MECANIQUE. — COUPLE

les deux forces directement opposées— (P-f- F) et F appliquées en A se réduisent à une force unique — P appliquée au même point A. H reste donc seulement les deux forces, — P appliquée en A et P appliquée en C. Le couple F, — F se trouve donc remplacé par le couple P, — P de même moment. Deux couples de même moment sont donc équivalents.

Le moment représente Tune des deux forces égales et contraires du couple ramené à un bras de levier égal à Tunité.

A l'aide des théorèmes précédents on peut composer les couples comme les forces.

Soient d*abord deux couples agissant dans le même plan ou dans des plans parallèles, on peut les composer en un seul. Amenons en

Fig. 54

effet le deuxième couple P, — P à avoir même bras de levier AB que le premier F, —F, ce qui est toujours possible d'après ce que nous avons établi précédemment. H pourra alors arriver que la force P appliquée en A tire dans le même sens que la force F appliquée au même point, ou qu'elle agisse en sens contraire. Supposons d'abord les forces F et P de même sens: elles peuvent être remplacées par leur somme F-f-P; de même les forces— F et — P peuvent être remplacées par une force unique — (F+P). On n'a plus alors qu'un couple F-hP et— (Fh-P) de levier AB, c'est-à-dire un couple dont le moment est égal à la somme des moments des couples composants. Si les forces F et P étaient de sens contraire, le moment du couple |*ésultant serait la différence des moments des couples composants et le couple résultant agirait dans le même sens que le plus grand des couples composants.

Poinsot représente très simplement cette composition dans tous les cas, au moyen de Vaxe du couple. Ayant pris un point quelconque 0 dans Tespace, amenons le couple proposé à une position telle que son bras de levier AB passe par le point 0. Elevons en 0 la perpendiculaire au plan du couple ; prenons sur cette perpendiculaire une longueur Oa égale au moment du couple; convenons

enfin de porter la longueur Oa dans un sens ou dans l'autre, suivant le sens dans lequel agit le couple ; et le couple sera complètement représenté par celte ligne Oa ou axe du couple. Pour fixer le sens dans lequel on portera la longueur 0^?, on convient qu'un spectateur placé sur Oa, les pieds en 0, la tête en a et regardant la droite AB^ doit voir cette droite sollicitée par le couple à tourner dans le sens positif (28). Les couples sont dès lors figurés géométriquement comme les forces par une ligne donnée en grandeur et en direction. Seulement, dans le cas des couples, cette ligne peut être transportée parallèlement à elle-même d'une manière quelconque, tandis que la ligne représentative d'une force ne peut être transportée que le long de sa propre direction.

La composition de deux couples situés dans le même plan ou dans des plans parallèles se fera simplement en ajoutant algébriquement les axes des deux couples.

Soient maintenant deux couples quelconques situés dans des plans différents. Sur la commune intersection de ces deux plans prenons une longueur AB égale à Tunité ; faisons de cette longueur le bras de levier de chacun des deux couples. Soient alors F,— F et P,— P les deux couples: on peut remplacer les forces F et P

parleur résultante R, de même —F et — P par leur résultante — R

Fig. 56

située dans un même plan avec R; R,— R est donc le couple résultant.

On Toit facilement que les axes A^, Ab des deux couples proposés se composent, suivant un parallélogramme Aacb^ égal au parallélogramme AFRP, pour donner Taxe AC du couple résultant. On compose donc les couples au moî/en des axes représentatifs, conrnie on compose les forces.

La règle s'étend à un nombre quelconque de couples dont les bras de leviers sont invariablement liés entre eux.

lois de l'équilibre d'un corps solide se déduisent immédiatement delà composition des forces et des couples. Soient F, F', F^, ... des forces en nombre quelconque appliquées

FIg. 57

aux points A, A', A', ... d'un corps solide. Prenons dans le corps on point 0 quelconque ; appliquons en ce point deux forces égales et

9a PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA MATIÈRE.

opposées F,— F, ce qui ne modîGe en rien Tétat du système; les deux forces, F appliquée en A et — F appliquée en 0, forment un couple. Ce couple et la force F passant par le point 0 peuvent être substitués à la force donnée F. On remplacera de même la force F par un couple F', — F' et une force F passant par le même point 0. En opérant ainsi sur toutes les forces, on obtiendra des couples pouvant se composer en un seul et des forces passant toutes par le point 0 et pouvant par conséquent se composer aussi en une seule.

Donc, toutes les forces en nombre quelconque appliquées à un corps solide peuvent se réduire à un couple, plus une force.

Il y a évidemment une infinité de manières d*opérer cette réduction, mais l'intensité et la direction de la force sont constantes. L*axe du couple dépend du choix du point 0. Mais par une analogie intime avec ce que nous avons vu en cinématique, entre toutes les manières dont on peut réduire les forces agissant sur un corps solide en une force et un couple, il y en a une plus simple que toutes les autres et dans laquelle Taxe du couple se confond avec la direction de la résultante de translation. Le couple qui jouit de cette propriété est un minimum par rapport aux couples résultants qui se rapportent à une origine quelconque. Son axe est Vaxe central de Poinsot; et celte dénomination est pleinement justifiée par ce fait qu'à distances égales de cet axe les couples résultants ont des valeurs égales et leurs axes sont également inclinés sur cette ligne.

Si Ton amène en 0 Tune des extrémités du bras de levier du couple résultant, on pourra composer la force du couple appliquée à celte extrémité avec la résultante passant par le point 0. Le couple et la force seront alors remplacés par deux forces. L'ensemble des forces appliquées à un corps solide peut donc aussi se réduire à deux forces.

