Relation entre la vitesse de propagation du son

et le nombre des vibrations. — Reprenons le long tube de

<^outchouc fortement tendu, fixé à un bout et saisi à l'autre, dont

ï^^us nous sommes déjà servis (343) : par une brusque secousse

produisons un ébranlement transversal à l'origine, et nous consta-

(') t^s Tiolonisles mettent à profit ce fait pour obtenir des sons très élevés (^ très purs : ils touchent légèrement avec le doigt la corde vibrante au point convenable.

0 YocNG, Fhil. Tram.; 1880; et Miscellaneous Works (éd. Peacock. Lon- ^0"; 1855), I, 64.

l') Ddezanne, ayant observé qu'une corde attaquée à Tarchet juste en son milieu restait muette, pensait que la présence de Toctave était nécessaire ^ ^ production du son fondamental. Mais, bien que la largeur de Tarchet rende l'expéneoce difficile, on peut, en le passant au milieu de la corde, tirer decelle^iun grand nombre de sons impairs. (Delezrnnb, Recueil des travaux ^^laSociété des sciences de Lille; 1827; Duhamel, C. R., X, 853; 1840; Antoi.ne, ^^'dedim. et de phys., (3), XXVII, 191 ; 1849.)

(^) Us cordes vibrantes sont aussi susceptibles de vibrer longitudinalcment. -^^^ étudierons ces vibrations longitudinales en môme temps que celles des ^«'ges dont elles ne diffèrent pas.

ierons aisément que cel ébranlement, propagé jusqu'à l'extrémité fixe, s'y réfléchit avec changement de signe de la vitesse (la protubérance se transformant en dépression), pour revenir éprouver contre la main un nouveau changement de signe ('). Par suite^ un mouvement périodique entretenu à lorigine se trouve rapidement amplifié, Tonde deux fois réfléchie étant identique à Tonde directe si la durée du double voyage de Tonde est un nombre entier k de périodes. Ainsi, V étant la vitesse de propagation du mouvement transversal dans la corde de longueur L soiimise à Texpérience, la condition du renforcement sera

ce qui est la formule même établie pour les tuyaux sonores (359^^ Un changement de période amène aisément la division du tuba en un nombre quelconque de parties vibrant à Tunisson. Mais est possible de donner a Texpérience une forme plus précise, à\m à M. Melde, de Marbourg.

371. Expériences de Melde ('). — Un long cordonnet de so5 blanche est tendu horizontalement entre une cheville ou une poulB fixe et un diapason vertical. Le plan des branches du diapason coo tenant le cordonnet, Textrémiié de celui-ci se déplacera longitudt nalement quand le diapason vibrera. Le cordonnet, successivemeca relâché puis retendu, s'abaissera, redeviendra horizontal, s*élèvers retournera à la position horizontale et ainsi de suite, le mouvemec:: longitudinal du point d'attache provoquant un mouvement trans versai du système avec une période double; la corde entière osciller^ donc à l'octave grave du diapason (^). Mais pour que la corde puisse

(1) Les frères Weber ont suivi avec beaucoup de soin la propagation d'uJ ébranlement dans une grande ficelle de coton, 1res flexible et très peu élasl^ que : ils ont trouvé que la vitesse de la propagation était indépendante de fl nature de Tébranlement (chiquenaude, choc d'un marteau), indépendante auss du chemin déjà parcouru (E. H. et W. Weber, Iqc, cit., 460.)-

(«) Melde, Pogg. Ann,, CIX, «93 et CXI, 513; «860-64.

('j Si les vibrations du diapason s*eiïcctuaicnt perpendiculairement à la di

ne se produira en g^L'nériil (|u'nn riéniisseiiient irrégiilier; en modi-

liatil graJiiclleiiicDt lii Lension, nous arriverons à la valeur vou-

"clion de k corde, l'uccord s'ôlnblirail à ruiiissoii. Par coiiséquenl, k corde

^ jjj, 'ffOTd t l'octave grave du diiipason [lig. go), si l'on Tuit louriier eeliii-c ■ur lui-^einc, on verra se former deux TiiBCaux Égaux séparés i>ar u

lue, et la corde s'épanouira en un fuseau d'un blanc perlé adi rable et d'une fixité parfaite. Diminuons la tension de la cor tout se déforme et se brouille pour rentrer dans l'ordre qua la tension sera devenue égale exactement au quart de ce qu\ était d'abord : la corde se partagera alors en deux segme oscillants, séparés par un nœud absolument immobile. Une ti sion égale au neuvième de la valeur originelle amènera la di sion en trois segments; et ainsi de suite, chaque forme se prési tant avec une netteté saisissante (^).

