OH' OH """'^^^ÔT^OL

Si la différence de phase des deux mouvements composan nulle, en d'autres termes si 9=0, Téquation devient

Tellipsc se réduit ù une droite PN ayant pour coefGcient ( laireT; ^t puisque x etj) partent au début de k et de / s'annuler en même temps et arriver ensuite à —A-, — /, la (

tl

Fig. i3j

Fig. i3<>

est décrite d*abord de N en P, puis de P en N, et ainsi de suite fmiment.

Si <p==-79 réquation représente une ellipse rapportée à sf

et les mouvements composants étant alors

x=zk sin 2zN^ et i = / cos 2T:Nf ,

on voit que Tellipse est parcourue dans le sens de la flèc le sens du mouvement des aiguilles d'une montre : c de gauche 5 droite (pour un observateur en 0) est dite

Ouand en outre A-=:/, Tellipse devient un cercle. Si • -7, on a une droite M(J,

symétrique de la précédenle PN par rapport aux axes, et parcourue d'abord de M en Q, puis de Q en M, et ainsi de suite.

En résumé, pour les valeurs de 9 comprises entre o et 1/2, la courbe est une ellipse ayant son grand axe dirigé dans Tangle xOj si la diOTérence de phase est inférieure à 1/4, et dans Tangle x'Oj si cette diOTérence est supérieure h 1/4.

Puis, 9 croissant de 1/2 à 1, la courbe repasse en sens inverse par les mêmes formes; et ces diverses trajectoires sont parcourues en sens contraire : la giration est sinistrorsitm.

Les valeurs de e supérieures à i redonnent les mêmes courbes, puisque d'une manière générale une difTcrence de phase égale à un nombre entier plus une fraction n'intervient algébriquement que par cette fraction seule.

Accords harmoniques. — (J^i^nd les nombres de vibrations M et N ^nl dans le rapport de /> à i , on peut poser

x~k cos 27: [p^t — 9), j = / cos 2- iN/;

^'» si I on développe Texpression de x, il vient

*cos2rç^(eos2::NO''-^^^^ bîn2rç|^^(cos2-N/)p-»sin2zN^-'-fc^|^^

ou, puisque cos 2rN^=:y et sin '?.7:^t~±. 1/ i — -rj,

On a donc W^^p-2 (octave)

^•=^^052^9(2*^ — I j rt/tsin 2^9(2^) y/ I —'77»

pour p^Z (douzième)

jc^=ik cos

'^rJ^'j,-'i'^^^

La courbe /;==2 est une parabole

quand

— "~^\^ 75"" 0 quand

Fig. 13;

Fig. i38

Fig. i39

Lorsque ?=7, Téquation devient

elle représente une courbe en forme de 8, passant par rorigii^^ qui est à la fois centre et point multiple. La courbe a deuisoit^' mets \erticaux

et quatre sommets horizontaux

Entre ces deux figures, les variations de la phase amènent un^ série de formes toutes inscrites dans le rectangle aA-,2/, et que l'on peut concevoir en supposant que le 8 se plie par le milieu drap' proche ses branches, de façon à arriver enfin à Tare paraboliq'»^*

ja coarbe />=3 se réduit à une S,

X =: A: (4'-p — 3yj quand ?==o,

a: = -A(4-^-3yj quand ?=^.

^our 9~-, on a une sorte de 8 à double croisement, dont Té-

ition est

courbe offre un sommet vertical à chaque extrémité db / de Taxe ffitrerse, et trois sommets horizontaux sur chacun des côtés

= ±^du rectangle circonscrit (en j^==o et j = dzli/ •-].

