COMPOSITION DE DEUX MOUVEMENTS VIBRATOIRES PARALLÈLES

388. Battements. — Théorie. — Quand deux mouvemeDb vibratoires parallèles se superposent en un même point suivant une même direction, il y a interférences si les périodes sont égales, totements si les périodes sont presque égales.

L*étude détaillée que nous avons faite du premier phénomèoe (chap. IV) facilitera celle du second.

Soient en effet, se superposant au même point, deux mouTements vibratoires parallèles et de périodes peu différentes, ayant pour vitesses respectives

et

v=La sin itA — ©) >* z=ia' un 27:( -, — 9').

Si Ton écrit cette dernière sous la forme

r — n sin .>.7: — ç-h-j — o h 9 ,

on

(') CeUe manière d'écrire la formule, en faisant passer une parlie dutoef^^ cient de t dans la phase, n'aurait aucun sens physique si la partie englol^ dans la phase n'clail pas 1res polito; en tous cas elle laisse la vcrilabl»^ p^rio^ incertaine.

oH immédiatement que le mouvement résultant peut être reé comme produit par la combinaison de deux mouvements itoîres, ayant la même période et présentant une différence de

ible avec le temps, mais lentement variable, puisque, par hylèse, la différence x— t' est petite relativement à t et t\ Pendant iurée d'une vibration, ^ aura donc une valeur sensiblement tonte, et le phénomène se réduira à Tinterférence de deux Lvements vibratoires avec cette valeur particulière de la diffère de phase. A la vibration suivante, 4> n'est plus tout à fait le se, les conditions d'interférence ont un peu changé. La variation Imuanty le phénomène au point considéré se déroule dans le p6 comme il se développait précédemment dans l'espace (357). tensité du mouvement résultant est maximum aux époques pour oelles la différence de phase est égale à un nombre entier quel- |ue ou à un nombre pair de fois 1/2, et minimum aux époques la différence de phase est égale à un nombre impair de fois 1/2. ies maxima d'intensité se succèdent h des époques distantes de

même temps 0 s'écoule entre deux minima consécutifs, et le mps- sépare un maximum du minimum suivant.

Oq observe donc une série de coups équidistants, séparés par des lences tombant à égale distance des coups; et comme le temps 0 îul s'écrire

Cl N' étant les nombres de vibrations complètes des deux sons ^nsidérés pendant l'unité de temps, comme d'ailleurs le nombre B

des ballements dans Tunité de temps est précisément égal à Tinverse de la durée de Tun d'eux, on voit que le nombre des battements pendant l'unité de temps est égal à la différence des nombres absolus de vibrations des deux sons considérés j

LfO phénomène sera d'autant plus marqué que les intensités des deux sons primitifs seront plus près d*être égales : si elles sont égales entre elles et à i, les coups battront avec une intensité 4t séparés par des silences complets (*).

Expériences. — Les battements s'observent aisément sur les instruments à sons simples, tels que les diapasons. Que Ton prenne deux gros diapasons munis de leur caisse d'harmonie et sonnant tous les deux la même note, ut^ par exemple, que Ton désaccorde l'un de ces diapasons (^), et l'on entendra des battements énergiques, d'autant plus rapides que le désaccord sera plus prcH nonce. Deux grands tuyaux bouchés, à l'unisson, conviennent également bien, les harmoniques supérieurs étant très faibles daosces instruments : en approchant le doigt de la lumière de l'un d'eui, on en fera descendre le son, et par suite on provoquera des battements. C'est même au moyen des battements que les organistes

(*) Quand les amplitudes sont égales, on a, en introduisant tout de suite les nombres N et N' et en négligeant les phases 9 et 9' que Ton peut toujours rendre nulles par un choix convenable de l'origine des temps,

[sin 2::N/-f-sin 2-N'r=2Cos::(N — K)t %\nir} — ^t ,

produit dont le premier facteur montre la variation périodique de Tinteasité, et dont le second indique que le nombre des vibrations du mouvement résultant est alors constamment égal à la movenne —^ — des nombres de fibrations des mouvements composants.

Quand les amplitudes sont différentes, la hauteur varie à chaque instant de

A 1.- . -.x 1 â . Na-hiN'rt' , . . Nrt — NV .1,

mémequel intensité, le maximum étant r-, le mmimum r-» **'

hauteur moyenne pouvant être évaluée à — 5 — ^j— (Tekqueii et Boussixfso.

Journal de physique ^ IV, 193; 1875).

(*) Une surcharge (petite pièce de monnaie ou simple boulette de cire\ coUce vers le haut d'une des branches, suffit à abaisser le son.

ordent les tuyaux, les coups s'espaçant de plus en plus à mesure î Ton approche de l'unisson.

)eux tuyaux ouverts, deux cordes de contrebasse ou de piano à I près à Tunisson donneront encore des battements, mais plus Sciles à saisir. En effet les battements de deux sons complexes t eux-mêmes complexes : à chaque coup du son fondamental respondent deux coups du deuxième son élémentaire, trois du isième» etc.; tous ces battements, plus ou moins nets suivant intensités respectives des harmoniques, s'entremêlent et Foreilie içoît une modification de la hauteur et de la qualité plutôt que l'intensité du son ('). H est facile de rendre les battements visis à l'œil parla méthode optique (397), ou par les flammes manotriques (355j. On peut aussi les enregistrer soit directement soit moyen du phonautographe.

)ans le cas de deux diapasons, l'inscription directe se fait avec ^pareil de Lissajous etDesainSy qui consiste essentiellement en un pason mobile traçant ses vibrations sur une plaque de verre noirportée par un diapason fixe, également en vibration. Dans le »dèle primitif, le diapason mobile était déplacé à la main, au-des- (de la plaque de verre simplement collée à la cire sur le diapaifixe. L'instrument actuel permet d'effectuer commodément une mbinaison quelconque des deux mouvements vibratoires. C'est I solide banc en fonte, auquel s'adapte d'une manière invariable m des diapasons et sur lequel peut glisser un chariot portant lutre diapason; ce dernier est muni du style; au premier est tachée la plaque de verre noircie. Les deux diapasons étant mis i vibration, il suffit de tirer le chariot pour obtenir sur le verre (fomé le tracé de la combinaison des deux mouvements. On peut ailleurs donner à ces mouvements telle relation de direction que NI veut^ en orientant convenablement les deux diapasons, I un

!') L'effet est très frappant sur la sirène double de M. vou Helmhollz (335), sui- Dlqoe Ton met ou non les caisses résonnantes. Dans le premier cas, le soi» i^ental prédomine ; et si l'on détermine la production des battements en iroiDt la manivelle d, les renforcements et les affaiblissements de Tinten- (sont Urès sensibles. Si Ton enlève au contraire les caisses résonnantes, les ^s lupérieors atteignent une intensité relativement grande, et la variation ntensité pendant le battement devient beaucoup moins saisissante que celle li hauteur ou du timbre (von UELMnoLTz, loc, cit. y 208).

sur le banc, l'aulre sur le chariot qui le poile. OaDS le cas actuel, les deux diapasons seront placé» parallèlement aux rails sur letquels glisse le chariot.

La figure liii montre un graphique ainsi ohtenu.

Application à la mesure de la liaiitenr absolue des sons. — Sauveur ('), qui le premier étudia les battements, en avait conclu uo moyen de déterminer la hauteur absolue des sons. Si en ciïel 1« deux sons N et N' donnent B battements, on a

Si d'autre part on connaît l'intervalle I des deux sons, on a tn outre

Ces deux relations défiDissent complètement les nombres Nel !S'. Mais la méthode, exacte en principe, est à peu près impraticable, parce que deux sons ne donnent des battements faciles à complet que quand N' dilTèrc peu de N, et alors l'intervalle I est très difficile à évaluer.

Scheibler (') réussit à éviter cet inconvénient. Il disposa udc série de cinquante-six diapasons échelonnés du /«^ de 220 vibrations au /a, de 44o vibrations par degrés de quatre vibrations. (^' cun de ces degrés pouvant être déterminé avec précision pirle) battements, et rintervalte entier pouvant être apprécié très eioctr ment à l'oreille, il eut ainsi un tonomélrr, au moyen duquel il coR-

[') Sauveur, llistoiic de l.Xcadi'mie des scieii«-s, 13i; 1700.

(*) SmEmiEn, Po^g. Un.. X.\[\, 390; cl XXXîr. 333 cl i9î; IS33-3*.

)MPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. — SONS RÉSULTANTS. $53

jssaîl d*abord la hauteur absolue de chacun des diapasons de la rie par une succession d'équations évidentes, et qui lui permettait outre d'obtenir aisément la hauteur absolue d'un son quelconque Ire aao el 44o vibrations, par la simple mesure du nombre des llenents que ce son donnait avec celui des diapasons dont il lit le pliM voisin. On pouvait également opérer sur un son plus ave Ml plus aigu, à condition de le ramener d'abord par une série Ddavea-enlre les limites voulues.

M. Kœiûg (*) a construit un grand tonomètre allant de i6 à looo vibrations (') et comprenant par conséquent toute l'échelle » sons perceptibles.

889. Sons résultants. — Phénomènes. — Quand deux sons iffisammeni intenses N et N' (distants de moins d'une octave {^)), se mt entendre simultanément^ de leur concours naît un troisième son ont le nombre de vibrations est

R = IN -iN.

C'est le son résultant, signalé presque en inème temps par Jorge (*) de Hambourg, Romien (^) de Montpellier el Tarlini (®) de Padoue.

Dans les cabinets de physique se trouvent ordinairement deux luyaux faisant entendre isolément ui^ et fa^, et dont le son résultant wt/ûj. Pour rendre ce fa^ plus distinct, on le produit quelque temps au moyen d'un troisième tuyau fa.^ que Ton fait taire ensuite : le son résultant semble alors continuer la voix de ce dernier loyau devenu silencieux. On peut encore manifester le son résultant parles battements qu'il donnera avec un son voisin.

(*) K(B3f 16, Catalogue dP appareils d'acoustique, Paris ; 1 8S2.

(')De i6*^ à aSG***, hait diapasons à curseur sufQsent, chacun d'eux pouvant, s^ioQ la position du curseur, donner Irente-deux noies différentes. Dans la ^ttnière octave, les diapasons sont remplacés par des liges droites (332), dont la plot petite ut^Q^^^yOS"^ , ne rendant môme plus de son perceptible, peut servir ^fitppear sans qu*on ait à craindre la production de sa propre note.

(*) Cette restriction se comprendra plus loin (300).

l^) SoRGE, Anu^ezsun^; zur Stimmung der Orgelwerke imd des Claviers, Hamburg;

(*)Ro»Bc, Mémoires de V Académie de Montpellier; 1753. i'iTARTWi, Traité de Vharmonie. Padoue; 1754.

Les inslrumenis qui conviennent le mieux pour étudier les sons résultants sont les diapasons (nous y reviendrons bientôt), et particulièrement les diapasons de Toctave 5.

Dans les cours on emploiera avec avantage Y appareil de Kcenig^ qui se compose de deux tubes de verre (*), Trottes loogitudinalement par une roue garnie de drap motiUlé tournant entre ces deux tubes. A Taide de ce dispositif om prolonge autant qu'on le désire les sons primaires, et par suite aoni le son résultant, qu'il est dès lors facile de saisir et que Ton peut au besoin mettre en évidence par Tun des artifices indiqués plus haut.

Explication d'Young, — Young (*) attribuait ce son à des baliements devenus suffisamment rapides. Et de fait le son résultant le rattache d'une façon incontestable aux battements. A côté d*un diapason donnant 21/3 = 256***, faisons résonner un deuxième diapason dont nous élevons graduellement le ton à partir de l'unisson, et voici les phénomènes que nous constatons (^) : les battements, d'abord nettement séparés, se changent avant qu'on arrive à la seconde aSS"^ (32 battements) en un roulement de plus en plus rapide et qui, dans le voisinage de la tierce 320'** (64 battements), n'est plus distinct que comme une simple dureté du son (^). En même temps, on commence à entendre faiblement un ut^ 64'"* qui s'élève jusqu'à Yut.^ 128'**, à mesure que l'on approche de la quinte 384'*' (128 battements), tandis que la dureté du son disparait complètement. De 384"* à 448""* le son résultant monte au 504192'** et prend une intensité surprenante relativement à celle qu'il avait eue jusque-là. Bornons-nous à cette première étape, et comparons-en les phénomènes à ceux que Ton obtient avec une roue de Savart. dont on augmente progressivement la vitesse. Ce sont d'abord de? chocs successifs, puis un ronflement qui persiste encore quand il y a 128 chocs à la seconde; mais en dehors de ce ronflement et

(*) L*appareil esl accompagné de douze tubes accordés aux noies ulf=='* rt'6=9, tnie^io, /Vi6-h=ii, 50/^=12, /a^— =i3, /(jg|-h=i4, «*«='^' utT=:iG, wM^rriïo, /(i7t-h=23, CCS demîers pour les sons résultants de» intervalles harmoniques (390).

