ÉLASTICITÉ. — BARRE FLÉCHIE PERPENDICULAIREMENT A SA LONGUEUR
la même direction. Menons par Taxe de la barre un plan vertical âBGD et considérons la déformation dans ce plan. L'extrémité B s'est abaissée en B', et puisqu'il ne s'agit jamais que de déformations très faibles, on peut regarder B' comme étant sur la verticale du point B : le déplacement BB' est ce que Ton nomme la flèche de flexion /. En même temps la barre s'est courbée, les filets supé* rieurs tels que ÂB' s'allongeant, les filets inférieurs CD' se raccourcissant, et le filet moyen EO' conservant seul exactement sa lon-
Fig. 209
gueur initiale. De ces allongements et raccourcissements résultent des forces élastiques équilibrant l'action de la force extérieure P. Soient pq une section transversale de la barre faite à une distance 0'm=:x de l'extrémité libre, rs une section infiniment voisine, tous les filets tels que Ik situés au-dessus de mn se sont allongés, les filets placés au-dessous se sont raccourcis : chaque point k de la section pq est donc sollicité par une force élastique dirigée suivant kl et tendant à faire tourner la section autour de m pour la ramener dans la situation première : la somme des moments de toutes ces forces par rapport au point m doit donc être égale au moment par rapport au même point de la force extérieure P qui tend à faire tourner pq en sens contraire. Posons mn=dx, mk=z, et désignons par rfO l'angle des deux droites concourantes pq^ rs,
lk=dx'^zd^y
ainsi qu'on le voit facilement en menant gh parallèle kpq. La force
élastique développée sur Télément bdz en k par rallongement zd^ est, d'après la formule connue (9),
dx
et le moment de cette force par rapport au point m est
f?-y— bdz.z=E -j—z^dz.
dx dx
La déformation étant très faible, on peut prendre pour moment de la force P
Pjc.
L'équation de Téquilibre relative à la tranche pq est donc
+5 „ irfe
ou
dx
(41) __.rfô=rPx.
^ ' 12 dx
Aux points /• et;?, menons les tangentes rf et pv à la courbe AB', ces tangentes font entre elles Tangle 0 et Ton a, en désignant tv par df,
df=^xd^^
ou, en portant dans Téquation précédente la valeur de 6 qui résulte de cette dernière relation,
,,. I 12P «j (4^) dJ^r^-j-^.x'dx.
Si enfin Ton intègre de x=o à x=l, on aura
formule qui résume toutes les lois de la flexion dans le cas simple que nous ayons considéré :
La flèche est proportionnelle au poids fléchissant, elle est proportionnelle au cube de lat longueur, en raison inverse de la largeur (loi évidente a priori)^ en raison inverse du cube de l'épaisseur ; enfin, toutes choses égales d'ailleurs, elle est inversement proportionnelle au coefficient d'élasticité E de la substance.