Cas général. — D'une manière générale, si les nombres de vitlioDs des deux mouvements vibratoires rectangulaires M et N ni dans le rapport p : ff, p ci ç étant des nombres premiers lire eux, la courbe résultant de leur combinaison présentera p ►nlacls avec chacun des côtés {x = dz k) et q contacts avec chacun îs côtés (^ = =t /) du rectangle 2^,2/. En effet, dans l'intervalle de

mps pT = 7t( T et T étant les périodes rî et ^ des deux inouve-

i€Dbj,x devient /? fois égal kk, etjdevient</ fois égal à /.Comme

ailleurs elle est continue, la trajectoire a p sommets horizontaux 1 sommets verticaux. Au bout du temps pT^q-y le mobile est ^^nu au point de départ : la même trajectoire est ensuite par- ^orue indéGniment dans les mêmes conditions. ^présentation géométrique de Lissajous. — Lissajous (*) a donné ^ moyen élégant de construire et de se représenter les différentes sures qui correspondent à un même rapport des mouvements i^ttiposants.

i ,' LissAjoc^, Ann. de chim. et dephys., (3), LI, 147; 1857.

On peul ioujoiirs, en choisissant convenablement Tunilé de temps, mettre les deux déplacements sous la forme

jc — kcos m (/— 0), } — / cos^,

où m désigne un nombre entier ou fraclionnaire.

Que Ton trace la courbe ABCDE... représentée par rêqualion a:=:Acos m (/ — 0); que Ton construise d'autre part le cylindre circulaire droit IKLN de diamètre 2/; qu'on enroule la courbe ABCDE... sur le cylindre en plaçant aA suivant la génératrice Ik; enfin que Ton projette sur le plan méridien IN la courbe ainsi enroulée : cette projection sera la fîgure cberchéc.

Considérons en effet un point M de la courbe cylindrique et la

projection P de ce point sur le plan IN; —;-^ Tare am étant par déHriition égal à t,

nous avons

00 = / cos t = y

D'ailleurs

PO-rMmr^.r.

Or PO et OQ sont les coordonnées d«»

Fip. 140

Fi p. I |i

point P par rapport à Taxe du cylindre O.r et au diamètre 0^. I^^ lieu du point P est donc bien la trajectoire du nmuvement roMil' tant.

La figure se rapporte au cas de m =. 'x (oclave). En général, m

ant égal à -, le point M exécutera y:; sinuosités complètes de part

d'autre du cercle moyen, tout en effectuant y tours entiers autour j cylindre. On voit ainsi immédiatement que la trajectoire du HDl P est tangente p fois a chacune des lignes x~^k, et 7 fois à lacune des lignes x=z±L

Si, les deux mouvements composants restant les mêmes, la diffémce de phase varie, en d'autres termes si le point A est un autre oint de la sinussoïde ABCDE..., on aura encore la même courbe aroulée sur le même cylindre, seulement le plan de projection ïra un autre plan méridien. Au lieu de changer le plan de prosction, nous pouvons supposer que ce plan est fixe et que le cylodre tourne sur lui-même, avec la courbe qu'il porte, d'une frac-

ioD de tour égale à ^ 9 ('), c'est-à-dire d'une fraction de tour égale

la phase rapportée à la plus longue période, phase que nous lésignerons par «J^. Si donc, ayant décalqué la courbe ABCDE... ur un cylindre de verre, on fait tourner ce cylindre sur lui- Dème, l'œil placé un peu loin dans la direction 0::: verra sucvivement toutes les formes de la courbe correspondant à la

râleur choisie du rapport ~ = m. On peut, comme l'a indiqué

1 Terquem ('], découper dans des feuilles de tôle les sinussoïdes k |ue l'on enroule ensuite suivant les cylindres / : on a ainsi des ^barils qu'il suffit de faire tourner entre une source de lumière ^vallèle et un écran pour que leur ombre sur cet écran affecte les 'iverses formes de chaque type.

