Propriétés générales d'un foisoeaa lominatiz
Théorème de Malus. — Au milieu de toutes ces complicatioDS,Iei rayons lumineux obéissent en effet à un théorème énoncé poDrIi première fois par Maius (') avec certaine restriction fauti«, d établi par les efforts combinés de Dupln ['), de Quételet {') eldt Gergonne (').
Ce théorème célèbre, qui porte tantôt le nom de Malus, linlU celui de Gergonne, peut se formuler ainsi :
Après tm nombre queiconçue de réflexions ou de réfractùm, Itt rayons, initialement normaux à une même surface, sont encore iw^ maux à une même surface, dite anticaustigue.
Pour la démontrer ('], nous suirroDi la méthode géomitriqMi iodiquée par le professeur belge Timmermani (*}.
Goasidéronfl d'abord un faisceau de rayoai pcrilUlaf SI. S
Fig. 3 10
tombant sur un plan réfringent xj, et appliquons leur la coDslnK-
{') Malus, loc. cit.
(') DupiN. loc. cit.
[3) QfÉTELBT, loc. cit.
(') Gehoonne, loc. cit.
C) On trouvera la démonslralion analytique dans le Traité de catcul iiftioti €t intégral de Bertrand (I, 685}, ou dans la Théorie générale des turfaca it Drt- Boui (11,275), qui renferme une étude 1res complète delà question.
(*) TiHHEiiUANs, loc. cit.
JCnOS. — PaOPRlfiTÊS générales D'UN faisceau LUHIMEUX. 46»
rHaygens (422) : ayant mené le plan MA perpendiculaire jons iocideats, des différents poin ts de xy comme centres trais sphères lA, l'A', tangentes en A,A'... à ce plan, puis réduie> rayons de ces sphères dans le rapport de t à — et con- 19 par la droite M, du même côté du plan xj, les plans tanaux sphères ainsi réduites : ces plans se conrondeot en un inique MB, normal à tous les rayons réfractés. « proposition convient à la réflexion regardée comme une lion suivant l'indice — i , le plan normal aux rayons réfléchis alors de l'autre côté du plan xj.
Dons-nous à la réfraction, et supposons maintenant que la e dirimante S soit quelconque et que les rayons incidents normaux à une même surface S. Si l'on prend les rayons
lUs dans un faisceau inriniment ciroit »i;jl, un pourra uer à ces rayons la construction précédente : décrire autour )in(s de l'élément ^ji comme centres des sphères tangentes à ent m, etensuite des splièrcs de rayon réduit dans le rapport I -; les intersections successives de ces deuxièmes sphères,
du côté de S, formeront un élément plan m normal aux rayoi réfractés. En opérant de même pour tous les éléments de surface S, on obtiendra une surface S' normale aux rayo* réfractés.
On tracerait sembiabiement une surface normale aux rayo après une deuxième réfraction (ou réflexion); et ainsi de suite.
11 en résulte que Ton peut toujours remplacer un nombre qui, conque de réflexions ou de réfractions par une réflexion unique < une seule réfraction avec indice donné. Car il existe toujours ux surface S, telle que les deux sphères décrites de chacun de se points comme centre tangentiellement aux surfaces S et S' afeo/
leurs rayons dans le rapport de i à -.
Les rayons issus d'un même point lumineux, étant normauià une sphère quelconque décrite de ce point comme centre, reotreot dans la catégorie des rayons normaux initialement à une même surface. Par suite, les rayons émanés d'un point unique sont, après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions, normaaii une même surface. On peut donc les assembler en deux familles de développ^bles orthogonales. L'ensemble des arêtes de rebroossement de toutes les développables d'une même famille est uoe nappe de la caustique^ laquelle est ainsi, en général, une surface à deux nappes. Quand toutes les surfaces dirimantes sont de révolution autour d'une même droite passant par le point lumineux, Tune des nappes de la caustique se confond avec Taie, et Tautre nappe est elle-même une surface de révolution autoor de cet axe.
Théorème de Sturm. — Les raisonnements précédents ont conduit Sturm à un théorème important sur la constitution dun faisceau infiniment mince. Soit un élément MP de la surface S' B0^ malc aux rayons réfractés : traçons sur cet élément les deai systèmes de lignes de courbure orthogonales. Les normales toi différents points d'une ligne MN du premier système se coupeot(à un infiniment petit du deuxième ordre près) en un même poiotB; les points H,H'... forment une petite droite, qui est située sarfa développable s'appuyant sur la ligne PQ du deuxième système car les normales à la surface aux différents points A, A'... de cetl
RÉFRACTION. — LENTILLES CYLINDRIQUES. ill
ligne passent en H,H'..; De même, les normales suivant les lignes da deuxième système rencontrent toutes une petite droite KK',
itoée sur la développable MN, normale à la première.
