ÉLASTICITÉ. — DÉFORMATION DES ARÊTES
D'où Ton tire
IP=Xe-ha{i.s,
en posant, avec Lamé,
(II) 6^6 + e'H-e''
et
i — cj— 2(r ^ '
2U = 7; OU (b)
6 est le coefficient de dilatation cubique : car, par suite de la petitesse des déformations élastiques, la variation de l'unité de volume est la somme des variations de longueur des trois arêtes, Téquation
se réduisant à
Les coefficients X et (i. sont les deux constantes de constitution au moyen desquelles on pourra, comme nous le verrons, exprimer tous les coefficients relatifs à Télasticité. Ainsi, d'après les équations mêmes qui définissent X et \l, on a déjà
Les équations (10) sont d'une importance capitale; elles montrent que la traction ou la pression exercée normalement sur une des faces du parallélipipède, et par suite la réaction élastique normale du parallélipipède lui-même est une fonction linéaire des variations de longueur e, e^ e', contenant deux paramètres seu-
lement : toute traction (ou pression) normale est la somme d'un terme proportionnel à la dilatation cubique et d'un terme proportionnel à la dilatation linéaire parallèle à la direction considérée.
Dans les liquides, la pression est nécessairement la même sur chaque face du parallélipipède et simplement proportionnelle à la contraction cubique ; le terme proportionnel h la yariation linéaire est donc nul : {i.=o. On peut ainsi comprendre les liquides dans la même théorie que les solides, en admettant que dans les liquides
Si l'expression [i.=o caractérise les liquides, on conçoit qu'à des valeurs croissantes de \l correspondent des corps (123) s'éloignant graduellement des liquides pour se rapprocher de plus en plus des solides parfaits. Il ne saurait donc exister entre X et pi. aucune relation générale indépendante du corps considéré : en particulier, la quantité a ne doit pas être la même dans tous les corps que l'on appelle vulgairement solides (*).
Mais, d'après M. de Saint- Venant (^), dans tout vrai solide isotrope
X=[i., ou 7=7. On arrive nécessairement à cette conclusion « si on
regarde les pressions comme des résultantes d'actions moléculaires,
fonctions continues des distances entre molécules fort proches, et si on les suppose nulles antérieurement aux déformations. » Les solides isotropes n'auraient pas alors deux paramètres différents, mais un seul, comme l'avaient admis Navier et Poisson.
Les équations (10) s'écriront facilement en notation infinitésimale. Le parallélipipède étant par hypothèse de dimensions infiniment petites, si les coordonnées du point A (x, ^7, z) s'accroissent respectivement de $,t;,Ç, les coordonnées du point H {x-hdx, j+djy z-hdz) s'accroîtront de Ç-hrfÇ, Tj-hrfT;, Ç-hrfÇ: l'allongement suivant AB
(*) Pour que ^ soit positif, a qui lui-même est nécessairement positif doit être < - ; on peut donc seulement affirmer que o doit être compris entre o et >-, la valeur - correspondant, d'après l'équation (i3),à (i=o.
(*) Db Saint-Vbnant, C.R., LUI, H07; 1861.
