CP' TP
CP TP ou, si l'on pose OT=s
p — R p-\-t ou
p p' H • pp H
-) Koger Baco.n le premier a donné la place exacte du foyer d'un miroir concave dans son livre, dédié à Clément IV, Opus majus; 1*267.
Celte équation établie pour une situation particulière des points I*, P' et C, convient dans tous les cas, à condition que les distances p, p' et R ou/' soient comptées à partir du somme) 0, positivement vers le milieu où se meut la lumière (en avant du miroir), négativement en sens contraire.
Les divers cas de la réflexion sut- les miroirs concaves se déduisent aisément de l'équation précédente, qu'il est commode pour lu discussion de mettre sous la forme
On obtient ainsi les résultais contenus dans le tableau suivant :
p = oo p'=f
p>±f f<p'<*f I p = 2/ p' = a/ \ foyer réel.
f>P>o P'<° \ foyer virtuel.
o>p o<p'<f foyer réel.
Dans le dernier cas, les rayons incidents convergeant vers un point situé derrière le miroir peuvent être considérés comme émanant d'un point lumineux virtuel. La figure 212, tracée dans l'hy-
Fig. 111
polhèse inverse (point lumineux réel entre le foyer et le sommet, image virtuelle), convient également ici, le point lumineux étant supposé en P' et l'image en P.
Si 1« miroir est convexe, R doit être compté négativement. Pu-
sons R=— E, de façon à mettre le signe en évidence ; nous aurons
P + P'~~^.' ou, en désignant par — /la distance du foyer principal (virtuel) au miroir,
La discussion de cette formule, que l'on peut écrire , Pf , /
conduit immédiatement aux résultats consigaés dans le tableau
suivant :
P>o —f<p'<o i foyer virtuel.
o>p>-,t o</>' j b rfel>
jj=— »/ p'=—if [ foyer virtuel.
La réflexion sur un miroir convexe ne donne de foyer réel que
Fig. ai3 dans le cas où les rayons incidents convergent vers un point lumineux virtuel, situé entre le sommet et le foyer principal F. Autre forme. — La formule générale i i i P F~J'
RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE. — PROPRIÉTÉS DBS MIROIRS SPRÉRIQUES. 363 indiquant que les quatre points P, C, P', constituent une division harmonique, peut se mettre sous une autre forme.
Traçons le cercle de diamètre OC, et construisons la polaire AB du point P; cette polaire passe en P', conjugué de P par rapport à OC (ce qui donne une construction très simple de P'{'))- On a donc,
Flg. *t4
en désignant par m et a' les distances FP et FP' du point lumineux et de son image au foyer principal,
on' =/' 3 i relation que l'on peut d'ailleurs obtenir par un simple changement de coordonnées. