A. — TRACTION
162. Allongement d'une verge étirée. — Lois. — Les lois de rallongement d'une verge solide de longueur L et de section S tirée dans le sens de sa longueur par un poids II sont comprises, avons-nous dit (142), dans la formule
(9) '-;êS-
Expériences de S'Gravesande (^). — Les premières expériences exactes sont celles de S'Gravesande. La substance à étudier était convertie en un fil de longueur 2L, qui était fixé invariablement à ses deux extrémités ; au milieu on posait une poulie dont la chappe portait à sa partie inférieure un plateau destiné à recevoir des poids, et s'accrochait en haut a un cordon passant sur une deuxième poulie munie d'une aiguille mobile sur un cadran divisé. Un contrepoids attaché à l'extrémité du cordon faisait équilibre à la poulie et uu plateau; le fil était donc très sensiblement horizontal, quand le plateau était vide : Taiguille se trouvait alors devant une certaine division du cadran. On mettait dans le plateau un poids produi-
(<) S'Gravrsande, loc. cit.f I.
sant un léger abaissement de la poulie : Taiguille se déplaçait et, par suite de déterminations préalables dans le détail desquelles il est inutile d'entrer, elle faisait connaître la flèche / dont le milieu
Fig. aïo
du fil était abaissé. La longueur d'une moitié du fil est devenue BC=v^L*+/'; cette longueur était primitivement Bc=L; rallongement est donc
Le poids P placé dans le plateau est soutenu par les tensions, dirigées suivant CA et CB, des deux moitiés du fil : chacune de ces tensions équilibre la composante /> de P dirigée suivant le prolongement de Tune des moitiés du fil : cette composante p est donc réellement le poids tenseur. Le parallélogramme des forces est ici un losange et Ton a
cos(;;,P) coscCB 2*y/La^ya
(*) Lorsque le poids P est faible, il faut tenir compte du poids du fil : pour
car cela, on supposera le poids ~ de chaque moitié décomposé en deux forces,
Tune -T appliquée à l'extrémité fixe et détruite par la résistance du point d'ap-
pui, l'autre -- appliquée en G; les deux forces •- appliquées en G donnent une ré-
sultante^ qui s'ajoute à P. Pour tenir compte du poids cr du fil, il suffit donc
d'augmenter de 7* le poids P placé dans le plateau : le poids tenseur exact est
amsi
Ayant rallongement et le poids tenseur on peut, en yariant les conditions de Texpérience, vérifier toutes les lois.
/étant toujours très petit par rapport à L, on abrégera un peu le calcul des expressions données plus haut en prenant
et
/ ou l(.4-^)»-L=1^
d'où
Ces expériences de S'Gravesande ne sont pas à Tabri de toute critique. Elles portent moins, en effet, sur l'élasticité de traction que sur rélasticité de flexion, les différentes lignes de molécules parallèles à Taxe du fil s'allongeant inégalement. Par suite de la rigidité de la substance les angles A, B et C s'arrondissent, de sorte que le fil ne prend pas exactement la forme d'un triangle ABC comme on Ta supposé. Enfin les frottements du système commandant Taiguille indicatrice ajoutent une nouvelle complication. S'Gravesande trouva cependant les lois cherchées : le coefficient numérique E seul était inexact.
On évite toutes ces difficultés en mesurant directement au cathétomètre les allongements d'une barre verticale maintenue invariablement par son extrémité supérieure et sollicitée à sa partie inférieure par des poids agissant suivant la direction même de la barre, conformément à la définition.
C'est ce que firent successivement F. Savart, Masson, Wertheim.
Expériences de Savart (*) et de Masson (^). — Savart employait des tiges cylindriques sur lesquelles il marquait avec la machine à diviser plusieurs traits équidistants. La tige était saisie à sa partie supé-
M) Savart, Ann. de chim. et de pAys., (2), LXV, 337, <837. (*) Masson, Ann. de chim» et de p/<ys., (3), III, 431, 184(.
410 PRhNCIPALES PROPRIÉTÉS DES SOLIDES.
rieure dans un étau et tirée à sa partie inférieure par des poids : lorsqu'un allongement définitif était produit, on relevait au cathétomètre les nouvelles distances des traits. On constata ainsi les différentes lois indiquées par S'Gravesande, et Ton obtint pour les coefficients d'élasticité des valeurs exactes. La mesure sur une même tige des allongements respectifs de diverses portions égales donnait le moyen de vérifier la proportionnalité de rallongement à la longueur; la vérification ne fut pas satisfaisante : les allongements de portions égales ne furent pas rigoureusement égaux. Masson retrouva le même fait qui prouve simplement Tiinpossibilité d'obtenir à la filière des barres ou des fils parfaitement homogènes.
