PN H- PN
veau l'écart extrême N' à gauche : le milieu de PQ = — ^^ ^
marque la position d'équilibre. Soit n^ le nombre de divisions séparant cette position de celle qu'occupait le levier quand il n'y avait pas attraction. On amène les grosses sphères dans une position symétrique par rapport à la position d'équilibre initial du levier :
on fait une nouvelle lecture n.^. On prend la moyenne -î ^ = «.
Soit 5 la grandeur d'une division, «S est le déplacement et -y l'angle de torsion; par suite, le moment du couple de torsion est T y. Le moment de l'attraction est 2 F/, car la distance des boules a=k—nl étant très petite, on peut regarder la force F comme perpendiculaire au bras de levier. On a donc
aF/=Ty, (3)
équation qui détermine F.
Si Ton y introduit la valeur de T trouvée plus haut (2), il vient
et. si Ton porte cette valeur dans Téquation (i), on a
équation qui donnerait immédiatement le rapport de la masse M de la terre à la masse m de la grosse sphère de plomb. Pour en déduire la densité D de la terre, remplaçons M par
rrR'D et de même m par ^x/*^rf, r étant le rayon de la sphère de plomb et d la densité du plomb,
d'où
fir^
Dans les expériences de Cavendish, on avait, en mesures anglaises :
3= longueur du pendule battant la seconde = 39^;! 4
8 = valeur d'une division de la mire . . . ^ 0,0479
/•-rayon de la sphère de plomb = 6
a = distance des deux sphères := 8
R = rayon de la terre —21000000^'
d — densité du plomb — 11, 5
Cavendish employa deux fils différents. Le premier, très fin, faisait une oscillation en i4 minutes et se tordait d'un angle correspondant à 16 divisions de la mire quand les grosses sphères agissaient; on avait donc
T= durée d'une oscillation ~- 84o* n8=i déplacement = 16. 5 — o'JyôS.
Avec le deuxième fil, .plus gros, on avait
/i8~ 5,7.8 = 0PÎ272.
Comme moyenne de ses expériences, au nombre de vingl-neuf, Cavendish trouva
Cette densité est de beaucoup supérieure à celle des matériaux de la surface (eau et pierres dont la densité est généralement comprise entre 2 et 3) : les régions intérieures de notre globe sont donc beaucoup plus denses que les couches superficielles (*).
Mesures de Reich.
Quarante ans plus tard, Reich P) fit de nouvelles mesuresavec une balance bifilaire munie d'un miroir pour l'observation des angles par la méthode de Poggendorff (117) et installée dans les mines de Freiberg, afin d'éviter l'influence des changements de température qui modifient complètement T. Une première série (iSSj) donna pour résultat 5,44 que Reich corrigea plus tard en l'élevant à 5,49; une deuxième série (1849) lui fit admettre
Mesures de Baiiy.
Dans l'intervalle (1842), M. Baily (^), à la demande delà Société astronomique de Londres, recommença les expériences de Cavendish avec un apparjeil identique à celui même que Cavendish avait employé. Il opéra une longue série de mesures qui, bien qu'affectées d'une erreur systématique sur laquelle nous reviendrons, se recom-
(^) D'après M. Boche qui a repris ks calculs de Legendre et de Laplace sur ce sujet, la densité S à une distance d du centre évaluée en fonction du rayon pris pour unité est
8=10,6 (^i-|rf^y,
d'après cette formule la densité moyenne à la surface serait 2, i et au centre on aurait 8=: 10, 6.
(') Reich, Abhandlungen d. math,-phys. Klasse d. Sachs. Gesellschaft dAVissenschaften, I ; 1 832.
(') Baily, Astron. Soc. Mém, , XIV ; i 843 ; et Annales de chimie et de physique (3), V, 338; 184?.
mandent par le soin avec lequel elles ont été exécutées. La moyenne de plus de deux mille expériences fut
Mesures de MM. Corou et Baille.
