PESANTEUR. — LOI DE NEWTON DÉDUITE DES LOIS DE KEPLER
PD étant la perpendiculaire abaissée de F' sur la tangente M'B
F!g. iSg
AB
AB est la yariation de la vitesse pendant le temps dt^ et -^ est
raccélération dont il faut trouver la grandeur.
Les deux triangles lAB et F'CD sont semblables , comme
ayant un angle égal (l=F') compris entre côtés proportionnels A A IB k\, .
AB-^pCD.
Prolongeons les perpendiculaires F'G et F'D de longueurs CE, DG respectivement égales à elles-mêmes, les rayons vecteurs SM et SM' prolongés passent en E et G et Ton a SE — SG= aa, a étant le demi-grand axe de Tellipse,
ou, si Ton désigne par (» Tangle infiniment petit MSM', et si Ton remarque que dans le triangle infinitésimal GES le côté GE = 2atù,
AB-"-7Ta(i) .
Mais, diaprés la loi des aires, Taire infinitésimale MSM' ou -r^M
VioLLB, Cours de physique. — I. 18
k (r étant le rayon vecteur SM) est égale à — rff . On a donc
. „ k kdt
par suite Taccélération cherchée est
AB ^ ji
^~ dt ~ h^ V
k^a ou, si Ton pose-7j-=:jji,
et la force F sollicitant la planète de masse m est
elle est en raison inverse du carré de la distance de la planète au soleil.
De la troisième loi de Kepler il résulte que, à la même distance, la force agissant sur Tunité de masse des diverses planètes serait la même. En effet, Tellipse entière dont Taire est ^ab étant parcourue pendant la durée T d'une révolution, Taire parcourue dans Tunité de temps est
k ^%ab^ on a donc
Or, d'après la troisième loi, le rapport 7«^ est invariable; donc ^
est une constante identique pour toutes les planètes, en d'autres termes, le soleil attirerait également Tunité de masse d'une planète quelconque à la même distance.
En résumé, tout se passe comme si le soleil attirait chaque planète proportionnellement à sa masse et en raison inverse du carré de sa dislance au centre du soleil.
Hypothèse de Newton, — Ayant ainsi formulé sa loi sans aucune hypothèse, Newton a ensuite supposé que d'une manière générale deux points matériels m et m s'attiraient Tun Tautre proportionnellement au produit de leurs masses et en raison inverse du carré de leur distance : la force qui sollicite chacun de ces points suivant la droite qui les unit est donc
fmm
/"désignant une constante, Tattraction mutuelle de Tunité de masse surTunité de masse à Funité de distance. Cette hypothèse a rendu merveilleusement compte jusqu'à ce jour des mouvements des corps célestes, mais elle est demeurée stérile en ce qui concerne les phénomènes moléculaires.
102. Identité de la pesanteur et de Tattraction universelle. — Restant dans le domaine où la loi de l'attraction newtonienne est pleinement vérifiée, reportons notre attention sur les phénomènes de la pesanteur. Il est naturel de regarder la pesanteur à la surface de la terre comme la résultante des attractions de toutes les molécules du globe terrestre sur les molécules des corps placés à sa surface; en d'autres termes, il est naturel de voir dans la pesanteur un cas particulier de Tattraclion universelle. Examinons s'il en est bien réellement ainsi.
A cet effet, cherchons d'abord ï action dune couche sphérique infiniment mi7ice sur un point. Newton a résolu le premier cette question, mais par une voie détournée; nous suivrons la méthode indiquée plus tard par Maupertuis.
Soit m la masse du point. Calculons Tattraction qu'exerce la zone engendrée par Tare compris entre deux rayons infiniment voisins CM et CN. Soient R=:CM le rayon de la couche, rfR=MP son épaisseur infiniment petite; si nous supposons la zone partagée en éléments infiniment petits, chaque élément exerce une attrac-
tion dirigée suivant la droite qui le joint au point m et égale à
m étant la masse de Télément et u sa distance Mm au point m. Cotte force peut se décomposer en deux, Tune dirigée suivant Cm, Tautre perpendiculaire à cette ligne. La première seule esta considérer, et rattraclion de la zone entière sera la somme des composantes suivant Cm de toutes ces attractions élémentaires : ce sera donc
/mM'
cos4^.
