CP""OP
eqiii est précisément la relation établie plus haut. Cette relation
laot indépendante de I, on en conclut que la position du point Q'
ar 1 axe secondaire QC est indépendante du rayon considéré;
l' est donc Fimage de Q, comme P' est celle de P.
Image (Tune droite. — Formuledu grossissement. — Puissance. —
I en résulte que Tirnage de la droite PU, normale à Taxe principal
l petite (c'est-à-dire de faible grandeur angulaire), est la petite
IroitePQ' (*), normale au même axe, définie quant à sa situation
MF Téquation
et quanta sa grandeur par la formule
0 désigoant Tobjet et 1 Timage prise positivement quand elle est Iroile et négativement lorsqu'elle est renversée (^). On a en effet
FQ' cp;op; py^cp^op'
''est-Mire
()LlH0id*aDe droite indéflnie dans un miroir sphérique de petite ouvern art MM floniqae, dont un foyer esl le poinl G et donl l*axe focal est la perladolvil àbabsée de G sur la droite. Soient ^ la longueur de ceUe perpendi- Un^ttringla que fait le rayon vecleur p avec le prolongement de ceUe BC^ réq«Btion de la conique est
I 4-^cosw a
/ L*îmage est droite ou renversée selon que les points conjugués sont d'un ae côté ou de côtés dilTérents du centre.
OU
OU, avec la notation de Newton,
et cette relation est également générale, avec les convcalions adoptées.
On déterminera aisément dans chaque cas Timage d'aoe droite de faible grandeur angulaire située normalement à l'aie principal (').
Nous supposerons d'abord que le miroir est concave.
L'objet étant extrêmement éloigné, Tirnage qui se forme dans le plan focal principal (plan mené par le foyer principal normalement à Taxe) est réelle, renversée et très petite {— Ii=-/J. Blé
n'a de dimensions visibles que si l'objet a lui-même un diamètre apparent sensible : Timage du soleil, dont le diamètre apparent.
- = 0,009, est un disque ^^ diamètre 0,009/. La concentration des
rayons sera d'autant plus énergique que la distance focale serm plus petite. En conséquence; Tinverse de la distance focale s'appellf^ la puissance du miroir
L'objet se rapprochant, Timage, toujours réelle et renversée, s'éloigne et s'allonge ; quand l'objet arrive au centre, Hmage, aussi au centre, est égale ri l'objet; puis, grandissant sans cesse tandis qu'elle s'enfuit, elle devient infinie à llnfini, lorsque l'objet atteint le foyer.
L'objet continuant à se rapprocher du miroir, Tirnage, marchant toujours en sens inverse, passe derrière le miroir. Virtuelle
(') La ficure 219 donne immédiatcmenl cette relation---— = —: ^,.-
(^) L'image d'une petite droite et par suite d*un petit ohjet plan perpendiculaire à l'axe principal est semblable à l'objet ; dans tout autre cas il y a déformation.
.SIO!f DE LA LU»IËRE. — PROPRIÉTÉS DES MIROIRS SPIIËRIQUES. 30»
site, d'abord iafiniment grande et infiniineot éloignée, eÉle se
roche et décroit jusqu'à devenir égale à l'objet quand elle se
rpose ù lui, au sommet.
iGn, l'objet se Tnisanl virtuel, l'image, redevenue réelle, est
petite que l'objet.
4figurcsci-jointes,relativesautdeu\ cas dilTérents que peuvent
Kig. 2.0
enter les miroirs concaves, montrent les rapports de situation.
:nnJeur el de direction qui existent entre l'imafre et l'objet ('1. insun miroir convexe, un objet rt'el donne toujours une ima<;e
41e, droite et plus petite que l'objet, située entre le foyer et le trs angles en A élan! «(laux, les triangles roclanj^lei PQA et P'Q'A mellcnl
Jence la relation établie plus liaut-TT-=:— . Il p
VioLLl, Court lit phyiîquf. — 11. 24
310 OPTIQUE GËOUeTRlQUE.
sommet du miroir. Par coalre, uo objet virtuel, placé eatre l et le foyer, fournit une image réelle, droite, plus grande que et grandissant à mesure qu'elle va depuis le miroir jusqu'à L'objet virtuel s'éloignant derrière le miroir au delà du foyer, se forme également derrière le miroir, virtuelle, recversée, plus grande que l'objet, puis égale à celui-ci quand ils son l'autre au centre, puis plus petite quand l'objet vieatoccuper du centre les positions qui étaient tout à l'heure celles de 1
Construction géométrique. — Dans les figures précède foyer conjugué d'un point, pris hors de l'aie principal, a él miné par l'intersection de l'ane secondaire relatif à ce | d'un rayon réfléchi que nous avons tracé faisant avec la i au point d'incidence un angle égal à celui que faisait ht même normale le rayon incident. En choisissant convenal ce dernier, on peut éviter toute considération d'angles.
Prenons pour rayon incident le rayon AI, parallèle à l'ai
cipal : le rayon réfléchi passera par le foyer F et viendra l'axe secondaire au point cherché À'.
