ERREUR MOYENNE. POIDS
e,-he',-heÎH — • représentant, à un facteur constant près, la dérivée de la somme considérée. Ainsi, la valeur la plus probable rend minimum la somme des carrés de ses différences avec les mesures obtenues directement. Nous verrons plus loin que cette règle est générale.
Erreur moyetine du résultat, — Quelle est l'erreur à craindre sur la moveane A elle-même ?
7n 7n Tfi
E L'erreur moyenne des divers termes de celte somme est — . L'erreur
moyenne de la somme, racine carrée de la somme des carrés de ces erreurs individuelles (12), sera donc
-=-v/g-©'-(l)'— vMf-
ou
ym
Celte erreur est en raison inverse de ^m; en d'autres termes, la précision des mesures croît non pas comme le nombre, mais seulement comme la racine carrée du nombre des observations.
Poids. — Gauss appelle poids « une quantité réciproque au carré de l'erreur moyenne ».
Considérons le cas où chaque mesure est la moyenne d'un certain nombre d'observations directes, également valables: m observations ont fourni une mesure A, n observations une mesure B; la valeur
la plus probable est la moyenne de toutes ces observations
Or m et n sont évidemment ici les poids respectifs des deux mesures A et B, les poids de diverses mesures étant nécessairement proportionnels aux nombres d'observations de même valeur qui les ont fournies. Mais les erreurs moyennes de ces mesures sont inversement proportionnelles aux racines carrées des nombres d'observations. On est ainsi amené à la définition de Gauss.
Le poids P de la moyenne est la somme des poids p^ p\ //, • • • des diverses mesures
théorème analogue au principe de statique en vertu duquel la résultante des actions de la. pesanteur sur divers corps est égale à la somme de ces actions.
6. Loi des erreurs fortuites (^). — Avant de passer au cas plus compliqué mais plus général où les mesures donnent non plus directement la quantité à mesurer, mais une fonction de la quantité ou des quantités à déterminer, il est nécessaire d'établir une propriété importante des erreurs fortuites.
S'il est vrai que chacune de ces erreurs, considérée isolément, se présente absolument au hasard, il n'est pas moins incontestable que, sur toute série un peu longue, une loi se dessine nettement, commandant les grandeurs des erreurs, abstraction faite de Tordre dans lequel elles se sont succédé.
Reprenons par exemple le cas d'un tireur exercé envoyant des balles dans une cible. Après un nombre un peu considérable de coups, relevons les positions de toutes ces balles relativement à la verticale du point de mire : nous trouverons une série d'écarts tels que ceux-ci qui ont été réellement observés sur une cible visée avec un pistolet de cavalerie à 50 mètres de distance (^).
(^) Voir Fayb, Cours c('a5(ronomienati<»9ue; Paris, Gauthier- Villars, 1880, p.i65. (') DiDioN, Calcul des probabilités appliqué au tir dus projectiles; Paris, Dumaine, 1858, p. 87.
Sur ces 100 écarts^ il y a 46 erreurs positives, 48 négatives et 6 nulles. La moyenne arithmétique est
A=-ho-,77,
bien Toisine, on le voit, de la réalité ; Terreur moyenne des différents coups
Rangeons ces écarts par ordre de grandeur, abstraction faite des signes; nous trouvons
entre o'" et S*" 24 écarts positifs ou négatifs
De
Traduisons ces résultats graphiquement. Traçons deux axes coordonnés et sur Taxe des éprenons des abscisses respectivement égales
aux écarts 5, 10, 13 La probabilité d'un écart déterminé x ou
plutôt la probabilité que l'écart tombe entre xelx-^-cljc est néces-
FIg. I
sairement infiniment petite. La probabilité que l'écart tombe entre certaines limites n'est finie que si les limites diiTèrent elles-mêmes d'une quantité finie. Nous ne prendrons donc pas pour ordonnée la probabilité d'un écart déterminé : mais, sur chaque fragment fini de l'axe des a:, 0 — 5, 5 — 10, 10 — 15, ... comme base, nous construirons un rectangle dont l'aire soit égale au nombre des écarts positifs
observés entre 0 et 5, entre 5 et 10, entre 10 et 15, etc. Le rapport de chacune de ces aires rectangulaires à Taire totale ainsi obtenue représentera la probabilité d'un écart compris entre les valeurs relatives aux deux extrémités de la base. Traçant ensuite un trait continu qui laisse en dehors de petites aires triangulaires équivalentes à celles qui se trouvent en dedans, nous aurons la courbe des erreurs de l'expérience considérée, c'est-à-dire une courbe telle que la probabilité P d'une erreur comprise entre les limites x et x -h Ax est représentée par le rapport de l'aire de la portion comprise entre les ordonnées correspondantes à l'aire totale de la courbe.