Observation de Weber ^*). — 11 est à remarquer, en outre, que pour beaucoup de corps, peut-être pour tous, il faut des heures avant que sous l'action d'une traction, et en général d'un efiFort déterminé, la déformation du corp^, bien que comprise largement dans la limite d'élasticité, se manifeste complètement; il en est de même du retour complet à la forme première lorsqu'on supprime la cause extérieure. W. Weber, à qui l'on doit la première observation de ce retard dans l'effet élastique, vit un fil de soie s'allonger plus de 36 heures sous l'action d'un poids bien inférieur à celui qui aurait produit une déformation permanente. Le même fil, débarrassé de son poids, se raccourcit graduellement pendant 20,5 heures avant de reprendre sa longueur primitive. Le retard est surtout appréciable dans les substances organiques, mais il se fait sentir également avec le verre et avec les métaux ; d'où la nécessité, dans les mesures, d'attendre que la déformation soit devenue invariable. Pour certains corps toutefois, on n'atteint jamais l'état slationnaire, le corps file toujours : il n'y a plus alors aucune certitude dans les mesures.
Expériences de Wertheim (^). — Tenant compte de toutes ces difficultés et apportant le plus grand soin à opérer sur des substances chimiquement pures, Wertheim détermina les coefficients d'élasticité d'un grand nombre de corps avec toute la précision que comporte ce genre de recherches, et il étudia la variation de ce coefficient relativement à la température et à diverses autres circonstances.
(») W. Weber, Pogg. Ann., XXXIV, 247; «835; et LIV, 1 ; 1841. (*) Wkktheui, Ann. de chim. et dephys.y (3), XII, 385, 1844.
ÉLASTICITÉ. — ALLONCEIÉENT D'UNE VERGE ETIRËE. 411
L'appareil de Werlheim se compose encore d'un étau main' tenant la barre à sa partie supérieure, d'un crochet se fixant o la partie inférieure pour porter les poids et d'un cathétomètre placé à distance pour relever la longueur de la barre aux diverses phases de l'expérience. L'étau supérieur était formé de deux, mâchoires demi-cylindriques saisissant la barre sur tout son pourtour, de manière à éviter l'écrasement que produit un étau ordinaire agissant seulement en deux points opposés; cet étau E était fixé à une forte potence en fer implantée dans la muraille et s'appuyant sur la partie supérieure d'une poutre verticale adossée elle-même au mur. A l'extrémité inférieure de la barre, un étau tout semblable F soutenait le crochet destiné à recevoir les poids P : on. plaçait ceux-ci dans une caisse G G en bois munie d'une languette glissant à l'intérieur d'une rainure verticale pratiquée dans la poutre, de manière à empêcher tout ballottement et à éviler les vibrations qui modifient très sensiblement l'élasticité du corps. De plus la caisse était portée par des vis calantes que l'on montait lentement lorsqu'on voulait produire la traction : on obtenait ainsi sans secousse une traction exactement parallèle ii l'axe de la barre.
Des repères m, n ont été marqués à l'avance sur la barre : on les relève avant toute traction ; on fait agir une charge déterminée, on relève de nouveau les repères; on attend un certain temps, on procède à une nouvelle visée. Si elle donne le même résultat que la première, l'allongement est mesuré. Si les repères ont continué fi s'écarter, on attend encore un moment, on fait une nouvelle visée ; et on continue ainsi jusqu'à ce que dans deux visées consécutives on obtienne un résultat identique.
La section de la barre a été déterminée à l'avance soit au sphéromètre, soit par une pesée, la densité ayant préalablement été mesurée sur la barre elle-même. On possède donc tous les éléments nécessaires pour fixer )e coefficient d'élasticité,
Quand on voulait opérer à des températures plus hautes ou plus
basses que la température de l'air ambiant, on entourait la barre d'un manchon ouvert sur sa face antérieure et constitué sur les trois autres faces par trois enveloppes concentriques, les deux intérieures en cuivre renfermant entre elles du sable, Textérieure en tôle formant contre le bain de sable une cheminée à la partie inférieure de laquelle était une grille destinée à recevoir le combustible. Des thermomètres placés le long de la barre permettaient d'en suivre réchauffement. Quand on était arrivé au point voulu, on fermait la porte donnant accès à l'air sous le foyer; un refroidissement survenait, mais pendant une heure environ la température de la barre changeait à peine, le bain de sable conservant très longtemps sa chaleur. Dès que la température commençait à baisser, on redonnait l'air au combustible jusqu'à ce que les thermomètres se missent à monter; on supprimait alors l'accès de l'air; et ainsi de suite. On pouvait ainsi maintenir la température constante tout le temps nécessaire aux mesures. Il est bien clair d'ailleurs qu'il ne s'agit ici que de températures évaluées à 2" ou ^ près : le mode d'échauffement par suite duquel les thermomètres inférieurs accusent toujours une température plus élevée que les thermomètres supérieurs, la disposition même du manchon librement ouvert sur Tune de ses faces, ne permettent pas une approximation plus grande; mais cela suffisait largement au but que Ton se proposait. Pour les températures basses, on employait un mélange réfrigérant renfermé dans une double enveloppe entourant la barre de toutes parts, sauf suivant une fente ménagée pour les visées.