Fig. «4 Inversement, traçons le rayon AF passant par le foyer ■
)K LA LUHIËRK. — PROPRlâT&S DES MIROIRS SPBËRIQUES. 371
paraUèlement à l'axe principal et reacootre l'axe secoa-
nA'.
I doable moyen (le premier est le plus employé {*]) pour
alace le Toyer conjugué d'un point, et par suite l'image
e 2a5 indique la coostruclion de l'image A'B' d'une
et fait voir comment, la droite AB se rapprochant du
:ourbure eo ab, l'image marche vers le même point en idil.
illeurs manifeste que ce procédé permet de retrouver iltats énumérés plus haut.
<ns expérimentales. — La vérification expérimentale est
^it sur un écran l'image réelle qu'un miroir concave
bjet lumiQeux(uQe bougie, une lampe à incandescence)
emeot éclairé, situé au delà du foyer (fig. aa6}. On
ir directement Vimage aérienne si les rayons réfléchis
ter l'œil au delà de leur point de concours.
oérieace à ce sujet est celle du bouquet renversé. Sous
1 Doirci portant un vase vide, un bouquet est suspendu
Tslème étant installé devant un miroir concave, dans
'observateur placé au delà du socle voit le bouquet se
ida vase avec une apparence surprenante de réalité.
mé par le poinl A parallèlement à l'axe principal ne ren- , OD remplacera l'aie principal par l'aie secoadaire paraltconque renconlranl le miroir: la seule condition est de e point de cet axe ailuë dans le plan focal principal. Dermat de construire le Toyer conjugué d'un point lilué mme hors de cet aie.
373 OPTIQUB GÉOHBTHIQUE.
Si l'oo met un objet au foyer même d'un miroir concaTe, l'imaj^e, étant à l'infiai eu même temps qu'elle est iofinimeai grande, reste visible sous un angle fini, soit à l'œil du accommode pour l'infini, soit au moyen d'une lunette astronomique ajos-
lée pour voir nettement ù l'inOni , et recevant à une distim quelconque les rayons réfléchis parle miroir.
Nous n'avons pas à rappeler l'emploi des miroirs conme* comme miroirs à harbc : l'image virtuelle et droite qu'ils fournie sent d'un observateur placé entre le foyer et le miroir est nécessi'' rement un peu déformée, le ue/. qui fait saillie étant moins grossi que les joues.
L'effet contraire se produit dans les miroirs convexes. Lorsqui» approche le doigt d'une boule panoramique, il apparaît comme oK massue renflée à son extrémité.
Tout objet convexe suffisamment poli reflète la lumïèD- eilérleure suivant une image étroite et brillante qui accuse le r«^ de l'objet.
Mesure de la distance focale d'un miroir sphérique ('). — a) Kiroir concave. — Le moyen le plus simple pour déterminer la ^1 tance focale principale d'un miroir concave est de l'exposer dnij
(') Il n'est question ici que des procédés optiques, plus commodes qvela' procédés mécaniques (114 et 116) qui ne devront cependant pas être néftïgil-
ÏFLEXION DE LA LUMifiRE. — PROPRIÉTËS DES MIROIRS 5PHËR1QUES. 3T3 ax rayons solaires et de chercher avec un verre dépoli l'image du oleil. La distance de cette petite image au miroir est égale à /! Mais e procédé ne comporte pas grande précision.
On obtiendra au contraire un résultat très précis en mesurant soigneusement les distances p et p' du miroir à un objet plan situé lu delà du foyer et à l'image de cet objet, et en appliquant à ce roupie de mesures (que l'on répétera en variant la dislance p) la ormule fondamentale
lomme objet, on prendra soit un réticule, soit le bord d'un trou u d'une fente, vivement éclairé, et pour trouver la place exacte e l'image, on se servira d'un microscope que l'on déplacera iisqu'à ce qu'on voie l'image le plus distinctement possible : cellei sera alors aune distance de l'objectif que l'on déterminera en herchant où il faut mettre un test-objet quelconque pour le voir letlement dans le microscope.
bi,tfi>oif convexe. — On peut également exposer lo miroir aux 'ajoDs solaires; mais comme le foyer n'est pas réel, il faudra «courir à l'un ou à l'autre des deux procédés suivants :
t'Disposerdevantlemiroir un écran percéde deux petits trous A,A',
I s'arranger de manière que les taches R,R', formées par les iTons réfléchis, soient écartées de RR' = aAA' : alors OP = OF=:/. 3* Recevoir d'abord les rayons solaires sur un large miroir coni»e M'N', de distance focale connue f, et placer le miroir MN de çon que l'image réelle S de l'objet virtuel F tombe entre les som-
37» OPTIQUE GtOHÉTHIQUE.
mets 0 et 0' : oq mesure OS=a et 00'=d, et l'on cale l'équation
En employant un objet virtuel bien défini et en 4
FIg. »8
de cet objet avec un microscope (par un trou pratiqué ei donnera à cette méthode toute la précision désirable.