Comme, d'ailleurs, dans tous les cas, chacun des segments vil à TunissoD de l'octave grave du diapason, il en résulte que si p< la tension 1/9, par exemple, la corde se divise en trois segmei c'est que pour cette tension 1/9 le son fondamental est i/3, ou douzième basse du son de la corde tendue par le poids i. La loi tensions est donc vérifiée.

L'influence de la longueur se mettra facilement en évidence a deux diapasons de hauteur différente : pour s'étaler semblableme les longueurs d'une même corde également tendue, excitée suce sivement par ces deux diapasons, devront être en raison inve des nombres de vibrations des deux diapasons.

Si l'on veut reconnaître l'influence du poids de la corde, on pr dra d'une part un cordonnet de longueur L qui sous la tensior donne avec le diapason a un fuseau unique, et d'autre part qua cordonnets identiques, disposés parallèlement en une seule co de même longueur L, à laquelle on appliquera la même i sion T et que l'on attachera à un diapason A (octave grave du p cèdent); cette corde s'étalera de même en un seul fuseau ; donc poids de la corde ayant quadruplé, le son fondamental estdescer à l'octave grave. On peut aussi, comme l'indique M. Tyndi prendre une corde formée sur le tiers de sa longueur de qua brins parallèles et pour les deux tiers restants d'un seul brin même cordonnet; amenée à se partager en deux fuseaux, et corde présentera un nœud précisément au point d'attache de

(*) En subslituant au cordoniiel de soie un fll de platine chauiïé au rc par un couranl éleclrique, M. Tyndall rend rexpcrience visible à un nombi auditoire : les ventres, refroidis par leur passage rapide à Iravers Tair, 1 obscurs, tandis que les nœuds brillent avec éclat, l'mcandcscence diniini rapidement de part et d'autre de chaque nœud.

CORDES VIBAANTES. — E\PËRIE>'CF.S DR MELDE. 173

ittn porlioDS d'ioégal diainètru, le sef^mont de longueur simple et ■le diamètre double ballant synchroniquement avec le segment dt longueur double et de diamètre simple.

Enfin, avec des fib de subslaoces difTéreales, également longs elf^lemealgros, attachés à un même diapason, on vérifiera aisément que les poids tenseurs nécessaires pour les faire vibrer à l'unisson de l'oclave grave du diapason sont proportionnels aux poids spécifiques des substances employées : ce qui donnerait à la rigueur un moyen de déterminer au diapason les poids spécifiques relatifs df-s métaux susceptibles d'être éllrés en fils minces *-t llcxibles.

Kn superposantsur une même corde les actions de deux diapasons à l'oclave l'un de l'autre, on obtient une série de formes dont la

^^t ci-contre représente les principales, et dans lesquelles se dis- '"feiK les deux mouvements vibratoires.

17* ACOUSTIOIIE.

La figure 93 montre l'un des aspecU qui rÙRiitlent de l'excit: lion simullanée par deiiii diapasons sonnant ù la douzième.

Le procédé de Melde, étant particulièrement commode poiirenire tenir la vibration, permet d'étudier aisément les formes successivi de In corde au moyen d'une lumière à éclipses intermittentes. A a efTel, M. Neumann dirige sur une corde filée (recouverte de fîl m< tallique) la lumière vive sortant d'une fente parallèle. Devant cell fente il dispose une lame de verre portant un trait noir à l'encre <i Chine el fixée à un diapason de telle sorte qu'au repos le trnit no occulte la lumière. Mais quand le diapason vibre, la lumière éclnii en géoéraliacorde qui offrira encorel'apparence d'un fuseau brillai sur lequel on verra se mouvoir lentement une ligne sombre affectai les formes successives de la corde, si celle-ci est à peu près à 1*01 tave du diapason. La ligne serait immobile si l'accord était exac

37S. Théorie des cordes vibrantes. — Équation à. cordes vibrantes. — La Ihéorie des cordes vibrantes, commenci par Tavlor, a fait l'objet des recherches de Jeun et de Daniel Bej noulli, de d'Alemberl, d'Euler, de Lagrange, et a su intéres» encore de nos jours plus d'un mathémalicien.