Wertheim a contrôlé ses mesures par une deuxième méthode, complètement différente, fondée sur l'étude des vibrations longitudinales des verges. Nous y reviendrons plus loin.
11 a également vérifié par un procédé optique qui sera décrit ultérieurement que sous une pression donnée le raccourcissement est égal à l'allongement produit par une tension identique : cette expérience d'une sensibilité extrême a fourni la première démonstration précise de la proposition admise jusque-là sans preuve directe que les lois de l'élasticité de compression sont les mêmes que celles de l'élasticité de traction.
Table des coefficients délasticUé, — Les tableaux suivants résu-
ment ces expériences : le coefficient d'élasticité (\) est le poids en kilogrammes qu'il faudrait appliquer à une barre de i millimèlre carré de section pour l'allonger de sa propre longueur (^).
i** Métaux.
DUIMTI.
coBrriciiKT d'klasticitb mc9uré directement.
à — 15«. à 15«(«) à lOO». àîOO».
COirPICIBIfT
déduit des vibrations loDgitudintlcp.
Plomb écroui....
kg
kg
— recuit ....
Or écroui. .. .
— recuit ....
Argent écroui
— recuit ....
io,3o
Zinc écroui
Palladium écroui.
— recuit.
Cuivre écroui ....
— recuit ....
io5i9
Platine écroui ....
— recuit ....
i56ii
Acier angl. écroui .
— — recuit.
Acier fondu écroui
— — recuit
Fer en fil ord.écr.
Fer du Berry recuit
(•) Ces chiffres ne sont pas absolument comparables à ceux des autres colonnes, les fils employés n'étant pas les mômes que ceux qui ont servi pour les autres déterminations.
(*) Coefficient déduit des vibrations transverses.
Les coefficients obtenus par la méthode acoustique sont tous supérieurs aux coefficients déterminés directement : cela tient à ce
(^) Le coefGcient d'allongement longitudinal a (146) étant égal à r;, l'inverse
de l'un des nombres inscrits dans ces tableaux donne la fraction de sa longueur primitive dont s'allonge une barre de la substance considérée sous une traction de I kilogramme par i millimètre carré de section.
(*) Pour traduire ces coefficients dans le système C. G. S., il faudrait les multiplier par 98100006, un kilogramme valant 981000 dynes et un millimètre
carré valant — centimètre carré. On trouverait ainsi à i5« : plomb écroui 100 *^
1,17 X 10*', argent écroui 7,22 x lo'^ fer écroui 2,04 x lo'*, etc.
que rallongement qui se manifeste dans un corps en vibration sonore n'ayant qu'un temps très court pour se produire est inférieur à rallongement complet observé dans les mesures directes.
Le fer et Tacier ont le plus grand coefficient d'élasticité : ce coefficient est plus de 10 fois celui du plomb. L'écrouissage augmente ordinairement l'élasticité : peu sensible avec le fer etTacier (163), l'effet est très marqué pour le cuivre dont Télasticité s'accroît
de -r par le passage à la filière, et plus encore pour For dont l'augmentation d'élasticité par Técrouissage est de ^. D'une manière générale, toutes les circonstances qui augmentent la densité augmentent le coefficient d'élasticité. Pour la plupart des métaux, l'élévation de la température amène une diminution de l'élasticité :
Teffet est très sensible pour le platine et plus encore pour le cuivre
dont le coefficient à 200'' n'est plus que les -- de ce qu'il était à la
température ordinaire. Toutefois, le fer et l'acier anglais ainsi que l'argent font momentanément exception, l'élasticité croissant d'abord jusqu'à 100° pour décroître ensuite. Le passage d'un courant électrique parut avoir un effet spécial : outre la diminution occasionnée par l'élévation de température, il sembla produire un abaissement propre du coefficient d'élasticité, abaissement dû, selon Wertheim, aux vibrations qui accompagnent le passage du courant (*).
2* Alliages,
DBNAiTÎ. cosrpiciBnr.
Laiton pur ZnCu^ 8,61 8 543^'
Laiton tombac du commerce ZnCu*^. 8,66 9 271
Argentan Zn*Gu**Ni5 8,54 10 788
Packfong Zn^^CuCNis 8,44 1 1 5oo
Le coefficient des alliages est à peu près la moyenne des coefficients des métaux constituant l'alliage, quels qu'aient été d'ailleurs la contraction ou la dilatation et par conséquent le changement de densité accompagnant la combinaison.
(*) Cet abaissement du coefficient d'élasticité dans un conducteur traversé par un courant électrique n'a pas été confirmé par les mesures de Streintz sur la durée des oscillations de torsion d'un fil traversé ou non par un courant : à la même température le coefficient d'élasticité se montra le môme dans les deux c&s(Pogg. Annalerif CL, 381 ; i873).