M' étant la masse de la zone et ^ Tangle du rayon vecteur mM avec Cm. Or, d'après le théorème de Guldin, le volume de la zone est
Fi g. 160
égal à Taire du rectangle MNPQ multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité quand on le fait tourner autour de Taxe Cm, c'est-à-dire égal à
R^Ô.^^R. 2zRsinO,
6 désignant l'angle au centre MCm. L'attraction de la zone sur le point M est donc, p désignant la densité de la sphère,
/mp27;RVRsinerfO
*^ — ï cos ^ ;
et Taction exercée par la sphère entière est
A = /mp2icR*rfR 1 — 5 — cos(|/
On fera l'intégration très facilement en prenant u pour yariable. Posons Cm=r,
M*=: R> -h /•> — aRr cos 6 ; et différeations,
Aoù
. . ,^ udu sinôae==-T3 — nr
D*autre part,
Hm /•— RcosS r^— R^-f-M*
C0Sd;= = =
u u iru
Oaadoac
expression dont l'intégrale indéfinie est
Pour les limites, il faut distinguer deux cas :
!• Le point m est extérieur,
6 yariant de o à '«c, u varie de r— R à r-\- R, l'intégrale définie est
^,4R; par suite,
. /mp4icR^rfR
c'est-à-dire que l'attraction A exercée par la couche sur le point ex-
térieur m est la même que si la masse pii^R^c/R de la couche était concentrée au point C : Tattraction d'une couche sphérîque homogène infiniment mince sur un point extérieur est la même que si la masse de la couche était concentrée en son centre. On en conclut immédiatement que Tattraction d'une sphère homogène, ou formée de couches concentriques homogènes, sur un point extérieur, est la même que si toute la masse de la sphère était concentrée en son centre.
2" Le point m est ultérieur. Les limites sont alors R — r et R + r; rintégrale définie est nulle,
l'action d'une couche sphérique homogène infiniment mince sur un point intérieur est nulle.
Cette proposition peut s'ctliblir directement par un procédé très simple, dû à M. Ghaslcs et susceptible de s'appliquer à une couche homogène infiniment mince, comprise entre deux ellipsoïdes homothétiques. Soient une tellecoucheetun point m intérieur à la couche. Découpons l'espace par une infinité de cônes ou de pyramides dont le sommet commun soit h; point m, chaque cône ayant une ouverture infiniment petite; considérons les deux volumes infiniment petits découpés dans la couche par l'un de ces cônes : nous pouvons les regarder comme des prismes ayant pour hauteurs respectives les portions d'arêtes égales interceptées entre les deux surfaces homothéliques et pour bases les surfaces o) et u' découpées sur la surface extérieure; les deux volumes élémentaires sont donc //a> et //(!)', et les attractions qu'ils exercent en sens contraire sur le point m sont
fmohtù , fmohîù' ^ — : — et ^ — i .
lÙ (!>'
Mais —rr: — ; CCS attractions opposées se détruisent donc. On
comprend ainsi pourquoi la résultante toUile est nulle. «
L'attraction d'une couche sphéri([ue d'épaisseur finie, homogène ou formée de couches concentriques homogènes, sur un point intérieur est donc nulle.
Cela posé, il est facile de voir que la pesanteur n'est qu'un cas particulier de tattraction universelle. En effet,
I* D'après le théorème précédent, Tatlraclion de la terre, supposée sphérique, sur un point extérieur, est la même que si toute la masse de la terre était concentrée en son centre. On sait effectivement qu'en un point quelconque du globe la direction de la pesanteur est normale à la surface des eaux tranquilles et par conséquent dirigée vers le centre de la terre.
