommet vertical à chaque extrémité =i= / de Taxe transverse, et trois sommets horizontaux sur chacun des côtés
x=±:kàu. rectangle circonscrit (en j)^=:o et j = =tzli/ -jj.
Cas général. — D'une manière générale, si les nombres de vibrations des deux mouvements vibratoires rectangulaires M et N sont dans le rapport p : Çt p ci q étant des nombres premiers entre eux, la courbe résultant de leur combinaison présentera p contacts avec chacun des côtés [x = zt k) et g contacts avec chacun des côtés {j=i±: l) du rectangle *ik^iL En effet, dans l'intervalle de
temps pT = qi\T et t étant les périodes ît et^ des deux mouvements], X devient p fois égal à k, eij devient^ fois égal à /. Comme
d'ailleurs elle est continue, la trajectoire a p sommets horizontaux et q sommets verticaux. Au bout du temps pT = (/-:, le mobile est revenu au point de départ : la même trajectoire est ensuite parcourue indéfiniment dans les mêmes conditions.
Représentation géométrique de Lissajoiis, — Lissajous (*) a donne un moyen élégant de construire et de se représenter les différentes figures qui correspondent à un même rapport des mouvements composants.
(*) Lissajous, Ann. de chim, et dephys., (3), LI, 147; 1857.
On peul toujours, en choisissant convenablement Tunité de temps, mettre les deux déplacements sous la forme
x^/tcos m (^ — 0), rzr=/cos^,
où m désigne un nombre entier ou fractionnaire.
Que Ton trace la courbe ABCDE... représentée par l'équation j: = ^cos m (/ — ô); que Ton construise d'autre part le cylindre circulaire droit IKLN de diamètre 2/; qu'on enroule la courbe ABCDE... sur le cylindre en plaçant ak suivant la génératrice IR; enfin que l'on projette sur le plan méridien IN la courbe ainsi enroulée : cette projection sera la figure cherchée.
Considérons en elTct un point M de la courbe cylindrique et la
projection P de ce point sur le plan IN; a? Tare am étant pai' définition égal à r, IB nous avons
0Q=:/ cos t = 7.
D'ailleurs
PQ=rMm=x.
Or PQ et OQ sont les coordonnées du
Fig. I:',0
Fig. i'|i
point P par rapport à l'axe du cylindre Qx et au diamètre Oa. Le lieu du point P est donc bien la trajectoire du mouvement résultant.
La Ogure se rapporte au cas de m =. 2 (oclave). En général, m étant égal à -, le point M exécutera/? sinuosités complètes de part
et d'autre du cercle moyen, tout en effectuant y tours entiers autour du cylindre. On voit ainsi immédiatement que la trajectoire du point P est tangente p fois à chacune des lignes a: = ± A:, et 9 fois à chacune des lignes a:==±/.
Si, les deux mouvements composants restant les mêmes, la différence de phase varie, en d'autres termes si le point A est un autre point de la sinussoïde ÂBCDË..., on aura encore la même courbe enroulée sur le même cylindre, seulement le plan de projection sera un autre plan méridien. Au lieu de changer le plan de projection, nous pouvons supposer que ce plan est fixe et que le cylindre tourne sur lui-même, avec la courbe qu'il porte, d'une fraction de tour é^ale à - 9 (*), c'est-à-dire d'une fraction de tour égale
à la phase rapportée à la plus longue période, phase que nous désignerons par <]/. Si donc, ayant décalqué la courbe ABCDE... sur un cylindre de verre, on fait tourner ce cylindre sur luimême, l'œil placé un peu loin dans la direction 0^ verra successivement toutes les formes de la courbe correspondant à la
valeur choisie, du rapport-— m. On peut, comme l'a indiqué
M. Terquem (^), découper dans des feuilles de tôle les sinussoïdes A que l'on enroule ensuite suivant les cylindres / : on a ainsi des gabarits qu'il suffit de faire tourner entre une source de lumière parallèle et un écran pour que leur ombre sur cet écran affecte les diverses formes de chaque type.
La figure se reproduit pour une rotation du cylindre égale à
j tour .
— ^, c'est-à-dire pour une variation de ^ égale à -. Les formes simplifiées par la superposition des parties antérieures et postérieures
{}) Celte valeur résulte immédiatement de la construction géométrique de la courbe; on peut aussi la déduire de l'identité —8=27:^, d'où, ^ étant égal à
'-, on tire 0=:27:ç i, ou ^=ir,^^ si l'on pose 9 -=::<^.
(-) ÎEnQUEM, Séances de la Société française de physique ; 1876, p. 102.
j loor
de la courbe cylindrique reparaissent après une rotation de : ces
formes répondent aux phases à = o, fb=z — , = — ^,..-
395. Appareils montrant les fig^ures résultant de la combinaison de deux mouvements vibratoires rectangulaires. — Les figures résultant de la combinaison de deux mouvcmenls vibratoires rectangulaires s'observent aisément.
On peut d'abord employer à cet effet des pendules.
Une pointe fixée à l'extrémité d'un pendule ordinaire trace en général une ellipse, qui devient dans certains cas particuliers une droite ou un cercle.
Pour avoir Tune des figures -, il suffit d'attacher l'un au-dessous
de l'autre deux pendules de longueurs convenables, ou de limiter dans un certain sens (au moyen de deux règles parallèles) les oscillations d'un pendule unique. Eisenhohr, Mohr, Knoblauch ont construit sur ces principes des appareils plus ou moins compliqués. M. Lymann place sous la pointe d'un pendule une plaque de verre enfumée, portée par le prolongement d'un deuxième pendule audessus de son point de suspension ; il obtient ainsi un tracé qui dépend du rapport entre les longueurs des deux pendules et de l'angle de leurs plans d'oscillation.
396. Caléidophone de "Wlieatstone. — Wheatstone, qui le premier distingua ces phénomènes, les produisait au moyen de son caléidophone (379). Lorsqu'une des verges est écartée de sa position d'équilibre, elle y revient en effectuant des oscillations qui peuvent être planes, mais qui le plus souvent sont gauches et résultent précisément de la superposition de deux systèmes rectangulaires d'oscillations planes.
Considérons, par exemple, la lige à section carrée : si avec le doigt on la fléchit parallèlement à l'un des couples de côtés du carré, puis qu'on l'abandonne à elle-même, elle exécute des oscillations planes, et son extrémité trace une petite droite parallèle à ce couple; sollicitée parallèlement à l'autre couple de côtés, elle décrit de même une droite parallèle à ce deuxième couple; si
