Fonction des forces; potentiel. — Dans Téquation

OU

Smi^

2 î^::- / 2](Xrf^-^ Yr/r+Zrfz),

2^(X</.r+YrfrH-Zrfz) n'est pas nécessairement une différentielle exacte. Cela a lieu cependant dans un cas très important; car les forces naturelles sont toutes des actions mutuelles dont chacune est dirigée suivant la ligne des centres et fonction seulement de la dislance. Supposons qu'il en soit ainsi, ou, en d'autres termes, que les forces soient centrales. Soient r la distance de deux points m et m et mm'/ {î') leur action mutuelle, positive ou négative suivant qu'elle est attractive ou répulsive, les composantes de l'action de m' sur m sont

— mmy(/•)•

Y--mmy"(/•) Z = mmy(/')

Or, ces trois expressions sont les dérivées d'une même fonction.

i4i PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA MATIÈRE.

Car si F(r) désigne une fonction de /* telle que

F{r)=J'mm'/{r)dr; en se rappelant que

on a

dF(r) dF(r) dr ,..,.{ x'-x\ ^

el de même

dF{r) y dy

Ainsi, X, Y, Z sont les trois dérivées par rapport à x, j, z de la fonction de force F(r), changées de signe. Et comme il en est de même

pour toutes les forces agissantes, 2](X^J^-H-Yrfj -f-Zrfz) est la dérivée changée de signe d'une fonction V de x, j , z^ que Ton nomme le poiefitiel^ en généralisant une expression réservée primitivement au cas où la loi commune des forces était celle de la gravité (^). On a donc par définition