2'' L'accélération communiquée par l'attraction à des corps de masse différente est la même à une même distance du centre de la terre. On sait précisément qu'à la surface de la terre tous les corps tombent également vite sous Faction de la pesanteur.
3* A des distances différentes, l'attraction exercée par la terre sur une masse extérieure est en raison inverse du carré de la distance. Comparons, en effet, ainsi que Ta fait Newton, Faccélération du mouvement de la lune à Faccélération d'un corps qui tombe à la surface de la terre ; et, pour suivre Newton dans cette épreuve qu'il tenta dès qu'il fut en possession de la loi de l'attraction, considérons le mouvement de la lune autour de la terre comme circulaire et uniforme : supposons que la lune décrive autour de la terre un cercle de 6ox636oooo mètres de rayon avec une vitesse de 1020 mètres par seconde; Faccélération de ce mouvement
est Y=:- — — =30,00272. Si la loi de l'attraction universelle
* 6ox636oooo ' '
est vraie, si la même cause produit la chute d'une pomme à la surface de la terre et le mouvement de la lune à une distance de notre globe égale à 60 rayons terrestres, cette accélération y doit être 60^ ou 3 600 fois plus petite que l'accélération ^=9", 8 à la surface de la terre ; ce qui est en effet.
Le même calcul peut se faire aisément dans l'hypothèse plus exacte, bien qu'encore insuffisante (*), du mouvement elliptique. L'attraction de la terre sur la lune produit alors une accélération
(') Le calcul exact ne saurait trouver place ici.
a étant le demi-grand axe de Torbite de la lune autour de la terre,
T la durée d'une révolution et r le rayon vecteur. Mais cette accélé-
/a ration y doit être égale à g'-j, / étant le rayon terrestre; on doit
donc avoir
Si Ton effectue les calculs après avoir remplacé a, / et T par leurs valeurs, on trouve pour g un nombre qui ne diffère pas sensiblement de celui que donnent les mesures faites à la surface de la terre.
103. Variations de g & la surfoce du globe. — L'identité delà pesanteur et de Tattraction universelle étant établie, nous pouvons prévoir les variations de^à Textérieur et à Tintérieur du globe.
Variation avec l altitude, — Considérant d'abord les variations de ^ à Textcrieur du globe, cherchons la variation de g avec l'altitude en un lieu donné. Soient g l'accélération en un point du globe au niveau de la mer, g^ l'accélération au même point à l'altitude A, R étant le rayon de la terre regardée comme sphérique (^), on a, eo supposant le point isolé,
ou
mais à la surface du globe -g- est toujours très petit ('), on peut donc
négliger le terme en ^ et écrire
(*) Le raisonnement s'étend aisément au cas de la forme elliptique (voir Résal, Mécanique céleste, Attraction des sphéroïdes) .
P) Si l'on prend pour Rie rayon moyen 6870 a6o">, >= 0,00000017.
PESANTEUR. — VARIATIONS DE ff A U SURFACE DU GLOBE. 281
OU, au même degré d'approximation,
c est-à-dire
g^^^=g{l — o,oooooo3I4^«)• Si le point est sur un plateau étendu, en ayant égard à l'attraction additionnelle de ce plateau et en supposant la densité du terrain égale à la moitié de la densité de la terre entière, on a
ou
c'est-à-dire
Telle est la formule qui sert à ramener au niveau de la mer les observations de g^ faites sur un terrain étendu à une altitude connue h (*).
Variation avec la latitude. — Considérée en différents points du globe, la valeur de g doit varier avec la latitude pour deux causes :
I* La force centrifuge due au mouvement de rotation de la terre autour de son axe (52).
2"^ L'aplatissement de la terre aux pôles, d'où résultent deux effets inverses: une diminutiondel'attractionsur un point voisin deTéquateur par suite de sa plus grande distance au centre de la terre, un accroissement de l'attraction sur le même point par suite de la présence du bourrelet équatorial.
La cause la plus importante^ signalée pour la première fois par
0)VoirFATB, G. R.,XC, 14i3; 1880.
Hiiyghens, est la force centrifuge. A Téquateur, la force centrifuge est dirigée en sens contraire de Taltraction du globe terrestre : la
pesanteur g^ est la différence entre l'attraction G et la force centrifuge y*. Or
.. 4^R 2X 40 OOO 000
/ — Ta ""
donc
(86iti4)
A l'ëquateur, l'observation du peadule donne (>)
Mais
— 5 =—— à très peu près :
ainsi, à Téquatéur la force centrifuge est le -jr- de la pesanteur, ou très approximativement (*) le -tt- de Tattraction,
et comme 289=1:17*, on en conclut que si la terre tournait 17 fois
(*) Broch, Accélération due à la pesanteur sous différentes latitudes et à différentes altitudes dans Tra\mux et Mémoires du Bureau international des poids et mesureSy l,A. Paris, Gaulhier-Villars, 1881.
(*) Si - =-r-, ^= — , la différence est insensible. g 289 G 290
PESANTEUR. — VARIATIONS DE ff A LA SURFACE DU GLOBE.
plus Tite, la pesanteur sensible à Tcquateur serait nulle. Pour une vitesse plus grande, la force centrifuge l'emporterait sur Tattraclion : les corps situés à Téquateur seraient lancés hors de la terre. Mais dans les conditions actuelles la force centrifuge ne dimiaue la pesanteur à l'équateur, où la diminution est maximum, que delà
quantité très petite -i-. Pour les autres points du globe nous pourrons donc calculer son influence avec une approximation suffisante en supposant la terre sphérique. Dans cette hypothèse, Tunité de
masse M, située à la latitude géocentrique X, çst sollicitée par Tattraction MA=G dirigée suivant le rayon MO et par la force centrifuge MB dirigée suivant le rayon CM du cercle décrit par le point
M et égale à
/ -= ?p =fcos\.
La pesanteur sensible g^ est la résultante MD de ces deux forces.
C'est elle qui produit le poids; d'après cela, nous nommerons poids d'un corps la force capable de lui communiquer l'accélération sensible g^ et nous rappellerons que, le poids étant la résultante de l'attraction et de la force centrifuge, il n'y a pas autrement à se préoccuper de cette dernière dans toutes les questions d'équilibre. La verticale MO du lieu ne passe plus par le centre de la terre et, puisque la surface des eaux tranquilles est nécessairement normale en chaque point à la verticale MD, on conçoit que la forme sphérique qui conviendrait à l'équilibre d'une masse en repos ne convient pas à la terre animée d'un mouvement de rotation ;
on s'explique que noire globe ait pris la forme d*un ellipsoïde de révolution aplati comme une lentille. La latitude géographique du point M est Tangle X' que fait la verticale MD du lieu avec réquateur EE' : MB étant très petit, cet angle diffère à peine de la latitude géocentrique X.
Cherchons la valeur de MD^g^^. Dans le triangle MDA, on a
g.^ = ^G^ -+-/^ cos^ X - aGy cos^ X
— G( I — a^COS^X-hypCOS^X)»»
oup en négligeant le carré et les puissances supérieures de la quantité très petite '^ = -0-.
'^ Il 289
Mais
on a donc
W g,=g^(^i+^sin*x)
Quant à Tangle a que la verticale MD fait avec le rayon MO, on l'obtient aisément en écrivant que dans le triangle MAD
sina AD /"cosX.
sinX""MD~~ g
d'où Ton tire sina ou, comme l'angle est toujours très petit,
f a=-sinXcosX»
ou encore
«= — ô-"SmaX»
PESANTEUR. — VARIATIONS DE ff A LA SURFACE DU GLOBE. 285
OU enfin
a=r-7rsin aX: (4)
X est nul à Téquateur et au pôle, maximum à la latitude de 4^* : sa valeur est alors o"* 11^ 3o' ; la latitude géographique X' étant 4^'', la latitude géocentrique X = 44*48'3o''.