Pour établir cette théorie, on suppose la corde parfailemcntflexib el dénuée d'élasticité, ce qui pratiquement revient à admettre :

l' Uue les dimensions transversales de la corde sont assez petit pour que celle-ci puisse être regardée comme un simple fil abslument flexihle;

a* Que la corde est sufrisainment tendue et n'éprouve que d déformations assez faibles pour que les forces élastiques variabi résultant de ces déformations soient complètement négligeabl relativement à la tension permanente T.

En se bornant à de telles déformations^ on pourra considérer I *aDgIe qa^un élément quelconque de la corde fait à tout instant ^Tec sa position initiale comme infiniment petit et en négliger les puissances supérieures à la première.

Soit donc, à un instant quelconque du mouvement, a'V un élérnent ds qui était en ah à Tétat d'équilibre. Aux deux extrémités de 4r£t élément agissent deux forces égales à T, mais non directement opposées et qui par conséquent ne se font pas équilibre : soient a

Fig. 06

P^m ngle que la tangente en a! fait avec la position première AB de la co rde prise pour axe des x, et 0 Tangle que fait avec le même axe la tangente en h\ l'élément à h' est sollicité dans une direction oy perpendiculaire à ox par une force

F=T(sinp — sina)=Trfsina,

ou, si, daprès notre hypothèse sur la petitesse de a, nous identifions le sinus avec la tangente,

L*équation du mouvement dans le sens desj> est donc, (x désignant \a masse de la corde par unité de longueur,

ouycoinme ds ne diflere pas de dx au degré d'approximation où nous nous sommes placés,

d\y ld^y

dt^ lA dx^

^" enfin, si Ton pose -=V*,

dû"^ dx*'

ITft ACOUSTIQUE.

C'est la fameuse équation des cordes vibrantes que nous avons dé vue présider à la propagation d'un ébranlement longitudinal dai un cylindre élastique (344).

A. — Intégration par des fonctions arbitraires. — On se rappel que Tinlégrale générale de cette équation peut se représenter p. la somme de deux fondions arbitraires,

y=f{x-hWt)-hF{x-^Wt),

indiquant la superposition de deux défoniiations qui se propagi en sens contraire avec la même vitesse V.

Cette solution s'applique immédiatement au cas d'une corde incisBdc finie, et on peut l'étendre au problème d'une corde finie parl'a^^arti ficequi nous a déjà servi pour un tuyau limité.

Si nous supposons d'abord la corde terminée d'une partàTorig ine et s'étendant indéfiniment dans le sens des x positifs, nous po^avirrons la regarder comme faisant partie d'une corde indéfinie d-^ans les deux sens» pourvu que les déplacements et les vitesses initi^Bi/es dans la partie négative soient réglés de manière que, la corde et ^^ni abandonnée à elle-même, l'origine reste perpétuellement au rej^^is: en d'autres termes. Tonde positive du côté négatif doit être i^Ue qu'en se superposant à l'onde négative donnée du côté positif ^'^ laisse l'origine en repos ; ou encore, l'onde positive émanant ài l'origine doit être précisément celle que produit la réflexion d Tonde réelle à l'extrémité fixe.

De là, on passe aisément au cas de la corde attachée aux d&> bouts : la perturbation initiale se partage d'elle-même en ondes po tives et en ondes négatives qui sont réfléchies aux extrémités, ch gent de signe à chaque réflexion, pour reprendre leur état prim après un nombre pair quelconque de réflexions, de sorte que période du mouvement est le temps requis pour parcourir deux

la longueur de la corde, t~-^^, on un sous-multiple de ce te'

Corde fixée à ses deux bouts, — Le cas d'une corde attaché deux bouts étant celui qui intéresse réellement la pratique exposerons avec quelque détail la méthode par laquelle *»•• ras général en supposant la corde prolongée in

ment dans les deux sens et en disposant des conditions initiales de To^n à assurer l'immobilité constante des extrémité» de la porion considérée.

a) Déplacements initiaux sans vitesses.