DoDC tous le$ rayons d'un faisceau infiniment mince rencontrent leux droites infiniment petites gui sont situées dans deux plans rec- 'angulaires, et auxquelles Slurm a donné le nom de droites focales.
Ces deux droites, comme nous avons déjà eu l'occasion de le remarquer, ne se coupent pas en général : il n'y a donc pas alors de véritable foyer.
On Térifîe aisément l'existence des droites focales en recevant très obliquement sur un miroir ou une lentille quelconque un faisceau étroit, et en déplaçant un écran dans la direction des rayons réfléchis ou réfractés.
48S. Lentilles cylindriques. — On nomme lentilles cylindriques celles dont une face au moins a la forme d'un cylindre.
Les plus employées sont les lentilles plan-cylindriques, limitées d'an côté par la surface convexe ou concave d'un cylindre circuaire droit, de l'autre côté par un plan parallèle à l'axe du ;yltodre.
Uaxe optique est une droile normale aux deux surfaces : il ' a une infinité d'axes optiques, tous parallèles et situés dans la
47X OPTIQUE GBOHKTRrOUE.
section principale axiale. On nomme section principale transeerm
toute section droite du cjlindre (*).
Si nous figurons une lentille plan-cylindrique par ses projectioiE sur ses deux plans principaux rectangulaires, doos voyons imms diatement qu'un pinceau de petite ouverture, émananl d'un point ■ se présente, h la sortie de la lentille supposée infiniment mincer-
En section axiale, comme s'il avait simplement traversé um lame infiniment mince à faces parallèles, c'est-à-dire comme t\ lentille n'existait pas ;
En section transverse, comme s'il avait traversé une lenl»^ plan-Ephérique.
Mi tle
Le faisceau s'élraaplera donc suivant une droite O.QIO!. P ■"'^flèle à l'axe du cvlindre <!t dont la distance à la lentille est dorï^* par la relation
/étant la distance focale de la lentille plan-sphériquc de même action transversc : c'est l'une des droites focales. Mais les raîw. prolongés en sens invei-se, vont tous rencontrer la droite PiPi-P.
(■) On appelli' nussi ii.axiiiiak maxiiiia, tandis i|u'elle est miiiim
cite seciioii oii la puissance de la lentille tji I (latis la section axiale.
RÊFRACTinN. — LENTILLES CYLINDRIQUES. 4'3
menée par te point P perpeadiculairement au plan axial : c'est l'autre droite focale.
Lj'actioD de la lentille dans ua cas quelconque s'en déduit aisément. Soit, par exemple, en P, un système de droites perpendiculaires k l'axe optique et divergeant comme le rais d'une roue, tel que les oculistes l'emploient volontiers; en Q, le rais parallèle à la. première droite focale aura seul pour image une droite, les autres se marqueront par des bandes dont la largeur ira en croissant d'une façon continue jusqu'à l'azimulh perpendiculaire.
Si nous superposons à la lentille cylindrique une lealille sphé-
*i<loe, defaçonà constituer ce que l'on appelle un système astigmate ^ tes rayons émanant d'un point quelconque P formeront au sortir ou système un faisceau qui s'étranglera successivement suivant les deux droites focales S el T, dont il est facile de déterminer la ^ilion, soit graphiquement, soit par le calcul; car la puissance d'un système composé de lentilles infiniment minces en contact èliat égal à la somme des puissances respectives de ces lentilles,
la puissance du svstème dans la section maximale est -;+ -n, et dans la section a\iale r, où F représente la distance focale principale de là leolille spbérique.
OPTIQUE GÉOXÉTRIQCE.
Quand on regarde un objet à trayers un système astigmate, o n'obserre en général qu'une image déformée. En imprimant o rotation au système dirigé sur une droite immobile, on voit cell rester immobile, ou se balancer à la manière d'un pendule, tourner d'un mouvement continu, suivant les conditions de Texp rience. Ou se rend compte immédiatement de ces apparences, l'on considère, non l'image imprimée sur la rétine, mais la figu semblable que dessinent dans le plan de la lentille les lignes direction (430), s^appuyant à la fois sur la droite-objet et sur couple de lignes focales conjuguées du point nodal de l'œil (').
0) LcROT, Rev.gén. cTophtaL, VI, 145; 1887.