L'aplatissement de la terre, c'est-à-dire sa figure très voisine d'un ellipsoïde de révolution aplati. Tait encore décroître g de Téqualeur au pôle. Ce décroissement est la différence des deux effets de signe contraire que nous avons signalés plus haut, et il est remarquable que chacun d'eux s'exprime encore par un terme en sin*X, comme s'est déjà traduit l'effet de la force centrifuge ('). Ainsi, la variation de ^ avec la latitude est la somme de trois termes en sin'X; elle peut donc être représentée par un seul terme en sin^X, de sorte que l'on a finalement
S').=^o('^-^3sin^>^), (5)
—^ ou o,ooDi9 étant la somme algébrique des trois coefficients
de sin^X dans les trois %rmes en question. Le coefficient de sin^X différant très peu de o,oo5, on voit que le poids absolu de i kilogramme augmente à très peu près de 5 grammes de Téquateur au pôle. On peut encore écrire la formule
g'^=9",78o7-f-o,o5o8sin'X. (5 *"j
Les mêmes résultats peuvent s'exprimer au moyen de la longueur L=:^ du pendule qui bat la seconde. On a encore
La^Lo MH Asin^Xj,
0) L'influence du renflement équatorial, au point de vue de racrroissemeni qu'il apporte à la distance des corps au centre de la terre, se détermine facilement au moyen des propriétés bien connues de l'ellipse. L'accroissement d'attraction produit par le même renflement est un peu plus difficile à calculer.
(6 "•) La=o",99i oo-ho,oo5 14 sin^X :
la longueur du pendule a secondes varie d'environ 5 millimètres du pôle à réquateur (13).
En rapportant les choses au parallèle de 45", on a, par des transformations évidentes,
(7) ^•^^^«("'"âgë^^*^^)'
ou
(7 *'•) g:^ = 9",8o6i (i —0,00259 cosaX),
et de même
(8) La — o*, 99357(1 —0,002 59 COS2X).
C'est à Clairaut que Ton doit le calcul exact de Teffet de Taplatissement. Rappelons que cet aplatissement \l s'évalue par Texcentricité
de Tellipse méridienne. D'après Fensemble des mesures géo-
désiques^ \l est très voisin de ^ — • En calculant l'attraction d'un
sphéroïde formé de couches concentriques homogènes, d'excentricités et de densités quelconques, sur un point extérieur, et en exprimant que la surface du sphéroïde supposé originellement fluide est en équilibre, Clairaut trouve
(f étant le rapport ^ de la force centrifuge à la pesanteur sous
l'équateur.
Cette équation permet de calculer -^ — — si l'on connaît i*.
So
Inversement, elle donne le moyen de trouver l'aplatissement de la terre si Ton a déterminé g à diverses latitudes. On voit ainsi comment la mesure de la longueur du pendule qui bat la seconde peut remplacer les opérations géodésiques les plus compliquées pour évaluer l'aplatissement, et l'on comprend tout l'intérêt qu'il y
PESANTEUR. — VARIATION DE ff A L'INTÉRIEUR DE LA TERRE. 287
aurait à mesurer exactement celte petite longueur d'environ 5 millimètres qui marque la différence des pendules battant la seconde au pôle et à Téquateur.