Nous avons tracé ici seulement la branche de droite, mais il y a aussi une branche de gauche symétrique, et dans son ensemble la courbe est représentée très fidèlement par l'équation
Si en effet nous déterminons, à l'aide de cette équation, la probabilité
/ yd
d'une erreur comprise entre les limites x et x -h A j: et que nous effectuions le calcul numérique (comme nous l'indiquerons plus loin) pour les divers intervalles 0 — 5,5 — 10, 10 — 15,... nous trouvons les résultats suivants à côté desquels on a remis les nombres réellement observés.
Nombre des coups.
Entre
D'après la formule.
D'après i'obserration
o'™ et 5'»
» lO
lO
Au-dessus de 56
Ainsi, quoique le nombre des coups tirés n^ait pas été très considérable, Faccord entre la formule et Tobservation est déjà assez intime pour ne laisser aucun doute sur Texactitude de la loi des écarts.
Considérons maintenant un autre genre de faits qui nous intéressent de beaucoup plus près, une série de mesures répétées par un observateur habile ; et, pour avoir encore des données à Tabri de toute critique, nous choisirons une série de 470 observations faites par Bradley, « le modèle des observateurs », suivant Texpression de Laplace, en vue de déterminer la différence d'ascension droite entre le Soleil et Ataïr ou Procyon. Bessel, qui a réduit avec beaucoup de soin ces observations, en a pris la moyenne et, en retranchant cette moyenne de chacune des observations, il a déterminé les
écarts ci, ej, e' à l'aide desquels il a pu calculer l'erreur
moyenne E qu'il a trouvée égale à =t o',39i . L'erreur à craindre sur la moyenne E est par suite ±:o',oiy; cette moyenne est donc très
près de la vérité, et on peut considérer les écarts e,, ej, e,*
comme représentant les erreurs £, £', £* commises réellement
dans chaque mesure. Or, si l'on dresse le tableau de ces erreurs ' par ordre de grandeur, on trouve que les 470 erreurs se répartissent ainsi :
entre o*,o et 0% i 94 erreurs positives ou négatives
Au-dessus de 1,0 8 » »
Si d'après ces données on trace la courbe des erreurs, on re-
connait qu'elle est représentée de très près par une équation toute
semblable à celle qui nous a servi à exprimer la courbe des erreurs de tir,
êU
aj a* as é^ ut as as
yT
Si Ton calcule, en effel, le nombre des erreurs correspondant à chaque intervalle d'après celte équation, on trouve
Nombre des erreurs.
Entre
D'après la formule.
D'après l'obserTation.
o*,o et
QO
La loi est donc la même ; el Ton retrouvera le même résultat dans toute observation où n'interviennent que des causes purement accidentelles.
La statistique en offre de nombreux exemples. C'est ainsi que la taille humaine présente, de part et d'autre de la moyenne, des écarts suivant la loi des erreurs fortuites, ainsi qu'on l'a bien reconnu en Amérique, lors de la guerre de Sécession, en dressant le tableau des nombres d'hommes atteignant chaque taille. Voici ce tableau, dû à M. Gould :
Nombre des hommes sur loooo.
Atteignant U taille. D'après la formule. D'après TobserTation.
gjFM«t
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io5i
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\a. nature semble donc chercher à réaliser aux Etats-Unis la laVile de 67^*, 24» mais elle en est plus ou moins éloignée dans c\\aque cas particulier par un ensemble de causes purement accidentelles.
Dans tout système de mesures ou d'observations où n'intervient aucune erreur systématique, la loi des erreurs fortuites est la même et représentée par
y=ae ,
a et h étant des paramètres à déterminer dans chaque cas particulier.
Les exemples que nous avons cités établissent empiriquement cette loi d'une manière incontestable. La théorie confirme cette conclusion. On reconnaît facilement, en effet, que la répartition des erreurs d'observation est liée à la règle du binôme de Newton, leurs possibilités relatives étant représentées par les coefficients de son développement : la loi des erreurs en résulte immédiatement (*). Laplace l'a déterminée le premier (*).
(V Voir LiAGRE, Calcul des probabilités et théorie des erreurs; Bruxelles, 1852, p. 60.
(*) Laplace, Théorie analytique des probabilités ; Paris, 1812.
Ainsi, la théorie et Tobservation s^accordent à prouver que la courbe des erreurs est
ou, en d'autres termes, que la probabilité P qu'une erreur soit comprise entre o et / est
ae dx
Or
I ae dx
e uX — ■ , ' <
On a donc
= 4 fa
P=^ /e'^^'^Vo:.
7. Modale de précision. — Le coefficient h a une signification qu'il importe de connaître.
Considérons une deuxième série d'observations ; la probablité P' qu'une erreur x' tombe entre o et /' sera exprimée par
\It.Jo
Les deux probabilités P et P' peuvent s'écrire
P=r— = I e hdx,
\JtzJo
P'=-4 i e h'dx'
ou, en posant hx=z, h'x'=z' et prenant pour variable z ou z\
Pz=JL f'e-"dz,
p '=-4 / e-'"dz\
