MÉCANIQUE. — QUESTIONS DE MOUVEMENT RELATIF

On déterminerait aisément dans chaque position la tension N de

la tige.

Mais il est clair que Ton aurait pu traiter la même question en Déconsidérant que les forces réelles mg et N, et en écrivant que leur résultante donne la' force centripète, nécessaire pour produire un mouvement circulaire uniforme.

a* Fùrme de la surface cTun liquide pesant contenu dans un vase tournant autour dun axe vertical. — Nous verrons en Hydrostatique que la surface se courbe alors suivant un paraboloïde et se déprime

Fig. 75

d'autant plus que la vitesse de révolution est plus considérable. Mais la facilité avec laquelle on établit les conditions du phénomène à l'aide de la force centrifuge ne doit pas faire illusion sur la véritable nature de cette force.

56. Questions de mouvement relatif. — Traitons maintenant quelques questions de mouvement.

1* Mouvement relatif dun point matériel assujetti à glisser le long dune droite horizontale animée dun mouvement de rotation uniforme autour dun axe vertical. — Soient M le point, Ox la droite sur laquelle il glisse, 0^ Taxe autour duquel tourne cette droite. Supposons le mouvement de rotation s'effectuant dans le sens positif (de

Ox vers Oj^) avec la vitesse angulaire (o. Les forces réellement agissantes sont: le poids P=mg du mobile, et la réaction normale N de

Flg. 76

la droite, réaction qui fait un certain angle 6 avec la verticale en M. Pour avoir le mouvement relatif de M le long de Oj:, à ces forces réelles ajoutons les deux forces fictives — my, et — my^ et ensuite nous pourrons raisonner comme si la droite Ox était immobile : — my, est la force centrifuge ME=mw*x ; —myc est la force centrifuge composée MG égale à smcot' et dirigée dans le sens opposé à Oj (si s^ est positif). Nous avons donc trois forces normales : P, N et MC, et une force ME dirigée suivant Ox. De cette dernière seule dépend le mouvement (*).

On a:

(Px

ou

m --7-J = mtù X, atr

rff-

d'où, en supposant le mobile placé initialement en  [x^ sans

(') Quand un mobile se meut sur une courbe quelconque tournant autour d'un axe, la force centrifuge composée n'a pas d'influence sur le mouvement, puisqu'elle est toujours perpendiculaire à p et par conséquent sans effet sur raccélération tangentielle ^*

NfiCANlQUE. — gUESTlOKS DE HOUVBHBMT RELATIF. \itesse initiale (c =o)

Le mobile marche dans le sens positif avec une vitesse croissante. La force centrifuge composée n'a aucun eïfet sur le mouvement ; mais elle influe sur la réaction normale. Si l'on remarque que, le mouTcinent étant rcctiligne, les forces normales doivent se faire équilibre, on a

et

La réaction normale, d'abord verticale et égale à mg quand le mobile est en A sans vitesse, augmente avec la vitesse et s'incline de plus en plus vers l'horizon.

La figure représente un appareil propre à réaliser le mouvement que nous venons d'étudier. Cet appareil à force centrifuge consiste essentiellement en une sorte de toupie, A, pouvant tourner

rapidement au sommet d'un pied solide en bois. Sur cette toupie l'adaptent différentes pièces. Pour le cas actuel, on y fixe un rec-

tangle dont le côté horizontal supérieur est formé par un fil de fer bien tendu, CB, le long duquel peut glisser une bille d'ivoire D traversée par le fil. Si Ton fait tourner rapidement Tappareil, on voit la bille venir vivement en B. En E se trouve une bille semblable qui tend de même à aller en G, mais qui est retenue par un ressort à boudin : elle pousse donc le ressort et le comprime jusqu'à ce que la tension qu'elle lui communique fasse équilibre à la force centrifuge. Si Ton veut s'en tenir aux forces réelles, cette expérience montre simplement que pour produire le mouvement circulaire uniforme il faut nécessairement une force dirigée vers le centre et ramenant sans cesse vers ce point le mobile qui tend sans cesse à s'en éloigner. Quand, en effet, la droite passe de Ox à une position voisine Ox\ le mo-

Flg. 78

bile M entraîné par la droite de M en M' a conservé en M' sa vitesse MA perpendiculaire à Ox : en M' il a donc une vitesse M'A' inclinée sur Ox et ayant, par conséquent, une composante suivant Ox'.