En résumé^ si Ton réunit les deux corrections, on a pour la valeur, de g' au point (X,/i) isolé à la surface de la terre, en unités C.G.S.,
^^^^=980,61 (1 — 0,00259 COS2X) (i ~o,oooooooo3 14/*)' ou
^^^=980,61 — 2^539C0S 2X— 0,000 oo3/i; (10)
et la longueur du pendule qui bat la seconde au même lieu est /^^=99,357 — 0,257 3 C0S2X— 0,000 000 3/1. (n)
104. Variation de g & l'intérieur de la terre. — Si Ton suppose la terre homogène, la variation de g^ à Tintérieur du globe s'évalue très aisément. Regardant toujours la terre comme sphérique, nous savons que, si par le point intérieur M nous décrivons une sphère concentrique à la surface, Taclion de la couche sphé-
Fig. i63
rique MA sur le point intérieur M est nulle. L'action de la terre se réduit à l'action du noyau Oi\I, lequel agit comme si sa masse était concentrée au point 0. Si donc nous posons OM :=r et si nous représentons la densité de la terre par D, la pesanteur^', c'est-àdire Tattraction sur Tunité de masse en M, sera
L'attraction serait proportionnelle à la distance au centre. Un mobile abandonné à Forifice d'un puits traversant la terre d'outre en
outre, exécuterait de part et d^autre du centre de la terre des oscillations isochrones, conformément à la loi du pendule dans le cas des petites oscillations.
Mais la terre est loin d'être homogène : la densité des couches profondes est de beaucoup supérieure à celle des matériaux de la surface (105). En admettant toujours, ce qui doit être sensiblement vrai, que la terre est formée de couches concentriques homogènes, mais en considérant la densité de ces couches comme diminuant du centre à la surface suivant un terme proportionnel au carré delà distance au centre, M. Roche trouve
i-rA-
la pesanteur augmente jusqu'au 7« du rayon où elle est environ -^g;
à partir de là elle décroit, et redevient égale à g vers le r. du rayon.
Les mines les plus profondes ne descendent guère au delà d'un kilomètre. L'observation ne saurait donc donner des vérifications de cette formule. On a cependant pu reconnaître une augmentation de g avec la profondeur : aux mines de houille de Horion, en Cornouaillcs, Airy (*) a observé un accroissement de g
de pour une profondeur de 383 mètres, nombre presque
identique à celui qui ressortirait de la formule de M. Roche.
105. Mesure de la densité de la terre. — Par les oscillalions (Tim pendule placé successivement à la surface et au fond d'un puits de mine, — L'observation d'Airy avait pour but l'importante détermination de la densité movenne D de la terre. Si en effet on remarque qu'au fond de la mine le pendule est seulement soumis à Faction du noyau intérieur de rayon r et de densité D, tandis qu'à la surface il subit à la fois l'action du noyau et l'attraction de la couche sphérique d'épaisseur h et de densité d comprise entre le fond de lamine et la surface, on voit immédiatement que si l'on connaît cette densité d (et elle sera toujours mesurable assez approxima-
0) Airy, PhU. Trans,; i866.
livemenl), du rapport des valeurs de la pesanteur, g à la surface et ^'au fond, on pourra déduire D'. L'attraction exercée sur Tunité de
masse à la surface par le noyau et par la couche extérieure étant
la même que si la masse du noyau -^ tu/'^D et celle de la couche
^::j(r-h/i)' — /•* j rf étaient transportées au centre, à la distance
r+A de la surface,
|«!r'D + [(r+A)»-7-»]rf{
{r + hf
j + (/'-+- A)rf
ou, si Ton néglige le carré et les puissances supérieures de - et si Ton prend par conséquent ' ^ ^ '
8=f\- [('• - ^'') (D -d) + {'-+ h)d] =./|^[(r-a/i)D-f-3Arfj.
Au fond de ta mine
On a donc
:/^i:rD.
d'où
En étudiant les terrains au voisinage de la mine, terrains dont l'influence est évidemment prédominante dans l'action exercée sur
VioLLE, Court de phytique. — I. 19
le pendule extérieur par la couche A, Airy trouva que leur poids
spécifique moyen (') était rf=2,5. Pour avoir —, on faisait osciller
un même pendule à la surface du sol d'abord, puis au fond de la mine, et on comptait par la méthode de Borda le nombre des oscillations effectuées dans un temps donné. 11 est clair toutefois que Ton ne pouvait descendre dans la mine Thorloge qui aurait été affectée exactement de la même avance que le pendule; on tournait aisément la difficulté en laissant Thorloge à la surface et en lui faisant commander électriquement une deuxième horloge placée au fond de la mine. On reconnut ainsi qu'à la station
inférieure le pendule avançait en 24 heures de 2 -r secondes sur le
pendule à la surface.