Examinons d'abord le cas où la corde, dérangée de sa position l^êquilibre, est ensuite abandonnée librement à elle-même, sans ri fesse initiale ; et, comme les deux ondes se partageront également le déplacement, soit > — 2y'(jr), .r étant compris entre o et L, l'équation de la courbe que dessine la corde déformée. Construisons la courbe r~y (-r), pour les valeurs de .r comprises entre o et L. Soii ncb celle courbe; traçons la courbe f?c'b' symétrique de acb par rapport au point h, puis la symétrique de celle-ci par rapport à h\ el ainsi de suite indéfiniment; opérons de même à gauche. Le mouTement de la corde donnée sera celui de la portion ab d'une corde indéfinie dont Télat initial serait figuré par tous les arcs de coarbe que nous venons de tracer et dans laquelle la déformation se propagerait dans les deux sens avec la vitesse V, c'est-à-dire qu'il jcra représenté h un instant quelconque par réqualion

En ellet, on a

(fy i l'époque t — o, pour toute la corde, } =2/*(x), j~~^»

t'Utouteépoque, aux points ar—o et .r— L, ,K~o-

La mouvement d'un point quelconque est périodique, car

y| ''parronséqiienl

/•(.r±V(^±^î^))~/(.r±Vf),

^^^ ^^"'''re qifaprès un temps t — -rrî la courbe reprend la même forme.

P^^ exemple une corde pincée, ou mieux écartée de sa posi-

*•'-!:, Ocw'S de physique. — II. 1*2

ACOUSTIQllK.

lion d^équilibre avec une pointe fine (telle que le plectruin joueur de lyre), el ayant reçu à l'époque t-.o la forme A*

Fi?:. 97

constituée par deux portions rectilignes. Réduisant les ordonnée?

Fig. 98

moitié, effectuons le tracé marqué par la figure 98, où la coui supérieure représente les ondes positives et la courbe inférieure

Fip. ()()

ondes négatives dans leur position initiale. 11 snffil de combiner deux courbes déplacées en sens inverse chacune de \t pour a%

CORDRi; VIBUANTKS. — THÉORIE. 179

1^ forme de la courbe h Tépoque t. On obtient ainsi les figures eiconirc, qui correspondent à des époques distantes d'un douzième tié période. Au bout d'une demi-période la corde a pris la forme G, d'où elle revient à la forme primitive en passant par les mêmes fifrures, composées exclusivement de portions rectilignes.

h) Vitesses initiales sans déplacements.

Sila corde dans sa position d'équilibre reçoit en chacun de ses points une vitesse initiale r>.^' (j?) (nécessairement nulle aux extrémihis), on verra de même que Téquation

donnera les vitesses, et

'<^ 'Icplacemenls à un instant quelconque, les deux fonctions )' et Jt'lant encore périodiques et de même période t^-tj-.

r) Vitesses et déplacements initiaii\.

iSienGn les deux conditions, déplacements et vitesses, se superposent primitivement aux divers points de la corde, on pourra toujours, en ajoutant les deux solutions précédentes, déterminer ^ un instant quelconque Télat de la corde en chacun de ses points.

LkI question doit donc être regardée comme complètement réélue.

formule de Taylor, — Dans tous les cas, le son fondamental aura pour pépîoJo T " — - , ou pour hauteur

'ïoiis avons posé V- — , T étant le poids lenseur, et ;j. élanl

la masse par unité de longueur, 011-^ , si nous appelons P le | de la corde entière; on a donc

ce qui est bien la formule de Taylor.

A Taide des équations aux dimensions (72) des diverses quat entrant dans celle formule

nous vérifierons aisément que N — [/-*], et que par conséq la formule est homogène (*). Si nous tenions pour évi a priori que la période no dépend que de L, T et «jl, Téquation

dimensions de [t. étant p.- [ML"'], comme la seule combinaiso

ces quantités capable de représenter un temps est T ~ ^ ;x» L, la dilion d*tioinogénéilé nous donnerait la formule de Taylo facteur numérique restant seul indéterminé.

