TUYAUX SONORES. — LOIS DE BERNOULLI

Dans les internœuds successifs, les vitesses sont de signe contraire. Si les courbes tracées sur les figures représentent les vitesses à une certaine époque, ces vitesses après une demi-période auront pris partout des valeurs égales et opposées, les vitesses étant toujours de signe contraire de part et d'autre d'un nœud. De même, à un instant donné, les nœuds successifs sont alternativement condensants et dilatants, et ils changent tous de signe en même temps toutes les demi-périodes, Tair intérieur étant pendant un moment partout à la pression atmosphérique.

II. Tuyaux fermés, — La réflexion contre le fond changeant le

signe de la vitesse, et la réflexion à Torigine changeant le signe de la condensation, Tonde deux fois réfléchie sera concordante avec Tonde directe, si le chemin parcouru 2L, augmenté de -, est égal à k\. On devra donc avoir

4L=(2A:— i) A, ou

D'où les lois suivantes :

I* Un tuyau fermé peut rendre une série de sons caractérisés parles harmoniques impairs 1, 3, 5, 7,

2* La hauteur de Tun quelconque de ces sons est en raison inverse de la longueur du tuyau.

3* Le son fondamental a pour longueur d'onde quatre fois la longueur du tuyau

X = 4L, ^u pour hauteur

*ï est à l'octave grave du son fondamental d'un tuyau ouvert de ^éme longueur.

4' Les points notables sont disposés comme le montre la ^^gure ci-après, le fond du tuyau étant toujours un nœud.

Chaque son étant à Toctave grave du son analogue que rendrait un tuyau ouvert de même longueur, est identique à celui que

Fi g. 65

donnerait un tuyau ouvert prolongé d'une longueur égale au delà du fond : dans un tel tuyau les seuls harmoniques possibles sont évidemment les harmoniques impairs.

360. Vérifications expérimentales. — L'expérience s'accorde en général d'une façon salisfaisanle avec la théorie qui précède.

I** Mersenne (*) remarque que de la trompette harmonique on tire aisément la tonique, Toclave, la douzième (quinte de l'octave), la quinzième (double octave), et pas de notes intermédiaires. Sauveur (^) cile des faits semblables; mais c'est Bernoulli qui établit le premier la loi de succession des sons supérieurs tant dans les tuyaux ouverts que dans les tuyaux fermés. Pour la vérifier après lui, on prend un tuyau long et étroit, un grand tube de verre, monté sur une embouchure de flûte, et on y envoie de l'air sous pression croissante : les sons se succèdent en suivant très

('^Mersenne, loc. cit., p. Ti\,

(') Sauveur, Mémoires de l'Académie des sciences, année 1701, p. 299.

TUYAUX SONORES. — VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES

Kr^

sensiblement la série harmonique. On obtient tous les termes de la série (sans peine jusqu'au vingtième) si le tuyau est ouvert (*), les termes impairs seulement si le tuyau est ferme. Le passage d'un terme à Tautre ne se fait pas d'une façon absolument brusque; Je son ne prend sa nouvelle hauteur qu'après avoir débuté faiblement en dessous; puis il s'enfle en montant jusqu'à ce qu'il ait atteint le ton voulu : il a acquis alors sa pleine intensité, l'intensité maximum correspondant à l'exacte concordance de toutes les ondes superposées dans la colonne vibrante. D'ailleurs, les divers sons dont on constate ainsi la succession peuvent évidemment coexister : en fait, le son fondamental d'un tuyau cylindrique étroit est toujours accompagné d'harmoniques nettement perceptibles.

2* La loi de la raison inverse de la longueur est très anciennement connue. Elle s'applique assez bien aux tuyaux longs et étroits; mais, d'une manière générale, elle comporte certaines perturbations sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

3' La relation entre les sons fondamentaux d'un tuyau ouvert et d'un tuyau fermé de même longueur se constate facilement au moyen d'un tuyau ouvert quelconque : en le bouchant on lui fait rendre l'octave grave du son primitif.

4* Pour étudier la disposition des points notables, on peut recourir à un grand nomt^re de procédés.

Si Ton introduit dans un tuyau à paroi de ^erre une petite membrane recouverte de ^ble, on reconnaît aisément que le sable est ^^ repos aux nœuds seulement, tandis qu'il ^^ agité dans tout le reste de la colonne et Particulièrement aux ventres. A la mem- "*^ne recouverte de sable, employée par Savart (*), on peut substi-

Fig. 66

, '7] Quand le tuyau est très long, on obtient difficilement le son fondamental : ^ ^(^strument a une tendance à octavier, i*} Savart, Ann. de chim. et de phys., (2), XXIV, 58; 1823.

