m^-i-2mcos2r(ç

Le dénominateur étant indépendant de x, la position des points notables dépendra du numérateur seul.

(«) Voir Bertrand, Cours de calcul différentiel et intégral^ F, 389. Paris, Gauthier- Villars; i864.

Les Tenlres correspondent aux maxima du numérateur, c'està-dire aux points où cosaw (©'— 9) est égal à -h i . Or, on a

, L-4-JC L—x r 9.x r

li élant toujours la longueur du tuyau, et r représentant le retard produit par la réflexion à Textrémité.

Les ventres seront donc déterminés par la relation

 étant un nombre entier quelconque; et la distance de deux ventres successifs

sera, dans tous les cas, exactement égale à une demi-longueur d'onde.

On verrait de même que la distance de deux nœuds successifs

sera toujours égale à -.

Mais la distance du ventre le plus rapproché de Textrémité à cette extrémité est donnée par la relation

2JC. /•

d'où Ton conclut que :

Dans un tuyau ouvert, la distance de Textrémité au ventre le plus proche est

Dans un tuyau fermé, où, r élant très-voisin de -, on peut poser r = -+r, on a

La position des points notables relatifs à un son donné ne dépen pas de la longueur du tuyau (comptée à partir de rextrémilé où s^ produit la première réflexion); mais l'intensité du son en dépende

En efTet, la valeur absolue de Tintensité en un point quelconque^ X étant constant et par suite le numérateur étant constant, sera maximum si le dénominateur est minimum, c'est-à-dire si cosarV est égal à H-i .

Or

S désignant le retard causé par la réflexion à Torigine.

Le renforcement sera donc maximum si la longueur L du tuyau satisfait à la condition

autrement dit si la longueur du tuyau, augmentée de — h-, est un multiple entier de la demi-longueur d'onde.

L'hypothèse la plus simple est de supposer chacun de ces retards /• et s indépendant de la longueur d'onde. Leur somme est alors une constante

et la condition du renforcement devient

On retrouve la loi des longueurs, à cette seule différence près, que ce n'est pas la longueur même du tuyau, mais cette longueur augmentée d'une quantité constante / qui doit, pour le renforcement, être un multiple exact de la demi-longueur d'onde.

Quand le tuyau est fermé, on a r=ir'-\--\ on posera donc

r-hs=2l -h-.

et il viendra

Les sons les plus énergiquement renforcés sont encore ceux pour lesquels la longueur du tuyau, augmentée d'une quantité cnnslante /', est un multiple impair du quart de la longueur d'onde.

Expériences de Werthehn (*). — D'après les expériences de Wertlieiin, les perturbations aux extrémités seraient en effet indépendantes de la longueur d'onde. Sur une même embouchure il vissait successivement divers tuyaux d'égal diamètre, mais de longueurs différentes; il mesurait ces longueurs; il déterminait d'autre part les nombres de vibrations des sons fondamentaux rendus par les tuyaux : ces deux éléments lui permettaient de calculer la constante cherchée. Soient, par exemple, des tuyaux fermés, de longueurs L,, Lj,..., émettant les sons Np Nj,..., on a

V étant la vitesse du son dans les conditions de l'expérience, vitesse qu'il est d'ailleurs inutile de connaître pour obtenir /', car la comparaison des équations précédentes donne immédiatement

d'où

Werlheim trouve en effet pour /' un nombre constant à i /20 près,

(«) Webtheim, Afin, de Mm. et Je phys., (3), XXIII, 434; et XXXl, 385; 1848-51.

le rayon R du tuyau restant le même. Si ce rayon varie, la constante varie, et Ton peut poser /' = o,74()R(*).

Théorie de M. von Helmhollz (*). — M. von Ilelmholtz, le premier, a établi une théorie exacte des tuyaux sonores, sans introduire aucune hypothèse sur Télat de Tair aux extrémités. Suivant cette théorie, quand un tuyau cylindrique élroit débouche au fond d*un deuxième tuyau extrêmement large, la correction au point où s'ouvre le tuyau élroit est 0,82 R.

Lorsque le tuyau s'ouvre dans un espace libre en tous sens (el non plus limité en arrière par un plan indéfini), la correction doil être réduite, d'après les expériences de lord Rayleigh (^), d'environ 0,2 R, ce qui donne sensiblement o,6R, la longueur d'onde du son produit étant toujours supposée très grande par rapport au diamètre du tuyau.

Dès qu'il n'en est plus ainsi, le phénomène se complique comme l'avait déjà reconnu Zamminer (*).

Recherches de M. Bosanqitel ('*) et de M. Kœnig {^), — Selon M. Bosanquet la fraction de R exprimant la correction croît avec le rapport du diamètre à la longueur d'onde. Sur deux tuyaux ouverts il trouve en effet pour la correction à Tune des extrémités

o,635 R avec — — — et 0,343 R avec ~^ — (•).

D'autre part, M. Kœnig, opérant sur les sons successifs du tuyau à tube explorateur décrit plus haut (360), observe que h raccourcissement absolu de la première demi-onde diminue quanc le son s'élève, moins vile toutefois que la longueur d'onde ; quan au raccourcissement beaucoup plus faible de la dernière demi onde, il varie peu.

Les deux tableaux suivants renferment les résultats obtenu: ainsi : 1° sur le tuyau ouvert; 2" sur le même tuyau bouché, h

(') Les résultais obtenus par Werllieim oscillent entre o,638 R el o,8Ga R moyenne 0,740 R.

(*) Hei.iihoi.tz, loc. cit.

(^) Lord Rayleigh, loc. cit.. H, 188.

(*) Zamminkr, Pogg. ^mi.,XCVll, 183; I806.

(») BosANQUKT, Hiil, Mag.y (5), iV, 219; 1877.

(') Kœnig, loc. cit.

(') M. Blaiki.ey obtient sur un tuyau élroit un nombre tout semblable 0,576 P (Blaikkey, PhiL Mag. (5), VII, 339; 1879).