B. — hilégrationpcn' des séries trigoiiométriqiies. — Si la métl de Lagrange résout complètement le problème de mécaniqu reste à savoir au point de vue physique quelle sera la nature du produit par le mouvement de la corde. La réponse à celte queî se trouve dans une deuxième manière de satisfaire à Téqua

di' ^ dv^'

différentielle dont Tinlégrale générale peut être mise sous la fo d'une série trigonométrique, ainsi que Ta montré D. Bernoull Suivant l'exemple de Taylor, nous chercherons d'abord solution particulière. Et, à cet effet, prenant pour guide Toi

(•) Plus simplement, on peut remarquer que, T et P clant des forces, par

séquent le rapporl= un nombre absirnil, cl - élant le carré d'un h'mps la n

du carré du temps que met un corps pcsaiil à tomber de lu hauteur L), h mule représente bien Tinverse d'un temps.

•') D. Ueunoulli, Mémoires de l'Acjdémie delicrlin^ t7o3.

^'«alioD, nous nous demanderons s'il est possible de résoudre le problème par un mouvement pendulaire

jr=aC0S27:( 9)

d ^amplitude a variable avec le point x considéré.

Pour que cette valeur de r convienne, il faut que Ton ait

ou, puisque Vt=:X,

d*où, en intégrant,

Asin 217— + Bco>2'::-.

qui exige que d=o et que sin 27: — = 0, ou a- —r , out=::t -rr^

A ri fC y

Le mouvement proposé sera donc possible, si Tamplitude en chaque point obéit à cette équation. Mais, les deux extrémités de la corde étant fixes, r et par suite a doit être nul pour xri^o etorr^L,

'mêlant un nombre entier quelconque. Ainsi la corde peut exécuter

toulmouvement pendulaire dont la période est égale à un sous-mul-

l'plede Tr-(ou à cette quantité même), et elle ne peut pas en exé-

culer d'autres, le mouvement d'indice k étant exprimé par

r = A*sin-r— cos

si 1 on

pose

2X©jk— Ik'

*^«oa fondamental correspond à k - i, et par conséquent il a 1^ ^^ Aduleur, comme nous l'avons déjà trouvé autrement,

A une valeur quelconque de k correspond un harmonique naiui (lu son fondamental.

Pour cet harmonique, j est nul à toute époque aux points

tous ces points sontdes nœuds. D'ailleurs la forme de la courhe à instant quelconque est une sinussoïde.

Mais, d'après le principe de la superposition des petits niou^ menls, la corde peut exécuter à la fois tous ces mouvements pend laires.

Analytiquement, Téquation des cordes vibrantes étant linéai la somme d'un nombre quelconque de solutions particulières encore une solution. Si donc on fait la somme dun nombre in 1 de solutions telles que

j A A si n -j— cos ( —z cA

on aura la solution générale

. /::./; /kz\t

J:r-2,.,AASIU-^C0.S|^-J-

le sigue ^,7 indiquant la sommation de tous les termes en nonil infmi que Ton obtient en donnant à k successivement toutes le» leurs entières depuis zéro jusqu'à Tinfini dans l'expression pla sous le signe X.

Physiquement, cela signilie que tout mouvement vibratoire d'1.1 corde peut être considéré comme la superposition de mouvcme?

pendulaires de périodes sous-multiples de -^, et d'amplitudes et

phases convenables (*) (déterminées par les conditions initiales)

('; Dans chaque mouvement l'amplitude est variable avec l'abscisse du p^ de la corde considéré, la pbasc est la mùmc en tous points.

(') La proposition est vraie pour un système vibrant quelconque, ainsi < nous le verrons plus loin (théorème de Fourier'».

CORDES VIBRANTES. — TUÉORIE. 183

a) Déplacements initiaux sans vitesses.

Si nous supposons d'abord qu'au début on déplace la corde sans lui

dy imprimer de vitesse initiale, on doit avoir -j-=:o pourt=o, ce qui

exige que tons les e^^ soient nuls. L'expression générale se réduit

alors à

Ak sin — j— cos — j — .