La Ggure se reproduit pour une rotation du cylindre égale à

"r-, c'est-à-dire pour une variation de ^ égale à -. Les formes siin-

)lifiées par la superposition des parties antérieures et postérieures

(*) Celte valeur résulte immédialemenl de la cotislrucUoii géomélrique de la

^^^^; on peut aussi la déduire de Fidenlilé ^6=2::9, d où, ~ étant égal à

^ on lire 0=12119 ?, ou 0=2»<J>, si l'on pose 9 ^i^^*. ^jTEfcQUMi, Sinnvcs de la Société française de physique; 1876, p. 102.

I toar

de la courbe cylindrique reparaissent après une rotation de : ces

fornies répondent aux phases 6~o, Ç» — — , = — -,...

396. Appareils montrant les figures résultant de la combinaison de deux mouvements vibratoires rectangulaires. — Les figures résultant de la combinaison de deux mouvements vibratoires rectangulaires s'observent aisément.

On peut d'abord employer à cet effet des pendules.

Une pointe fixée à Fextrémité d*un pendule ordinaire trace eo général une ellipse, qui devient dans certains cas particuliers une droite ou un cercle.

Pour avoir Tune des fissures -, il suffit d'attacher l'un au-dessous

de l'autre deux pendules de longueurs convenables, ou de limiter dans un certain sens (au moyen de deux règles parallèles) les oscillations d*un pendule unique. Eisenhohr, Mohr, Knoblauch ont construit sur ces principes des appareils plus ou moins compliqués. M. Lymann place sous la pointe d'un pendule une plaque de verre enfumée, portée par le prolongement d'un deuxième pendule audessus de son point de suspension ; il obtient ainsi un tracé qui dépend du rapport entre les longueurs des deux pendules et de Tangle de leurs plans d'oscillation.

396. Caléidophone de ^Wlieatstone. — Wheatstone, qui le premier distingua ces phénomènes, les produisait au moyen de son caléidophone (379). Lorsqu'une des verges est écartée de sa position d'équilibre, elle y revient en effectuant des oscillations qui peuvent être planes, mais qui le plus souvent sont gauches et résultent précisément de la superposition de deux systèmes rectangulaires d'oscillations planes.

Considérons, par exemple, la tige à section carrée : si avec \t doigt on la fléchit parallèlement à l'un des couples de côtés du carré, puis qu'on l'abandonne à elle-même, elle exécute des oscillations planes, et son extrémité trace une petite droite parallèle à ce couple; sollicitée parallèlement à l'autre couple de côlcs. elle décrit de même une droite parallèle à ce deuxième couple; ^^

:09IP0SITI0N DES MOUVEMENTS VIBRATOmES. — MÉTHODE OPTIQUE. 260

1 Taltaque obliquement^ elle offre Tune des fornies de l'ellipse.

La iTge ayant pour section un rectangle dont les côtés sont dans ! rapport p : y, présentera la figure p : q.

Dans le caléidophone universel^ construit à peu près simultanélenl par Lippich (') et par Melde ('), une longue bande d'acier, xée solidement par son bout inférieur, porte à sa partie supéeure une deuxième bande, dont le plan est erpendiculaire à celui de la première et dont a peut modifier la longueur : le système est nnnonté d'une perle réfléchissante qui, les erges étant mises en vibration, dessinera la gore correspondant au rapport établi.

897. Métbode optique de Lissajous. — lissajous (^) a imaginé une méthode élégante de rodaire ces figures, et il en a tiré un procédé emarquablement exact pour accorder à tel inerTalle que Ton veut deux <liapasons et en général deux instruments quelconques.

La méthode créée par Lissajous, et devenue célèbre sous le nom de méthode optique, consiste essentiellement à faire tracer la figure par un rayon lumineux, soumis successivement a l'action de deux diapasons présentant Tintervalle ^oulu.Chaque diapason est à cet efi'et muni d'un peUl miroir (ou d'une petite lentille) à Textré- ^| mité de Tune de ses branches, Tautre branche portant un contre-poids.