On a donc
g \864o2,25 et par suite, très approximativement,
On avait d'ailleurs t= 16000.
Si Ton porte ces diverses valeurs dans la formule, il vient
Par la déviation du fil à plomb sous f influence d'une montagne. Une deuxième manière d'obtenir D repose encore sur la comparaison de l'attraction exercée par une portion déterminée de la terre avec l'attraction produite par le reste du globe. Dans le voisinage d'une montagne, le fil à plomb est dévié sous l'influence de l'attraction de la montagne : le fait fut signalé pour la première fois
(*) La formule donnant le rapport ^, on peut considérer B et d cotmne représentant des poids spécifiques.
par Bniiguer et La Condamine. Maskelyne (') fît des mesures précises et en déduisit une valeur approcliéc de la densité de U terre. Il choisit le mont Sheallien en Ecosse, montagne isolée, courant de l'est à l'ouest, dont la forme est simple et la constitution géologique bien définie : on en connaît donc le poids et le centre de gravité. Dans un plan méridien passant par ce centre de gravité, Maskeljne prit deux stations, A et B, que nous supposerons, pour simplifier, à la hauteur même et à distances égales du centre de gravité. Si la montagne n'existait pas, en rele- \a[il à chacune de ces stations la hauteur du pôle au-dessus de l'ho-
Flp. ilii
rizon, oD constaterait entre les deux hauteurs PBH'et PAH une différence égale à ladilTérence des latitudes géographiques X' — X des deux stations. Mais par attraction la montagne incline vers elle les verticales AZ, fiZ' et les amène en AZ,, BZj; la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon en A est donc réduite à PAH,, en B elle est augmentée et devient PBH;, la différence de ces deux hauteurs est dis lors
PBH;-PAH, >.-X + e.
L'observation donne directement FBH', et PAH , ; X' et X sont connus ;e est donc par là même déterminé (Masketyne trouva £=i i',66).
Soient maintenant, en A, A; la position qu'aurait le fil à plomb si la montagne n'existait pas, AC, la position qu'il occupe en réalité :
(>) Maskelyne, Phil. T)-at
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE Lk MATIÈRE.
celte ligne AÇ^ est la direction de la résultante des forces qui agis-
Fig. i65
sent sur Tunité de masse placée en A, ratlraction F de la terre et Tattraclion F' de la montagne. Par conséquent, on a
M étant la masse de la terre de ra\on R et m la masse de la montagne agissant à la distance AG = r. Remplaçons M par :3rR^D, et m par la masse \d de la montagne; il vient
Wd
d'où Ton déduira -7 et par suite D. V et rf étant forcément un peu incertains, on ne saurait obtenir ainsi qu'une \alcur approchée de D. Maskelyne trouva D = 5 environ.
Par la mesure directe de F attraction produite par une masse donnée,
ExpérioDce de Cavendish.
Une expérience célèbre imaginée par Michell et exécutée par Cavendish (^) conduit à l'évaluation de la densité de la terre par une
(«; Cavendish, PAi/. Trans., LXXXXIIl, 388; n98.
troisième méthode, la mesure de ratlraclion qu'exercent Tua sur Tautre deux corps situés à la surface du globe.
Soit une boule métallique de masse m ayant son centre c à la distance a du centre c d'une deuxième boule homogène m. L'action
Fig. i6(>
de la boule m sur chacun des points de la boule m' et par conséquent sur cette boule entière est la même que si la masse totale de la boule m était concentrée en son centre c. Mais cette action de m sur m! est égale et contraire à l'action de m' sur m, laquelle est aussi la même que si toute la masse de m! était concentrée en son centre c'. L'action réciproque des deux boules est donc la même que si leurs masses m et m! étaient respectivement concentrées en c et c\ c'est-à-dire égale à
D'autre part, l'action de la terre sur la boule m est
, /Mm'
M étant la masse de la terre et R son rayon. On a donc
F /mR-
m g ~ Ma- '
équation qui permettra de calculer la masse M et par suite la densité D, si l'on réussit à mesurer F.