La condition qu'au (empsf = o la corde aflecte la forme

se traduit donc par la relation iJ')=A,sin-j — hAjSin j--f- -+-AjtSin-j — h

Pourdélerminer Tun descoerficients,A;k, il suffit de multiplier les <leux membres de cette équation par sin -4— dx^ et d'intégrer sui-

^îint toute la longueur de la corde. Tous les termes du deuxième ïnembre de l'intégrale sont nuls, excepté celui qui a pour coefficient A^ et qui devient -(*). On en conclut

Ai- — Y I /(^jsin-j— aj.

*) On a en etTet pour un terme quelconque d'ordre k'

A,l *'n-r . Anr , l Ap {k^k')r..c (k-hk')K.r'\ , j^s,n-.s.n — r/x=.j^[cos ^ cos j^J./x

ir I. . {k—k')-r ], . ik^k^v.x-y-

-î[[FIÂ>*»" T l/t + A');:"" i^ J/

^"«n(i(é identiquement nulle si k' est difTérenl de A*; et pour le terme en Aa,

r^ . , kr..r i r^[ ikr..r\ ,

=^-— ( -,-?*in-| — ) i:^-.

'2 \HZ \é J o 1

Cas (Tune corde pincée. — Considérons, par exemple, ie casd^ corde pincée en son milieu de façon à former au début les d( côtés d'un triangle isocèle de hauteur // et de base L(*). Multiplia les ordonnées du triangle par celles de la sinussoïde d'ordre k p( avoir celles de la courbe

r=y(^)sm-j--.

Si k est pair, la sinussoïde ayant un nombre pair de festons, Tai de la courbe comprise entre o et -- est égale et de signe contrai

à Taire comprise entre o et — ^, par conséquent Taire totale (

nulle ; tous les coefficients A/, d'ordre pair sont donc nuls.

Si k est impair, les deux aires s'ajoutent et Taire totale est égi à leur somme, de sorte que Ton a

pour k impair, Aa^j- / /(ajsin

ou, en remplaçanty'(a:) par son expression analytique entre n

L ih

-, savoir -r--^'7 1 L

8// /T . /iTTj;

Aa::P / XSin-r— ru,

et, en intégrant par parties,

(•; Voir Matoiel', Coun^ de Physi'iuc mathématique ^ p. 10.

Le mouvement de la corde est donc représenté par la formule

r=T sm -p cos-j ^r^ sin -=— cos— s — h p^ sin — ?— cos — j —

Celle série est rapidement convergente. Le son fondamental prédominera donc, les harmoniques pairs manquant complètement sulTaot la loi de Young, et les harmoniques impairs s'affaiblissant rapidement.

On traiterait sans plus de peine le cas où la corde est pincée en un point / quelconque (^), et Ton trouverait, h désignant toujours la hauteur à laquelle ce point est soulevé,

A— -rrrrrrrï nSm-i-.

krl Le coefficient d'ordre k s'annule quand sin -^ == o, ou quand

'égale y, ou -7-, ou -7-,..., c'est-à-dire quand la corde est attak k k '

quée à l'un des nœuds du k"" son partiel.

b et c) Vitesses initiales sans ou avec déplacements.

^' 'es vitesses initiales ne sont pas nulles, on doit prendre pour ^flague terme l'expression complète

. . kzj' /k-zWt \

|^A/,Sin-r--COS( — r- hZfcjy

Jex|>cession équivalente

y = Ak sin -p- cos — ^ h 13/, sin -7— sin — ^ — ;

(M Hri

ii£i.if«ot.i2, Ttiéorie physiologique de la musique, p. 480.

el, o'(jr)élant la vitesse de chaque point au temps t==o, on aura

9' (a) := - 1- 2]*/t Ba si n -j^ , d'où Ton tirera par le même procédé que tout à Theure

^^--Ùl ?'(-^«i"^'''-

Cas dune corde frappéo. — Si une corde est frappée brusquem^ par un marteau dur et tranchant, et si le marteau se relève as^ vite pour qu'au début le point touché (dont nous design toujours Tabscisse par /) possède seul une certaine vitesse, avoir d'ailleurs éprouvé de déplacement sensible, les coefficient seront tous nuls; et Ton aura

^ ~-T7 sin^sm-T-sin-i — i — sin-,- sin -r— sm— ; i-TtSin