ISS ACOUSTIQUE.

tuer une lame de cotlodion (Gripon), ou de liquide glycériq (Mach). L'expérieace peut se faire pour un son supérieur qui

Fig. 6;

conque, comme pour le son fondamenlal, et dans un tuyau feri aussi bien que dans un tuyau ouvert (').

La pression aux ventres étant la pression atmosphérique, trou percé à un ventre ne change pas le son, tandis qu'aillei il le modifie : dans le tuyau figuré ci-contre et excité de faç

(■) Sur quelques singularités que peut présenter cette expérience, i voit Lang, Wied. Ann., VII, 292; 1879.

TUYAUX SONORES. — VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES

3 rendre le son 3, la hauteur du son ne change pas quand on ouvre les trous correspondant aux ventres f , w, mais elle monte quand on lève les opercules a ou b.

Aux nœuds, la vitesse est nulle. Si donc on immobilise la tranche

Fig. 68

Fig. 69

^*air qui s'y trouve, on n'apporte aucune modification à l'état de i^ colonne vibrante. Ainsi, le tuyau ouvert T rendant le son fondamental, poussons la coulisse AS placée au nœud de manière à ^obslituer à la partie évidée S la partie pleine A : le son ne change pas. On peut encore interpréter cette expérience comme prouvant ^la'un tuyau fermé donne le même son qu'un tuyau ouvert de longueur double.

Si l'air est immobile aux nœuds, la pression y est maximum.

C'est donc là qu'il faudra disposer les capsules manométriques de

K.CBnig. La figure 70 représente un tuyau ouvert, muni de capsules

^Manométriques au nœud a du son i, et aux nœuds £, c du son 2.

Quand le tuyau émet le son fondamental, les trois flammes s'agi-

^^nt, mais celle du milieu accuse des variations de longueur

^aucoup plus marquées que les deux autres : elle peut même

* éteindre si le son est suffisamment intense. Au contraire, cette

flamme a est absolument immobile, tandis que les deux autres

^y c sont fortement agitées, si le tuyau donne l'octave. Dans le

ï« ACOUSTIQUE.

tuyau bouché, représenté à câté, la flamme h placée près du fond fiWt correspond toujours à un uœud ; les autres sont disposées ait «»u ventre a et au nœud <■ du premier son supérieur (son 3). Si le tuyau m^m \ rend le son fondamental, les Iroîs flammes vibrent, mais avec ^ri»-! une intensité décroissante de A à c Si le tuyau donne le son 3, la .^^ j tlamme a est immobile, tandis que les tlammes b ni c éprouvent ^ kiI des variations considérables d'éclat et de Imiiteur. On sait que la ,«:=. n

manière la plus facile de saisir ces variations est d'examiner la tlamme dans un miroir tournant.

M- KœnigC) a construit encore un appareil très commode pour étudier l'état d'une colonne aérienne en vibration. Un grand tuyau d'orgue, couché horizontalement au-dessus d'une longue

(») Kœnig, Wifd. Ann., o6il; 1B81; et QueViua exji^-înictSt p. 206.

TUYAUX SONORES. — VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES

oiivetle, est fendu sur toute la longueur de sa face inférieure : cJâns la fente pénètre Tune des branches ca d'un tube en U, venant cl aboucher au centre de la section droite du tuyau ; l'autre |>ranche db^ restant en dehors, peut être reliée à Toreille ou à une capsule manométrique. Dans la cuvette on verse un liquide qui forme fermeture hydraulique, tout en permettant de faire marcher le tube explorateur de façon à amener son orifice intérieur en tel point que Ton veut de Taxe de la colonne vibrante. La figure 71 offre une coupe transversale du tuyau, fermé en haut par une glace, au-dessus de laquelle peut glisser la pince mn soutenant le

Fig. 71

'^^c explorateur acdb. En promenant ce tube tout le long du *^y*iu, pendant que celui-ci émet une note quelconque, on cons- ^^e à Toreille que le son s'enfle puissamment aux nœuds, et ^ •affaiblit aux ventres. L'expérience montre que, s'il est difficile de '^^'^^onnaitre nettement le lieu d'un maximum d'intensité, il est au ^^^Iraire aisé de fixer la place d'un minimum, le son y disparaissait brusquement, de manière qu'on détermine à Toreille la posi-

^D des ventres avec exactitude et facilité. L'observation d'une

^^nimc assez courte peut suppléer l'oreille : la flamme devient ^bitement très lumineuse à chaque ventre, tandis qiie dans tout ^ reste de la colonne elle est bleue et peu visible.

