MEMBRANES
884. Membranes. — Définition, — En acoustique, on admet entre les membranes et les plaques la même différence qu'entre les cordes et les verges.
La membrane théorique est une lame solide, infiniment mince H parfaitement flexible, soumise en tous sens à une tension assez forle pour rester sensiblement constante dans les petites déformations de la lame.
Les vibrations transversales d'une membrane fixée par son contour ont été étudiées avec soin, théoriquement et expérimentalement.
Théorie. — Dans son mémoire sur le mouvement vibratoire des tambours, Euler (*) donna le premier Téquation de la membrane vibrante, considérée comme un tissu de fils élastiques se croisant reclangulairement . Plus tard, Poisson (^) démontra rigoureuse- Wïenl cette équation
d^w T fd^w d^w\ W^^ [d^'^jp)'
^" ^ désigne le déplacement infiniment petit d'un point (x,7^,o) Perpendiculairement à la surface supposée primitivement plane; ^e^t la tension par unité de longueur (219), et [l la masse de la
j^( ^ Euler, Nwi commentarii Academiœ Petropolitanx, X, 3i3; 1797. Voir aussi "^j^j^ATi, saggi scient, e litter. dtlV Accademia di Padova, I, 414; 1786. (*) Poisson, Mémoires de l'Académie des sciences, VIII; 1829.
membrane par unité de surface. Un raisonnement tout semblable à celui que nous avons fait relativement à la corde vibrante (372), et facilité d'ailleurs par la connaissance que Ton a déjà (220) delà composante normale de la tension, permettra d'établir immédiatement cette formule.
Poisson avait à peu près épuisé la question dans le cas d'une membrane rectangulaire (*), mais pour la membrane circulaire il s'était borné aux vibrations identiques suivant tous les rayoos. Le grand travail de M. KirchhofT (^) sur les plaques fournit de fait la solution du problème de la membrane circulaire, qui fut traité par Clebsch (*) d'une façon complète (*). M. Mathieu (*) a donné la théorie de la membrane elliptique.
Expériences. — Dès 1826, Savart (*) étudiait empiriquement le phénomène d'après la méthode des flgures sonores si heureusement appliquée aux plaques par Chladni. La membrane, fixée à un cadre rigide, était placée près d'un tuyau accordé deux ou trois octaves au-dessous du son fondamental de la membrane. Savart remarqua immédiatement la ressemblance des figures sonores d'une membrane avec celles d'une plaque de même forme; mais il crut observer que, contrairement à celles des plaques, ces figures passaient de l'une à Tautre d'une manière continue, la membrane répondant toujours au son du tuyau dont il faisait varier graduellement la hauteur à l'aide d'un piston.
Membranes carrées.
MM. Bourget et Bernard (') ont repris le travail de Savart sur les membranes carrées, en s'elTorçant d'égaliser leur tension en tous sens, et en excitant chacune d'elles au moyen d'un tuyau
(*) Lamé, dans ses Levons sur la théorie de félasticitéj simplifia la mélhode et rappliqua à la membrane carrée et à la membrane triangulaire équiialérale.
(*) KiRCHHuFF, Crelles Journaly \L, ol; 1850.
(3) Clebsch, Théorie de r élasticité des corps solides. Carlsruhe; 1862. (Traduction françaiï^e par de Saint-Venant et Flamant. Paris, Dunod; 1883.)
(*) BouRGtT a exposé dans les Annales de V École normale^ (i), III, 55; 1806,1* théorie des membranes circulaires, avec tableaux numériques détaillés.
(^) Mathieu, Journal de Liouvillc^ (2), XIII; 1868; et Cours de physique matf^f' matique, p. 122.
(•) Savakt, Ann. de chim. et de phys., (2), XXXII, 3S4; 1826.
C) Bourget et Ber.nard, Ann, de ehim. tt dephys,^ (3), LX, 449; 1860.