Pour mesurer cette force extrêmement petite ('), on lui faitéqui-
{') L'équation (i) peut s'écrire (voir plus bas équations (4) et (G))
le deQxiëme membre est toujours très petit ; il valait 0,000 ooooa environ dans
'Z9i PHOHRIËTËS GÉNÉRALES DÉ LA MATIÈRE.
libre par la torsion d'un fil métallique très long et très lin. On sail en effet, par les belles recherches de Coulomb {*}, que la torsion d'un tel RI développe un couple très faible, dont le moment est proportionnel à l'angle de torsion, de sorte que, si l'on a mesure préalablement le moment du couple de torsion pour un angle de torsion égal à Tunilé, le moment du couple correspondant à une
torsion quelconque est immédiatement connu. Dans l'appareil de Cavendish , le fil métallique était un fil d'argent très un, fixé en haut à un petit treuil que l'on pouvait manœuvrer de l'extérieur, et portant à sa partie inférieure un levier horizontal trèî long et très léger, en sapin, aux deux extrémités duquel étaient ailes expériences de Cavendisli, F était donc seulemenL celle fracliou du poids mg.
(') Coulomb, Jf^oircs de l'Acudémk des sciences; I7B4. Voir plus loin au chapitre de l'ËIasiicité dos corps solides.
tachées deux petites boules métalliques m' et m' pesant 780 grammes chacune. En regard de ces boules on pouvait amener deux grosses sphères de plomb m et m pesant respectivement i58 kilogrammes et portées par des tirants reliés à une poutre que Ton faisait tourner de Fextérieur à Taide d'un système de cordes et de poulies. On évitait en effet de pénétrer dans la chambre contenant Tappareil ; et la balance même (fil vertical, levier et boules) était enfermée dans une cage en acajou présentant deux fenêtres en face des boules pour permettre d'en lire les déplacements sous l'action des grosses sphères. A cet effet, une petite règle en ivoire marquée de divisions équidistantes^ était fixée à chaque extrémité du levier, et on l'observait à distance au moven d'une lunette logée dans le mur de la pièce. Toutes ces précautions sont indispensables, le moindre courant d'air troublant complètement les mesures.
Avant tout il fallait déterminer le moment T du couple de torsion du fil pour un angle égal à l'unité. Pour cela, on plaçait le système des sphères m à angle droit avec le levier de la balance : dans cette position , chacune des grosses sphères agissant également sur Tune et l'autre des petites boules ne produit aucun déplacement. On écarte alors le levier de sa position d'équilibre : il oscille sous l'action de la force de torsion en exécutant des oscillalions isochrones dont on note la durée t. Mais on a (88)
Q représentant le^moment d'inertie du pendule horizontal. Or, le levier en sapin étant très léger, son moment d'inertie est négligeable; d'autre part les boules sont petites et peuvent être considérées, sans erreur sensible, comme des points matériels de masse m' situés à une distance / de l'axe, 2 / désignant la longueur du levier ; on a donc simplement Q = 2m'l^ et par suite
d^où
expression qui ne renferme plus que des quantités connues.
T étant ainsi déterminé, on amène les grosses sphères à une faible distance A des petites boules de manière que les centres des quatre sphères soient exactement dans un même plan. Les petites boules sont attirées et se déplacent en tordant le fil : un nouvel équilibre tend à s'établir. Le levier oscille lentement de part et d'autre de sa position d'équilibre et on ne saurait attendre qu'il s'arrête (dans l'appareil de Cavendish, les mires n'étaient jamais immobiles) : on lit donc l'écart
Fig. 168
extrême N à gauche, puis l'écart extrême P à droite, puis de nou-