Quand un tuyau rend un son supérieur, la colonne d'air se ^'vise spontanément en parties aliquotes, vibrant isolément et h ^ïiiisson.

iii, par exemple, un tuyau ouvert rend le son 4 nous pouvons

VioLLS, Cottrt dt phytique, — 1. 9

considérer la colonne d'air comme partagée en quatre segmei

longueur -, limités aux ventres v, v^ v, de sorte que si i*on e

successivement le segment supérieur, puis le suivant, puis e celui qui vient après, le son conserve toujours la même hau il restera identique si Ton remet les uns après les autres les segments. L'expérience se fait avec là /là te de Bemoulli, étroit 1 en palissandre, formé d'une première partie portant Tembom et de trois autres tronçons de même longueur, superposés.

Fig. 7a

Fig. 73

Au lieu de démonter le tuyau aux ventres, limitons-le succei ment aux divers nœuds à Taide d'un piston mobile ;;, ainsi que 1 sait Bernoulli: nous pourrons encore ajouter ou retrancher uni bre quelconque de concamérations sans modifier le son primit

(*) Outre les tuyaux ouverts et les tuyaux fermés ou bourdons^ on en encore en musique les tuyaux à cheminée, tuyaux bouchés dont le fond

TUYAUX SONORES. — VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES. 131

Ces expériences sont susceptibles de mesures comportant une

certaine précision. Ainsi, d'après Masson (^), une flûte de Ber-

nouUi rendant un son dont la demi-longueur d'onde était o'",i38,

se composait de segments ayant précisément cette même longueur

o",i38, à l'exception de celui qui portait l'embouchure et dont

la longueur était seulement o",io3.

Pareillement, quand on opère avec un piston mobile dans un

tuyau long, étroit, embouché sur tout son pourtour et rendant un

son de rang un peu élevé, comme l'ont fait Desains et Lissajous(*),

on constate que la longueur des internœuds est la même dans

tout le tuyau et égale à la demi-longueur d'onde du son émis.

Le tube explorateur conduit aux mêmes résultats : M. Kœnig

trouve par exemple pour le huitième son d'un tuyau ouvert, ayant

^",33 de longueur sur o",i2 de côté, les distances suivantes, en

millimètres, des ventres successifs, à partir de l'embouchure :

les six nombres moyens sont sensiblement égaux entre eux et à leur moyenne 3i4; le premier est inférieur à celte moyenne de 1 .41 et le dernier, de 4'i (^).

L'expérience confirme donc les indications de la théorie, sauf la relation entre la longueur du tuyau et la longueur d'onde. LiO longueur d'un tuyau, ouvert ou fermé, émettant le son fon-

Jainental, est moindre que la longueur théorique - ou -. Si le

^uyau rend un son supérieur, les points notables sont distants

de -^ sur toute la longueur du tuyau, à l'exception du premier

^He ouverture à laquelle est adapté un petit tuyau ouvert de longueur conve- ^^ble. La théorie de ces instruments a été établie par Beriioulli, Poisson et ^uhamel; M. Gripon en a vérifié la conséquence la plus importante, d'accord ^vec les faits qui précèdent, à savoir que les deux colonnes d'air de diamètres ^^lîérents qui composent un tuyau à cheminée vibrent isolément à l'unisson, l^ft nœuds et les ventres étant placés dans chacune aux distances voulues de l'extrémité libre (Gripon, Ann. de lÊc. norm., (1), I; 1^64).

(*) Masson, Ann, de chim. et de phys., (3), XL, 463; tSiiS.

(') Desains et Lissajous, Expériences inédites, citées dans Desains, Leçons de physique. II, 70. Paris, Desobry; 1860.

:}] Cf. Hvhios, Journal de physique, (2), I, 136; 1882.

i32 ACOUSTIQUE.

nœud qui est toujours plus rapproché de l'embouchure et du der nier nœud dans un tuyau ouvert ou du dernier ventre dans un tuyai bouché (') qui est encore à une distance de Textrémité moind

que -. C'est ce que Ton appelle les perturbations aux extrémité!

361. Perturbations aux extrémités^ — Leur origine. - La perturbation la plus importante est celle qui se produit Tembouchure. Elle provient de ce que, par suite même du mo d'ébranlement, la condensation n'est pas nulle dans tous les poi de la tranche originelle, ainsi que l'exige la théorie.

A l'extrémité libre du tuyau ouvert, les choses ne se passai; pas non plus comme nous l'avons supposé. Sous l'influence <i courant d'air qui traverse le tuyau, la colonne vibrante se proloin.g au delà des parois : la réflexion sur Tair extérieur n'a donc f>a lieu exactement dans le plan extrême, mais un peu plus loin - c aux points mêmes où s'opère cette réflexion, on ne saurait coccevoir une condensation rigoureusement nulle : la densité de Vn^ir intérieur est sans cesse égale non pas à la densité constante de l'air extérieur au repos, mais à la densité variable de cet air en vibration.