2* Mouvement relatif dun point matériel sur une droite rencontrant sous un certain angle F axe vertical de rotation. — Soit a l'angle de la droite Ox avec Taxe de rotation 0^. Aux forces réelles mg et N,

Fig. 79

ajoutons les deux forces fictives, la force centrifuge ME=mci)'j:siQ2 et la force centrifuge composée MC=2m(a)i'sina. Décomposons le

HÉGAfflQUE. — QUESTIONS DE MOUVEMENT RELATIF. i23

poids en deux forces, Tune m^cosa suivant Ox, Tautre m^sina perpendiculaire à cette direction. Décomposons de même la force centrifuge en deux forces. Tune mw^xsin^a suivant Ox, l'autre mco'xsinacosa perpendiculaire à cette ligne. Les forces normales, m^siaa, N, m(a>'xsina cosa et amcof^sina se font équilibre. Les deux forcesmw^xsin^a et — m^cosa produisent l'accélération relative :

-^ =(i)^j: siiToL — g COSa.

Si le mobile était placé en repos au point 0^ défini par la relation

^cosa * u)^ sm^ a

il y resterait, les deux forces mw^xsin^a et — mg^cosa se faisant équilibre.

Posons x=ji:^'hx\ c'est-à-dire comptons les abscisses x' à partir

de 0^, nous ayons

dt'

-j=(i)'sin^a x'j

ce qui est l'équation du cas précédent dans laquelle îù est remplacé par usina.

Le mouvement présentera donc des circonstances analogues.

On déterminerait de même aisément, par l'équilibre des forces normales, N et 0.

La figure 8o montre d'un côté une petite bille E, de l'autre une certaine quantité d'eau, contenues respectivement dans deux tubes de verre inclinés, DB, DC, disposés pour l'expérience. Une vitesse suffisante de la toupie amènera toujours la bille et l'eau à l'extré* mité supérieure des tubes.

On peut aussi placer dans l'un des tubes plusieurs substances de densité différente, par exemple du mercure, de l'eau, une boule de liège, etc. A l'état de repos, ces substances se superposent par ordre de densité décroissante. Mais, quand on fait rapidement tourner l'appareil, les substances sont projetées vers l'extrémité supérieure du tube où elles se superposent dans l'ordre inverse, le mer-

iU PROPRIÉTÉS GËNËBALES DE LA MATIÈRE.

cure, le plus loin de l'axe, au-dessus de l'eau qui se place elle-

Fif. Sa

même au-dessus du liège. Dans les deux cas, eu effet, le principe d'Archimède règle l'ordre de superposition conforme à l'équilibre stable; mais, tandis que dans le cas ordinaire c'est la pesanteur qui agit, dans l'autre c'est la force centrifuge qui l'emporte, et, comme son action est précisément dirigée ea sens inverse de celle de la pesanteur, l'ordre doit être interverti. 3* Pendule de Foucault.

Théorie. .

La force centrifuge composée influe également sur le mouvement du pendule. Bornons-nous au cas des petites oscillations. Le mouvement peut alors être considéré comme s'effecluant dans un plan horizontal xOj- (je prends les axes ainsi qu'au n" i). La composante efficace de la pesanteur est mgx ou mg j, l désignant la longueur du pendule et r la dislance du point oscillant à sa position d'équilibre. La composante verticale de la force centrifuge composée est négligeable devant le poids. Comme, d'autre part, nous négligeons -7-, les deux composantes horizontales se réduisent h

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