MEMBRANES BT PLAQUES. — VIBRATIONS TRANSVERSALES DES PLAQUES

Systèmes orUiogonaux, et enfia au-dessous les figures sonores réel-* lemeni observées.

Remarques de M. Radau. — En étudiant l'explication de Wheatsione, M. Radau (') a remarqué que Téquation de Lagrangc admet comme solution particulière (^)

sin-y-sin-y-:trsm-T— sin-y-lsin'7:(A*-4-A^)^mf.

La hauteur du son serait alors proportionnelle à -^ (h^ -i-^^), le coefficient de proportionnalité étant pour le laiton, d'après les nombres de Wertheim ((j=tt, V = 36oo°j, environ 178200, de sorte que l'on aurait avec les plaques de laiton

formule que vérifle l'expérience. En outre, on obtiendrait l'équation des nodales en égalant à zéro la parenthèse, dans laquelle d'ailleurs les sinus peuvent être remplacés par des cosinus (ce qui revient à un déplacement de l'origine); et en efTet la plupart des nodales des plaques carrées sont représentées par l'équation

os \ / cos \ *^ y cos \ / cos \ w

sin cos

^'origine étant au centre de la figure ; toutefois la représentation ïï'est pas parfaite : ainsi on a pour la courbe 2/0 le carré inscrit, ^omme Wheatstone. C'est qu'en efTet les conditions aux limites ne '^^nl encore pas satisfaites; et les solutions trouvées conviennent ^^i membranes carrées à bords libres normalement ou aux pla-

(') Radau, Moniteur scientifique de Quesnevilky VI, 468 et 540; 1864.

C) Dans cette formule, /représente le côté du carré, e l'épaisseur (ces deux 'Oogoeurs en centimètres), /< et k sont des nombres entiers (marquant précisaient le nombre de parallèles à chaque couple de côtés auxquelles on peut '^ener la figure d'après Chladni), m est un coefficient dépendant du coefficient de Poisson 9 et de la vitesse du sou Y dans le corps considéré.

t38 ACOUSTIQUE.

qaea carrées à bords supportés, mais non aux plaques carréef

bords libres (').

PUquBi circuUircs.

Accord de Pexpérience et de la théorie. — On a pu au contra établir d'une façon complète la théorie des plaques circulaire) bords libres, fixer anatjliquement la forme des nodales, qui so des diamètres on des cercles concentriques, et calculer la série d sons possibles.

Pour expérimenter, on saisit la plaque dans la pince à plaques o entre les doigts, ou on la pose sur des pointes en liège, ou bien o

la fixe sur un support par son centre (la tigurc sonore préseol* aloi-s nécessairement des diamètres); cl on l'attaque soit avec far chet en un point du contour, soit avec des crins passant par ui trou ménagé au centre. On peut aussi attacher la plaque à reifrémit* d'une verge de longueur convenable que l'on fait vibrer longil" dinalement, comme le montre la figure 127 (^j ; le mouvemeot del:

(') Voir lord Baïleigb, (oc. cit., 307 el 31*.

(') Le procédé esl applicable aux plaques d'air (Kundt, Pogg. Ann., ClUlVII' 4S6; 186»).

IBUUNBS ET PLAQUES. — VIBRATIONS TRANSVERSALES DES PLAQUES. S3t

Terge se commuDique à U plaque dans laquelle il se trouve trans- Tersal (cette disposition est particulièrement commode pour oble-

oir les flgures formées exclusivement de cercles). Dans tous les cas,

» iulGl de projeter du sable à la surface de la plaque pour manifes- '^r les Dodales. Ces nodales coïacident en général d'une manière

iW ACOUSTIQUE.

très étroite avec les cercles et les diamètres de la théorie (').

Poisson a déterminé les rayons des cercles des figures sonottt dépourvues de diamètres ; et Strelilke (*) a mesuré soigneusemenf quelques-uns de ces rayons sur une plaque de verre parfaitemeit travaillée. Voici les nombres obtenus, le rayoD de la plaque nbrante étant pris pour unité.

Citnil.

I cercle 0,6806

a cerclée ! '. ,

1 0.0 iao

3 cercles [ 0,5915

,678a .841 5 ,a563 ,8936 fen de bonchou

(*) En Bxanl certains points de la circonférence a convenablement placés, el en ébranlant la plaque par le centre, on obtient dtt figures h festons, connues depuis Cbladni, mais dont la théorie n'a pas encore

été donnée : en même lemps que ces festons apparaissent, le son moule Kf siblement dans les premiers <le(;rés, comme l'a conslaté Wertheim, qui ■ remarqué en outre que ces figures ne se forment bien que sur les plaquo 4* laiton ( VVeribem, Ann. de cMm. et de p/iys., (3), XXXI, 19; I8SI). (*) SrauLKi, Pogg. Ann., XCV, 577; 183b.

BRAMES ET PLAQUES. — VIBRATIONS TRANSVERSALES DES Pr.AiJUES 2H trehlke a encore véririé sur d'aulres disques, moins bons, quels-uns des résultais de la théorie de M. KirchliolT:

I ditmèlre, i cercle 0,7814 0,781 0,783 0,781 0,783

3 dûniè(reg, 1 cercle 0,8319 0,790 0,810 0,83a

3 diamèlres, I cercle 0,8453 o,838 0,843

\ o,87ol> 0,81)9 0,869

I diamètre, a cercles

telativement h la hautuur, la théorie confirme la loi posée par ladoi :

Sauf pour les sons répondant aux Ggnrcs formées exclusivement d\a.mclres{^), te nombre des viùralions estproportionnetà{d + yicy, itant le nombre des diamètres et c le nombre dits cercles de la ;nre sonore correspondant au son considéré('). Sl'oo représente j>ar wr, le son le plus grave {a diamètres, o cere), la Ihéorie donne pour les figures formées de 1 cercle avec o diaètre ïo/, I +, avec 1 diamètre w'j —, avec 2 diamètres -<o/j( -t-, avec diamètres /-e,| +,..., foutes valeurs extrêmement voisines de celles ueChladni avait trouvées expérimentalement. Sur une plaque un peu grande, on observe fréquemment la pronclion simullancc de plusieurs figures sonores, le bord de la

'liquc se subdivisant en un plus grand nombre de parties que la <>Hion centrale, ce qui correspond à la production simultanée de '«rieurs sons (lesquels peuvent être à l'unisson). Bffet (fiin défaut de symétrie, d'une surcharge. — Dans une pla- *>e parfaitement homogène, la position des nodalcs diamétrales est

t'i Ces sons Torment une s*rie très simple a=, 3*, 4^, . . . (lo nombre des diacres étant 3, 3, 4. ■■ ■), ntnis complùlcnient sépnn'-e dits autres. l'j Dans l'influence de la subdivision de In plaque sur l;i hauteur du son, un imflre Taut deux cercles.

ViuLLE, Court de pliijiiqtu. — II. I U

m ACOUSTIQUE.

cnmplèlement arbitraire, et ne dépend que du point d'attaque. Mais quand il y a un déTaut de symétrie, la figure sonore n'est stable que pour deux positions dérivant l'une de l'autre par rotation de la moitié de l'angle compris entre Jeui diamètres adjacents du groupe. Et encore le défaut de symétrie ne doit-il pas être trop considérable, sinon la figure sonore ne serait plus du tout composée de cercles et de diamètres.

Si l'on ajoute ii la plaque une p^ , lite surcliarge (en dehors d'une dodale circulaire), l'un des System»

diamétraux passe par le point d'ipplication de la surcharge, et la période de ce système n'est pas modifiée; la période de l'autre s'accnrit.

Figures tracées par le lycopode. - Avec une poussière très légère, telle que la poudre de lycopode, \^ figures sonores offrent un aspect tout différent : on voit s'accumuler sur les vcntros des amas de poudre en mouvement. Faraday a monlrt que ce phénomène, déjà connu de Ghiadni, est dû à de petits tourbilloDS d'air qui prennent naissance au-de^ sus des ventres, et auxquels on peut faire soutenir une mince feuille d'or Il plusieurs millimètres de hauteur.

Dans le vide les amas vcnlraui disparaissent, et toute la poussière « place sur les nodales.

En expérimentant avec la poudre de Ivcopodc, Savart a vu la fignre, oscillant entre ses deuï poî"" tiens d'équilibre, dépasser l'une d'elles sous l'action répelée dt l'archet et prendre un mouvement continu de rotation en forma"*'