On pourra aussi, plus simplement, viser au moyen d'un astronomique l'image virtuelle d'un objet réel situé en i miroir à une distance p> o : on déterminera le plan comme dans le cas précédent, en cherchant oii il faut f objet témoin (une page d'imprimerie) pour la voir netten aura ainsi p', et par suite/.
Aberrations. — Nous avons supposé jusqu'ici l'ouvei miroir assez petite pour que les rayons réfléchis près d (rayons marginaux) convergent au même point que les ra; sios du sommet (rayons centraux). Mais cette condition n't ralement pas satisfaite ; il se produit des aberratiom : on aberration longitudinale la distance du foyer des rayons mi au foyer des rayons centraux, eXaberration latérale le ray section faite dans le cône des rayons marginaux par le p central. La grandeur de ces aberrations dépend de la pot point lumineux. Nous considérerons seulement le cas où lumineux esta l'inOni; elles s'appellent aXors aberrations prit F étant le foyer des rayons centraux, F, le foyer des raye gioaux, et FH la perpendiculaire à FF, menée par le point E 83 rencontre avec le rayon mai^inalMF,, CF, — CFest l'ai
'LSXION DE LA LUSHÊRB. — PROPRIÉTÉS DES MIROIRS SPDËRIQUES. 319 gitudmaie principale \, et FH Va&erralion latérale principale ç.
Fig. 3)9
l'on observe que le Iriangle CFiM est isocèle et que l'angle FF,H t égal à l'ouverture 2x du miroir, on a immédiatement
= Xtg2>.
D'ordiaaire a est assez petit pour que les termes du quatrième rdre soient négligeables; on prendra alors les valeurs approchées
X='-f,' et ,=/,•,
u, si l'on préfère iatroduire les rayons de courbure CM = R et ooTerture AM=r,
L'iberration latérale, celle qui est la plus importante à considcï, diminue très vite avec l'ouverture. Toutefois, dans le cas de =aoo'" et de r = 5"°, on a encore p > ©'"lOoiS. Il semblerait donc npossible d'obtenir au moyen d'un télescope des images nettes et KepUbiesd'ungrossissement énergique, si l'on ne remarquait que snyons se serrent vers le centre du cercle d'aberration, de sorte ne 11 partie efflcacede ce cercle se réduit à une très petite surface.
La coDceotration des rayons au foyer même résulte immédiatenenldela considération de la caustique (').
1') Ctlle coosidératioii esl due au mathémalicien TscainNAus {Acta erudi- '*'*"■ 164; 1683]. De la Hihe {Mémoires de t'ancientie Académie des sciences, IX, 1itii69o]«lu(liala caustique engendrée par la rétlex ion d'un Taisceau derajons
376 OPTIQUE GÉOMftTBIOUE.
Caustiques. — On appelle caustique par réflexion 1 intersections successives des rayons réfléchis par \ qu*éolaire on |M>rat lomioeax. Mains a montré qaa eé*! surface à dent nappes. Dans le cas d^nn miroir i Tune des nappes se rédnit au diamètre passant par In |i neux; Fautre est une surface de rérdotion ayant poMi la courbe que forme dans Tun des plans méridiens do lieu des intersections successiTCs des rayons réfléchis. i ce lieu« A cet effet, traçons deux rayons incidents infitt sins PI et PF; les rayons réfléchis correspondants, IR coupent suivant Q qui est un point du lieu, «, a' eti* étant
Fig. 23o
que font respectivement avec l'axe PC le rayon incid rayon réfléchi IR et la normale 01 au point d'incidei fondamentale de la réflexion fournit aussitôt la relaiio fait générale,
et par suite
ou, si Ton mesure ces angles parles arcs comptés sur let
RR'~KK' = 2ir.
parallèles dans un miroir sphérique. Jean Bernouilu {Opéra, 1, 2 Lhopital (Analyse des infiniment petits; 1G96) s*occupërent des eau lesqueUes Suith [Cours d'optique^ Iraduclion Pézéuas, I, 3o; 1767) d terminer Féclairemenl, et dont PErrr [Correspondance sur rÉcoU p< publiée par Hachette, II, 353; 181 a) donna le tracé par points. Le si^ et élargi par Malus [Traité d'optique y dans les Mémoires présentés à sciences par divers savants, 11, 214; iBu); Dupin [Ann, de ehim. eii V, 85 ; 18 17) ; Quétblet [Nouv. Mém. de VAcad. de Bruxelles, 111, 1 5 et I Sturm [Ann, de Gergonne, XV, ao5; i8a4); Gergoxne [Ann. de Geryo; 1823-26); TiMMERMANs [Correspondance mathématique et physique des 336; 1826), et Levistal [Annales scientifiques de r Ecole normale, [i), V
R£n.KXION DR LA LUMIÈRE. — PROPRIÉTÉS DES MIROIRS SPHÉRIQUES. 3T7
Posons IP=/, IQ=1' et IR=IK=4«.
Les triangles semblables Qll' et QRR' donnent