Tracé optique des vibrations d'un diapason, — Prenons d'abord un seul diapason D, et au moyen d'une lentille L ^lirigeons sur son miroir m un faisceau de rayons solaires : ce bisceause réfléchit, va frapper un miroir auxiliaire M, puis enfin ^Ireçu sur un écran placé au foyer conjugué de l'ouverture par

Fig. i/|i

V Lifwca, S«(iuiii/«6CT'. d, Viien. Akad., XLV; et Pogg, Ann., CXVII, i61 ; 1802. î*^) MiLDx, P^or. Ann.y CXV, 117; 18G2. Melde a publié un allas détaillé de ^courbes dans son Lehre von dçr Schwingungscurven. I.eipzig ; 1864. l*) Usmuf , loe. cit.

Inquelle entrent les rayons solaires. Si l'on fait vibrer le diupason, la tache lumineuse se meut sur l'écran suivant une droite II',

parallèle au plan des branches du diapason et qui semble ItHiiineuse dans toute tta longueur h cause de la persistaner dps imprf^

sions sur la rt'tinr. Four séparer les vibrations successives, ilsiiï" d'imprimer au miroir M uii l«'-;rer mouvement de rotalion aulo*"

lOMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. — MÉTHODE OPTIQUE. 271

e son axe vertical : on voit alors sur Téeran se peindre une ourbe sinueuse qui est en quelque sorte le tracé optique de la ibration.

ComposiitoH optique de deux mouvements vibratoires rectanguihres. — Au miroir M substituons maintenant un deuxième diaason D\ ayant son plan de vibration perpendiculaire au plan de ibration du diapason D. Si, le diapason D étant immobile, le dia- •ison D'oseille seul, la tache lumineuse posée sur Técran décrira me petite droite parallèle au plan des branches de ce diapason, terpendicalaire par conséquent à la petite droite résultant des ibralîons du diapason D seul. Si Ton fait osciller les deux diapa- 008 à la fois, on voit apparaître Tune des formes de la courbe caactéristique de Tintervalle D' : D (*).

t'ig.

Les tracés ci-joints, empruntés au mémoire de Lissajous (^),

V La courbe semble coiUinue si elle met à se Termer moins de i ' i/ï de seconde ; dans le cas contraire, elle pareil animée d'une sorte de (rémulation comme si une onde obscure courait rapidement le long du trait lumineux.

/)Dans cette figure, le diapason le plus grave, placé verticalement, ainsi que nousVaTons supposé jusqu'ici, vibre le plus énergiquement (/>/>); les phases ^nl comptées négativement et rapportées à la période la plus longue.

représentent les formes principales relatives aux accords fondamentaux (unisson, octave, douzième et quinte).

Démonstration de la nature de la vibration d'un diapason. — Ces tracés coïncident exactement avec les courbes théoriques, et cette coïncidence est la preuve que les oscillations sont pendulaires.

Déformation des figures de Lissajous. — La forme particulière de la courbe dépend de la diiîérence de phase ('), laquelle dépend elle* même du mode d'attaque, c'est-à-dire d'un ensemble de circonstances indéterminées, ou de ce que l'on appelle le hasard. Une fois établie, cette forme persiste indéfiniment si les diapasons sont exactement accordés ('). Sinon, on voit la figure acoustique se modifier et prendre successivement toutes les formes du type (').

Soient en effet deux mouvements vibratoires rectangulaires dont les nombres de vibrations sont dans le rapport de m + £ à i

m désignant toujours le rapport — du nombre des vibrations suivant Ox au nombre des vibrations suivant Oj*, elp étant suppose

a:=^k cos ax [mîit -+- eNf — ç),

jr=:=/C0S2rN^.