MM. Cornu et Baille (*} ont repris dernièrement ces mesures. Us commencèrent par étudier d'une manière complète la balance de torsion. Us reconnurent que la loi du décroissement des amplitudes des petites oscillations en progression géométrique se vérifie exactement, lorsqu'on s'est convenablement mis à l'abri de toute cause d'erreur. H en résulte que la résistance de l'air est, dans des limites assez étendues, proportionnelle à la vitesse (86). Il en résulte aussi que « quand les causes perturbatrices accidentelles sont éliminées, les oscillalions du levier sont d'une régularité telle que la loi de leur décroissement est précisément le critérium de la perfeclion des mesures. »
Les différences des élongations successives doivent décroître légèrement à chaque oscillation double, et la décroissance doit se répartir régulièrement aux deux extrémités de l'oscillation. Or, les observations de Baily fournissent précisément des dilîérences très inégales aux deux extrémités de l'oscillation : la première dans l'ordre des temps est toujours beaucoup plus forte que la deuxième; par suite la position d'équilibre est erronée, et la valeur de D que l'on en déduit est trop forte. Cela tient à ce que, aussitôt une série terminée, Baily (comme Reich) changeait de place les grosses boules et procédait immédiatement à une nouvelle série dans laquelle il prenait pour première élongation la dernière élongation de la série précédente; mais les trépidations et les chocs inévitables dans l'inversion des grosses boules exerçaient une action perturbatrice accusée par l'inégalité des différences aux deux extrémités de Toscillation. Rejetant le premier nombre de chaque série de Baily, M. Cornu a vu cette différence disparaître, et en prenant au hasard dix séries, il a trouvé dix fois pour D un nombre inférieur à la valeur adoptée par Baily : la correction
0)CoRND et Baillk, C. R. LXX, 1337; 1870; LXXVl, 954; 1873; et LXXXVI, m ; 1878.
moyenne futo,ii6; si on rappliquait à Tensemble des mesures de Baily, on aurait D=5, 55.
Les appareils de MM. Cornu et Baille sont établis dans une cave de TEcole Polytechnique. Le levier de la balance de torsion est un petit tube d'aluminium de 5o"™ de longueur (*) portant à ses deux extrémités deux boules de cuivre rouge pesant chacune 109^'. Un miroir plan, fixé en son milieu, permet d'observer avec une lunette une échelle placée à 5", 60. Le fil de torsion, en argent recuit, a 4°',i5 de hauteur et il était installé depuis plus d'une année lorsqu'on procéda aux premières mesures. La masse attirante est constituée par du mercure contenu dans quatre sphères creuses en fonte de 12*™ de diamètre : le mercure passe d'un couple de sphères dans l'autre par aspiration, ce qui évite complètement les trépidations. D'autre part, la nature métallique de toutes les pièces et leur communication avec le sol mettent entièrement à l'abri des perturbations électriques. Chaque oscillation est enregistrée électriquement sur toute son étendue. Les observations sont d'une régularité parfaite : ainsi, la durée d'une oscillation complète du levier reste fixe à 4^8* depuis plusieurs années, à quelques dixièmes près. Les mesures se poursuivant encore actuellement, le résultat définitif n'est pas connu; maison peut dès aujourd'hui tenir pour certain qu'il différera très peu de
Telle est la valeur que nous admettrons pour la densité moyenne de la terre.
Valeur numérique de la constante de l* attraction. — En même temps que ces diverses expériences fournissent une preuve de l'universalité de l'attraction, elles permettent de fixer la valeur de la constante /qui représente l'attraction de l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance.
(') On a tout avantage à réduire les dimensions de l'appareil. Si, en effet, on se reporte à la formule (5), on voit que dans des appareils géométriquement semblables, le temps d'oscillation du levier t restant le même, la déviation -^ est indépendante du poids des boules suspendues m et en raison inverse des dimensions homologues.
On a en effet
d'où l'on lire
Si Ton effectue le calcul en prenant pour unité le mètre et le *amme, on trouve
grammej
.or
ce qui fait en unités C. G. S., les dimensions de /=i-r=-ë. étant
De la troisième loi de Kepler on peut alors déduire immédiatement la valeur de la masse totale de deux corps réagissant Tun sur l'autre, d'après la connaissance de deux éléments de leur mouvement re- Jalif, a et T; on a en effet (*)
/(mH-m) = -7|rp-
f {')^, quantité indépendante de g, est avec D = 5,5o
■}] Quand nous sommes remontés des lois de Kepler à la loi de Newton, nous avons supposé le soleilim mobile. Mais il n'en est pas réellement ainsi. Entre
Fig. 169
le soleil S de masse m et la planète P de masse m' s'exerce suivant la ligne des
•f ' cenUres une attraction * — r- sollicitant également le soleil et la planète. II en
et, en partant de la masse connue de la terre, on pourra déterminer successivement la masse du soleil et celles de tous les corps du système solaire {*).
C'est donc avec raison que Ton a appelé Tappareil de Cavendish c( une balance à peser le monde ».
106. Influence de la rotation de la terre sur la chute des corps. — Dans les questions d'équilibre à la surface de la terre, pour tenir compte du mouvement de rotation de la terre, il suffit d'ajouter aux forces réelles la force centrifuge. Mais, quand il s'agit d'un mouvement à la surface du globe, il faut ajouter aux forces vraies deux forces fictives, la force centrifuge et la force centrifuge composée (53).
La force centrifuge est comprise dans le poids, il n'y a donc plus à s'en occuper ; reste la force centrifuge composée.
Par un point 0 quelconque de la surface terrestre, menons trois axes coordonnés que nous supposerons entraînés par le mouvement de rotation de la terre. Prenons pour axes la méridienne Oj* dirigée vers le nord, une perpendiculaire dans le plan horizontal Oj
résulte pour la planète une accélération y^ ='^ dirigée suivant PS et pour le soleil une accélération y, =::■ -5- dirigée suivant SP. L'accélération du mouvement relatif de la planète autour du soleil est la somme de Taccélération y^ et d'une accélération égale et de sens contraire à y, : c'est donc une accéléra-
lion Y = '— ^ — 3 • dirigée suivant PS. Si Ton pose y— !^,, \L—f(m -h m) et,
comme on a toujours H^ = — ^3-, il vient
>ii.)
Vm
Les planètes ayant des masses différentes, (x n'est pas identique pour toutes: le rapport ,-=2 n'est pas une constante, comme le pensait Kepler, mais il en diffère peu, m étant toujours très grand par rapport à m'.
(') Tant que l'on ne connut pas /avec une précision suffisante, les astronomes ne purent que déterminer les rapports des masses des différents éléments du système solaire, soit par une double application de la formule précédente aux planètes ayant des satellites, soit par des calculs de perturbations. Mais aujourd'hui lu valeur de / peut être regardée comme assez exactement lixée pour permettre le calcul des valeurs absolues des masses et par suite des densiti^s de tous les corps du système solaire.
dirigée Ters l'est, et la verticale 0^ dirigée vers le bas. La rotation uniforme de la terre autour de la ligne des pôles peut être regardée comme la résultante d'une translation égale et parallèle au déplacement du point 0 et d'une rotation égale à celle de la terre autour d'une parallèle OPa à la ligne des pôles, parallèle située dans le plan méridien xOz et inclinée sur l'horizon d'un angle égal à la latitude).. Remplaçons donc la rotation réelle par ses deux composantes: la translation est sans influence sur le mouvement relatif, la rotation autour de 0P« est seule à considérer. Cette rotation s'effeciuant de l'ouest à Test, c'est-à-dire dans le sens négatif, devra
Ijf!:: Y 1 «
èlre représentée, ainsi que nous l'avons déjà remarqué (28,2°), par une certaine longueur (i> prise sur la partie australe OPa de Taxe. La force centrifuge composée ^miùv s\n {tù , v) est perpendiculaire au plan (a», i^) du côté opposé à celui où la rotation tend à entraîner ce plan. Si, par exemple, la vitesse v est située dans le plan méridien et par conséquent entraînée vers l'ouest, la force centrifuge composée sera dirigée vers l'est. Remarquons d'ailleurs que (ù étant extrêmement petit, l'accélération centrifuge composée est en général très petite elle-même ; ainsi, pour une vitesse de lo mètres par seconde, elle est moindre que 0,002 ; pour une vitesse de Doo mètres par seconde, elle est encore inférieure à 0,1. Habituellement donc elle est entièrement négligeable. Il est cependant possible par des mesures délicates de la mettre en évidence. Cherchons ses composantes. On sait que la direction (a, ^, y) per-
pendiculaire aux deux directions (a, A, c), [a\ b\ c) est déterminée par les formules
g __ 3 ï =fc'
bc—cb' ca—ac ab'—ba sin A
A étant Tangle des deux directions.