Dans les tuyaux fermés, nous avons admis que la vitesse de I^ dernière tranche était nulle, le fond étant inébranlable. De tell^* conditions ne peuvent être réalisées absolument; toutefois, ^' n'est pas difficile de donner au fond une résistance telle que B -^ perturbation y soit très faible.

Théorie de Poisson ("). — Poisson le premier rejeta l'hypolbè^^-^ d'une condensation nulle aux extrémités libres; et, en admellar^^^ seulement qu'elle y est très petite, mais proportionnelle à lav»^ lesse ('), il édifia une théorie qui rend bien compte des faits, d^' gage les lois, et fait ressortir les perturbations, sans toutefois t-^55 mesurer.

(*) Tel est du moins le résultat des expériences de M. Kœnig; Savart»^**^ trouvé au contraire que la distance entre le fond d'un tuyau fermé et le derr^î^r ventre était supérieure à un quart d'onde.

(') Poisson, Mémoires de V Académie des sciences^ année 1817, II, 305.

(*) Celle dernière supposition est inutile, liopkins sut s*en passer; eW^ **^ même inexacte: il y a une différence de phase de 1/4 entre la vitesse et l«^ ^^^* densation à Textrémité libre d'un tuvuu ouvert.

Travaux (THopkins (*) et de Quet (^). — Hopkins et Quel améliorèreot celte théorie, et mirent en évidence Teffet des réflexions multiples aux extrémités.

Nous avons dit que la condition pour qu'un tuyau renforce un son produit à l'origine est la concordance de Tonde deux fois réfléchie avec Tonde directe. Si, en effet, celle concordance existe, toutes les ondes deux fois, quatre fois, six fois, ... réfléchies se superposent à Tonde directe et, en un temps très court, vu la rapidité avec laquelle se propage le son, amènent un renforcement énergique. Mais quel est Teffet exact de cette superposition?

Considérons un mouvement vibratoire entretenu à Torigine,

t v:=a cos 9. z-

Ce mouvement se réfléchit à Textrémilé du tuvau : nous admet- Irons, avec Hopkins, que toute réflexion produit à la fois un changement d'amplitude et un changement déphasé. Soit ma Tamplitude du mouvement réfléchi, m étant un facteur plus petit q"e I. Le mouvement réfléchi se superpose au mouvement direct, ^l le mouvement résultant, en un point situé à la distance x de '^îxtrémilé, a une amplitude A et une phase * déterminées, d'après la règle de Fresnel, par les équations

lg2-*=-" ^,,

" cos 27:0 -h m cos 27:0

? ^* r' étant les phases des mouvements composants au point considéré

"^venu à Torigine, le mouvement s'y réfléchit : soient mm'a ou

^**»ïiplitude du mouvement deux fois réfléchi et V sa phase à

^•"'Sine. Ce mouvement donnera avec le mouvement trois fois

^"echi, un mouvement résultant dont Tamplitude sera [xA et la

r'ase 4>-hV, puisque les conditions d'interférence restent les

Ijl^owvss, Cambridge PfUL Trans., V; 1838. '/' QcTFiT, Journal de Liouvillc, XX, 1 ; 1855.

13i ACOUSTIQUE.

mêmes que pour le premier couple, sauf que les amplitudes sont multipliées par [x, et que la phase de chacun des mouvements composants est augmentée de V : chacune des lignes du triangle de Fresnel est multipliée par jx et a tourné de Tangle 2zV.

Le mouvement quatre fois réfléchi donnera de même, avec le mouvement cinq fois réfléchi, un mouvement résultant d'amplitude IJL^A et de phase *4- 2 V, et ainsi de suite indéfiniment, le nombre de ces mouvements qui se superposent pour constituer le mouvement définitif étant très grand au bout d'un temps extrêmement court. L'intensité du mouvement définitif peut donc se représenter par

[COS 27:* 4- [Ji COSax (* H- V) H- [JI.2 cos 27: (<ï> H- 2 V) H- jji^ COS 2x (* H- 3^ )

-+-[sin 2iç*H-iJt.sin27:(*4-^)H-[ji.^sin2z (4>-i-2^)H-[ji.^sin2x(*-h3y) ou, après des simplifications évidentes, par

[iH- [JI.C0S27:V-4-[i.^C0S2(27:Vj-f-[JI.'C0S3(2zV)-f-...]*

[[ji.sin2TCV-l-[ji.^sin2(2zV)-+-[ji.^sin3(27:V)-f-...]".

Mais chacune des sommes enlre parenthèses est connue (*) : première est eprale a =- tt-, -o et la deuxième a

' ^ I — 2|jlC0S2::H 4-[x''

[xsinazV

L'expression précédente se réduit donc à

I — 2{XC0S2-y''4-[X^'

ou à