On peut faire passer les vibrations excédentes dans la différence d^e phase et poser

(*) Pour montrer rinfluence de la différence de phase, on emploiera utilemerK t Tappareil construit à cet effet par Lissajous. Sur pn bâtis en bois sont fix^s deux ressorts d*acier, Tun horizontal, Tautre vertical, portant chacun à leur extrémité libre une lentille. Ces deux lentilles sont en face Tune de l'autre, et leur ensemble donne sur un écran une image de l'ouverture par laquelle on lance sur elles les rayons d'une source intense. Entre les deux ressorts peut toarn^r un axe muni de deux excentriques, qui actionnent séparément chacun des ressorts. Suivant le calage de ces excentriques, les mouvements oscillatoires des deux lentilles présenteront telle différence de phase que Ton voudra, et la coart>e lumineuse tracée sur l'écran répondra à cette différence de phase.

{*) Avec des diapasons entretenus électriquement et munis de contre-poi<i^ à mouvements micrométriques, on peut maintenir la Ggure absolument immobile, ou la Taire varier aussi lentement qu'on le désire. Th. et A. Duboscq ont construit sur les indications de M. Mercadier des appareils satisfaisant très bien à ces conditions.

('j Eu combinant au moyen de Tappareil de Lissajous et Desains (388) le» vibrations rectangulaires de deux diapasons M et N, on obtient un tracé montrant la dérormation continue de la figure acoustique M : IS =/> : q.

iMMPOSITlON DES MOIIVKSrENTS VIIIHATOIRES. — METHODE OPTIOUE.

La dilTérencc df^ phase variant avec le temps, la courbo se iiiodiliera, les fliverses formes se déroulant successivemenl.

Comme <I> varie ICDlpS

I dans I

r.. '!' variera de i dans le

temps -T.

-s?; iF devant varier de — pour passer d'une forme si mplifiéc à la suivante, i-u passage demandera nn temps

Ainsi In déformation de la courbe prouve \e désaccord, et la rapidité <le celle déformation le mesure.

Le procédé est général et peut s'appliquer à l'élude de toute espèce de mouvement vibratoire ('). Il suffit de composer rectanlulnirement ce mouvement avec celui d'un diapason connu. Comparateur optique. — Lissajous a construit à cet effet son

' """parateur optique. C'est un microscope dont l'oculaire et l'ob-

1 On peul même éludicr par ce mo^en les vibrations d'une colonne gaieuse '"i^lnthe-akusliehe Vertvcke; elJoiinitir de jtliijsi'iiie. 11. 338; (S"3(Crova). 'loUK. Court lie pliyi'iquf. — TI. \K

jecUr sont indépendants : loculaire est monté invariablement sur un pied solide, tandis que Tobjectif s'adapte à Tune des branches du diapason type (un contre-poids est placé sur Tautrc branche). Le diapason étant mis en vibration, on examine au microscope un point du corps à étudier (diapason, corde, membrane de pbooaatoscope ou de capsule, etc.), placé dans le champ de telle manière que ses vibrations s*e(Tectuent perpendiculairement à celles du diapason.

La figure i4^ montre cet appareil sous la forme que lui a donnée M. von Helmhoitz : M est le corps du ynicroscope à vibration dont Tobjectif est porté par le diapason D. Un petit curseur C sert à régler la hauteur du diapason; un élcctro-amiant E permet de prolonger autant que Ton veut la durée de l'expérience.

Par la méthode de Lissajous ou par la méthode stroboscopique (362), qui au fond est équivalente, on peut déterminer sans le secours de Toreille un intervalle musical avec une exactitude en quelque sorte illimitée (*).

398. Expérience de Foucault (^). — Nous ne quitterons pas ce sujet sans rappeler la curieuse expérience de Foucault sur la verge vibrante. Prenant un fil d'acier de a"" de diamètre et de

(*) Si par exemple on combine iiii diapason battant 'lio^* en i' avec un deuxième à la quinte en dessus du premier, si d'ailleurs cette quinte est un p^u Torte, et si l'inlervalle entre deux coïncidences dure ij*, on aura

d'où

ti ) r-»