Ici, Tune des directions est OPa, a = — cosX, i = o, c = sinX; Tautre direction est celle de la vitesse, par suite dx dy dz
a — — 1 b'=z — ) c= — ; enfin c'est le siffne + qui convient. On a
donc
. ^dy
. , dx ^ dz
sinX-î — hcosX-r
dt dt
^sin(w,v)
— cosX -j- __ '^^.
i'sin((i),^) '
et par suite les composantes de la force centrifuge composée
sont
dy Xc — — amwsinX-r-,
dt <
Yc= 2m«i)sinX ("/""•"COsXJ -j-,
dy
Ze = — amo) cosX ,
dt
On a donc pour les équations du mouvement
d^x . ^ dy
— —=— 2(i)SinX-7-, dt^ dt
d^y f , ^ dx ^ dz\
— ^=2(1) ( SinA-7--+"C0SX-r- /
dt^ \ dt dt)
d^z ^ dy
Oa obtieat sans difficulté les intégrales premières
dx .
=:A — 2(i)JSIIlX,
dt
dy
^ = B -h îiw (x sin X -h ^ cosX) ,
j- =C -h gt — 2(0 jcosXj
A, B, C étant les composantes de la vitesse initiale v^.
Supposons cette vitesse initiale nulle et le corps tombant eh chute libre : la force centrifuge composée le fait dévier vers Test; mais comme elle est très faible, la déviation est elle-même très petite. On peut donc négliger le produit de cette déviation j par u) et prendre simplement pour intégrale de la dernière équation
De même Téquation précédente se réduit à
'^=2îùzcos'k=^g{ùt^cos\;
gMt^cos>X
Et la première équation devient
d'où
dx __— ig(ùh^ si n X cos X dt" 3 '
— fi^wVsina/,
Il y a donc :
!• Une déviation vers Test, j.
VioLLB, Cours de physique, — I. 20
2* Une déviation extrêmement petite \ ers le sud dans notre hémisphère et plus généralement du côté de Téquateur, x. La déviation vers Test, si Ton remplace t parsa valeur en fonction
de la hauteur de chute A =^^^, devient
Sous cette forme, elle est directement comparable à Texpérience.
Reich a fait une série de mesures dans les mines de Freiberg, en laissant tomber un corps d'une hauteur A == i58",5; et il a trouvé comme résultat définitif j = o",o283. Si dans la formule on fait ^=9,8i et X=5i, on a en effet j=o"',o276.
On verrait de même aisément qu'un corps lancé de bas en haut suivant la verticale ne retombe pas exactement au point de départ, mais qu'il est dévié vers l'ouest et un peu vers le nord.
Dans le cas d'un projectile lancé sous un angle quelconque 6, on
a une déviation variable avec l'azimuth du plan de tir. Supposons,
par exemple, ce plan de tir coïncidant avec le méridien : si 6 < X,
la déviation a lieu vers l'est; si ô> X, le corps quitte d'abord
le plan méridien du côté de l'ouest, puis il y revient dans le
Sç' sin(e — X) , ^ ,., ^
temps t= , de sorte que pour qu il perce ce plan avant
g^cosX
de toucher le sol, on doit avoir tg 6< 3 tgX.
Remarquons enfin que, pour traiter complètement les questions
d'équilibre et de mouvement des corps pesants, il faudrait encore
tenir compte de ce que, rigoureusement parlant, la pesanteur,
à un instant déterminé, varie d'intensité et de direction quand on
passe d'un point à un point voisin, et de ce qu'en outre, les
actions du soleil et de la lune sur un point de la surface de la terre
n'étant pas tout à fait égales et parallèles aux actions de ces astres
sur le centre de notre globe, il en résulte, dans la grandeur et la
direction de la pesanteur en chaque point, des changements con-
(*) Voir dans Résal, Traité de mécanique générale^ T, 107, la soluliondu môme problème obtenue directement.
tinuels qui sont rendus manifestes par le phénomène des marées. Mais ces petites variations de la pesanteur troublent à peine les phénomènes fondamentaux. Pour n'en citer qu'une preuve, le fil à plomb fait avec la verticale du point de suspension un angle, lié à Taplatissement de la terre ; mais cet angle est si minime (à Paris, pour un pendule long de loo mètres, il serait à peine de o',oi7) qu'aucune mesure ne saurait l'évaluer. Nous n'insisterons donc pas sur ces perturbations, qu'il suffit d'avoir signalées (»).
(') Voir à ce sujet Puiseux, Annales de VÉcole normale supérieure (2), I, 23; <872.
