FROTTEMENT INTÉRIEUR. — TUYAUX CAPILLAIRES

Y] étant encore iin coefficient caractéristique du liquide, puisque la distance dx de deux couches conligues est, comme c^, une quantité déterminée pour chaque liquide ; mais ce coefficient r^ sera de grandeur convenable, et directement accessible à l'expérience.

267. Écoulement par les tuyaux capillaires (^). — Considérons par exemple un liquide en mouvement permanent dans un tuyau qu'il mouille. Si le tuyau est très étroit, le mouvement ne s'opère que parallèlement à Taxe. Le liquide, suivant la conception fondamentale de Navier (^), se partage en couches cylindriques, s'embottant les unes les autres, et dont chacune se meut sur toute sa longueur avec une môme vitesse, variable d'une couche à l'autre, depuis la vitesse nulle de la couche adhérente à la paroi jusqu'à un maximum correspondant au filet axial. Chaque couche subit donc deux frottements, dont l'un, agissant sur sa face externe, tend à ralentir son mouvement, et dont Vautre, sur sa face interne, tend à l'accélérer; mais le premier frottement l'emporte sur le second, et, somme toute, la couche est soumise à une force retardatrice, quî équilibre exactement la force accélératrice quand le régime permanent est atteint. Écrivons que cet équilibre a lieu.

Dans une couche de rayon r, d'épaisseur dr^ animée sur toute sa longueur d'une vitesse v^ considérons à une distance / de l'origine un tronçon de longueur dl. Si p désigne la pression hydraulique en /, à l'extrémité l -{- dl elle est p + dp o\x p -\- -^ dl, et comme la base du tronçon est OL%rdr^ la force accélératrice est

al

La force retardatrice est la différence des deux frottements, r^i'Ttrdl — sur la face interne, et r^ica (r -i- dr) dl (7-:+ Tj^'') sur

la face externe, , , „ ,

fdv rfM , ,|

(') Voir Hagenbach, loc, cit. ; Stefan, SUzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien; 1862; Mathieu, G. R., LVII, 320; 18C3 ; el Boussinesq, C. R., LXVli, 2J0, et Journal de Liouville, Xlll, 377; 1868.

(») Navier, Mémoires de V Académie des sciences j Vf; 1823.

VioLLE, Cours de physique. — I. 4 8

Pour que le mouvement soit Uniforme, il faut que Ton ait

De cette équation ressort immédiatement une relation importante touchant p. La pression en efi'et est fonction dp la distance seulement, et le deuxième membre de Téquation ne contient pas / : p est donc une fonction linéaire de /,

p=za-{- hl.

Les constantes a et h sont définies par les conditions relatives aux extrémités : pour / =: o, pz= p„ ; pour / = L, /> = o, si Ton fait abstraction de la pression atmosphérique à Textrémilé du tube comme sur la surface du liquide contenu dans le vase. On a donc

i-iy

en d'autres termes, les pressions décroissent linéairement depuis la pression à Torigine, />o, due à la hauteur du liquide dans le vase, jusqu'à zéro à Textrémité du tube. L'expérience vériQe exactement cette première déduction des calculs.

Par suite de cette valeur de /^ la relation fondamentale devient

Po (d^v i(h\

équation qui, par deux intégrations successives, donne d'abord

'JiYjL (fr

puis

v = a-hgLogr~/j-/^

iz et ^ étant les deux constantes d'intégration. Pour r-o, on a la vitesse suivant Taxe, laquelle n'est pas infinie;

FROTTEMENT INTÉRIEUR. — TUYAUX CAPILLAIRES. 7o5

doncp = ô. Pour r=:R, c'est-à-dire contre la paroi, <> = o si le liquide mouille parfaitement : o = a — /-r-R^ On a donc

4yîL

la vitesse aux différents points d*une même section droite varie comme les ordonnées d'une parabole, ainsi que Tavait indiqué M. Hagenbach. La formule montre déjà les lois de la proportionnalité directe à la charge et de la proportionnalité inverse à la longueur, établies par Poiscuille. La troisième loi n'apparaît pas immédiatement, parce que nous avons ici la vitesse d'une couche cylindrique, et que le débit Q se rapporte à la vitesse moyenne V

Q=z^l{^\= flrjdr.

~8yîL"''

ou

I2oy;L

La loi de Poiseuille se retrouve ainsi, et par là est vérifiée Thypothcse dont nous sommes partis, à savoir que le frottement est proportionnel à la différence des vitesses des couches frottantes (*).

(*) En môme temps se trouve vérifiée une fois de plus l'existence d'une gaine liquide, immobilisée contre les parois d*un tube parraitement mouillé. Si, en effet, la vitesse contre la paroi n'avait pas été nulle, si la couche extérieure avait possédé une vitesse c, et par suite avait subi de la paroi un frottement

on aurait eu

et par conséquent

d'où

k =1 CSV,