Nous pouvons maintenant établir les conditions d'équilibre d'un corps solide sollicité par un système quelconque de forces.

Supposons d'abord le solide libre, c'est-à-dire pouvant prendre toutes les positions possibles dans l'espace. Réduisons toutes les forces à un couple plus une force. Un couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune force dirigée comme on voudra, il

faut éyideinment que le couple soit nul et la force également. En écritant ces deux conditions, on aura six équations :

2,Fcosa

SFcosp ( SFcosy

SPcosa

SPcOSi

2,Pcosc

les trois premières exprimant que la force est nulle, et les trois dernières indiquant que Taxe du couple résultant est nul, les axes P des couples se composant comme les forces. Ces six équations déterminent complètement l'équilibre d'un corps solide libre.

On peut donner aux trois dernières équations une forme plus commode en opérant comme il suit :

Ayant décomposé la force F, appliquée au point M (jc, r. «)» en ses trois composantes parallèles aux axes coordonnés, remplaçons chacune de ces composantes par une force appliquée en 0 et un couple. La force F ces y donnera ainsi une force Fcosy appliquée en

Tva» »

Fowi'

^-fratt

Fig. 58

0 et un couple Fcosy, — Fcosy de bras de levier Om. Mais si, ayant mené m A et m B respectivement parallèles à Ox et Oj^ nous appliquons en B deux forces contraires, égales toutes deux en valeur

absolue à Fcosy, nous pourrons, à la place du couple de bras de levier Om, considérer deux couples ayant pour bras de levier OB et Bm, et Fcos Y pour force. Le couple de bras de levier OB est situé dans le plan zOj ; le couple de bras de levier Bm est dans un plan parallèle au plan zOx et peut être amené dans ce plan même en OA. Leurs moments sont respectivement

Fcosy.j^ . et — FcosY.«r,

en regardant toujours comme positifs les moments des couples qui, pour un observateur placé sur Taxe coordonné perpendiculaire à leur plan, tendent à produire une rotation de gauche à droite.

Opérant de même sur les deux autres composantes Fcos a et Fcosv et réunissant les moments des couples situés dans un même plan, on aura au lieu de la force F ses trois composantes Fcos a, Fcos g, F ces 7, appliquées au point 0, et trois couples situés dans les plans coordonnés et ayant pour moments :

FcosY-j — Fcosp.3, Fcosa.s — Fcosy.^, Fcosp.x— Fcosa.j .

Les conditions de Téquilibre d'un corps solide libre seront donc

( 2,Fcosa=o, l 2Fcosp=o, ( 2FcosY=o;

2,F(j^cosY — ^cosp)=:o,

^F{z cosa— xcosy)— o,

2F {x cos p —y cos a) = o ;

que Ton écrit souvent, en posant Fcosa=X, Fcosp=Y, Fcosy=Z,

2CrZ-zY)=o, 2(^x-tZ)=o, 2(xY-jX)=o.

Un corps solide est dit gêné lorsqu'il ne peut pas se déplacer dans toutes les directions.

Si le corps solide a un point fixe, on peut toujours prendre ce point pour origine de la force, qui se trouve alors détruite par la résistance du point fixe, et il reste seulement le couple qui ne peut pas être tenu en équilibre par cette résistance. La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre dans ce cas est donc que le couple soit nul ; ce qui donne les trois équations :

2Pcosa=o, 2Pcosi = o, 2,Pcosc==o;

ou

2(jZ - zY)=o, l{zX - xZ)==o, 2(^Y~jX) = o.

Si le corps solide a un axe fixe, remplaçons d'abord chaque force par ses deux composantes, Tune parallèle, l'autre perpendiculaire a Taxe : les composantes parallèles sont sans effet, puisque le corps ne peut que tourner autour de Taxe, sans glisser ; il reste donc seulement les composantes perpendiculaires à Taxe. Soity*une de ces composantes et AO sa plus courte distance à Taxe, transportons le

Fig. 59

point d'application de la force en A et remplaçons-la par un couple /,— / de bras de levier AO et une force/ appliquée en 0 ; la force est détruite par la résistance du point 0 et il reste seulement le couple. Opérant de même sur chaque composante, on a un système de couples situés dans des plans perpendiculaires à l'axe et par conséquent parallèles entre eux. Ces couples se composent en un seul

dont le moment est égal à la somme des moments des couples composants ; et il est visible que le solide ne sera en équilibre que si ce couple, situé lui aussi dans un plan perpendiculaire à Taxe, est nul.

Appelons moment d'une force F par rapport à un axe le produit de la projection /de la force sur un plan perpendiculaire à Taxe

par la plus courte distance OA de la force à Taxe ; affectons ce produit d'un signe suivant le sens dans lequel la force tend à faire tourner le corps ; et la condition précédente pourra s'énoncer ainsi : pour quun corps solide mobile autour cTun axe fixe soit en équilibre, il faut que la somme algébrique des moments par rapport à l'axe de toutes les forces agissant sur le corps soit nulle.

Mais le moment de la force /par rapport à Taxe 0^ est égal à la somme des moments de ses deux composantes X et Y par rapport au même axe, la condition précédente s'écrira donc immédiatement, en faisant les conventions ordinaires sur les signes :

Cette équation peut aussi s'interpréter en disant que, des trois forces résultantes parallèles aux axes et des trois couples résultants situes dans les plans coordonnés que nous avons établis dans le cas général, il ne reste plus que le couple résultant situé dans le plan xOy perpendiculaire à l'axe de rotation. Et, en effet, les forces appliquées en 0 sont évidemment détruites par la résistance de Taxe, ainsi que les couples qui sont situés dans les deux plans coordonnés