(«) YouNG, P/nL Transr, 1800; et Miscellaneous Worka, I, 83.

(^) Voir Kœnig, loc. cit,^ 100.

(^) En lout cela, M. Kœnig est complètement d accord avec M. von HelmholK qui a le premier appelé lattention sur ce changement des battements en dureté.

1 même temps on entend distinctement le son ut.^inS''* {^). La

^ssemblance avec les battements est complète (^).

Théorie de M. von HelmhoHz (^). — Partant de ce fait que les sons

rimaires doivent avoir une certaine intensité pour donner lieu à

es sons résultants sensibles, M. von Helmholtz considère ceux-ci

)mme une sorte de perturbation du mouvement vibratoire, devenu

t>p violent pour suivre les lois ordinaires.

Quand les vibrations pendulaires sont suffisamment petites, les

»rces élastiques mises en jeu par les déplacements sont propor-

onnelles à ces déplacements; et le principe de la superposition

ure et simple des petits mouvements, dont nous avons faitsi souvent

sage jusqu'ici, s'applique en toute rigueur. Quand au contraire

îs amplitudes des vibrations sont assez grandes pour que le carré

es déplacements puisse exercer une influence notable sur la va-

eur des forces, le calcul montre qu'il se développe un nouveau

rysième de mouvements vibratoires simples. Un diapason ou une

cloche que Ton fait vibrer énergiquement émet l'octave (*), tandis

que, vibrant avec une force modérée, l'instrument ne donne que

des sons supérieurs non harmoniques. Si deux systèmes d'ondes à

grandes amplitudes viennent se rencontrer en un même point,

deux classes de sons résultants apparaissent, ayant pour types :

d'une part, le son différentiel dont le nombre de vibrations est égal

à la diiïérence des nombres de vibrations des sons primaires;

d'autre part, un son additionnel dont le nombre de vibrations est

égal à la somme des nombres de vibrations des mêmes sons ('). Ce

deuxième son échappe évidemment à l'explication d'Young.

(*)Le ronflennent domine si les dénis rencontrent une lame de bois dur; le MO est plus distinct avec une carte pointue et peu résistante.

n l^ coeiistence du bruit des chocs séparés et du son continu concorde avec lesdeox TaitA suivants, bien connus :i^\\ surfit de iG impulsions primaires pour ^ner un son (332) ; a* Foreille constate la non-coincidence de deux pendules <ioQt roscillatton ne diffère que de i/ioo de seconde, et par conséquent distin- Koedenx impulsions séparées de i/ioo de seconde. (D*après ce qui précède, la ntpîdité du pouvoir de perception de Toreille atteint môme i/i3o de seconde.)

(') Helmholtz, /oc. ci7., 491 et 519.

^) En faisant vibrer fortement un diapason à branches longues et minces on P^^i^àTaide des résonna teurs, constater jusqu'à l'harmonique 4* (Cf. Gripon, Kéimion dt$tociété$ stmantes, 4880; et Kœnig, Quelques expériences^ p. 193.)

(^De même que les sons primaires, les harmoniques donnent des sons résul- Unlsicesderniers s'entendent assez facilement surle violon et surTharmonium.

Importance musicale des sons résultants, — Les sons résultanb jouent un rôle important en musique, par Tinfluence quMls exer* cent sur la justesse des accords.

Considérons par exemple les deux accords parfaits (335) complétés par l'octave.

Dans raccord parfait majeur

les sons résultants sont

c'est-à-dire la double octave grave du son fondamental, Toctavede ce même son, Toctave grave de la quinte, et le son fondamental; tous ces sons renforcent simplement les sons primaires et particolièrement le son fondamental ; l'accord est franc et solide. L'accord parfait mineur

admet pour sons résultants

c'est-à-dire la double octave basse de la tierce majeure grave, la double octave basse de la tierce mineure, l'octave basse du son foiKi damental, la tierce majeure grave, enfin le son fondamental. Ici un son nouveau apparaît répété, la tierce majeure grave, qui est en dissonnance avec la quinte. De là le caractère indécis, inquiet, de l'accord mineur (*).