MECANIQUE. — ÉTUDE OU MOUVEMENT D*UN SYSTÈME
par suite
dx'
et
53m— r— = 0, dt '
ainsi les quatre termes
On a donc, toutes simplifications faites,
c'est-à-dire que le théorème des moments des quantités de mouvement s'applique sans changement aucun aux axes mobiles.
Ce résultat aurait pu se prévoir a priori. En effet, les axes mobiles ont un mouvement de translation ; et on peut faire abstraction de ce mouvement si Ton applique à chaque point une force — my en sens contraire de Faccélération y du système. Mais les forces fictives — my ont dans leur ensemble un moment nul, car étant parallèles, de même sens et proportionnelles aux masses, elles ont une résultante unique appliquée au centre de gravité. Elles disparaissent donc finalement; et Ton voit comn^ent cela tient à ce que Torigine nouvelle est au centre de gravité.
11 est d'ailleurs à remarquer que dans les équations réglant le mouvement du centre de gravité et dans les nouvelles équations traduisant le théorème des moments des quantités de mouvement par rapport aux axes mobiles menés par le centre de gravité, les in^ connues seront en général mêlées de sorte que les premières ne donnent pas à elles seules le mouvement du centre de grfivité.
Que devient maintenant Féquation des forces vives avec les nou-
veaux axes ? Par rapport aux anciens axes on avait
Considérons d'abord la puissance vive. Soient v^ la vitesse du centre de gravité et / la vitesse relative du point m; des relations x^^Xi-hx^ j=j^-hj\ z=:Zi-{-z on déduit
et par suite
car --T-*Sm-^=o, puisque, Forigine nouvelle étant au centre de
gravité, Jlmx'=o.
Ainsi, la puissance vive totale du système par rapport aux axes fixes est égale à la puissance vive par rapport aux axes mobiles augmentée de la puissance vive d'un corps de masse M concentrée au centre de gravité (théorème de Kœnig).
Passons maintenant aux travaux des forces.
J^TF:^J^J{Xdx+Ydjr+Zdz)
=J^f{Xdx, + Ydjr, + Zdz,) ^}^f{Xdx' H- Ydy + Zdz') ;
la somme des travaux réels des forces est égale à la somme des travaux des forces transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité augmentée de la somme des travaux apparents des forces.
L'équation des forces vives devient donc
M^ Wy\)l ^^^'^ ^^^'\ V Ct\rj vj ryj \
* +2] Axrfx'-hY^y+zrfz')
MÉCANIQUE. — FONCTION DES FORCES; POTENTIEL. Hf
OU, en remarquant que la somme des travaux des forces transportées au centre de gravité est précisément égale à la variation de la puissance vive de ce point,
La variation de la puissance vive par rapport aux axes mobiles est égale à la somme des travaux apparents des forces.
Le théorème du travail subsiste donc, lui aussi, quand on considère les déplacements apparents relatifs au centre de gravité, et cela sans l'introduction d'aucune force nouvelle.
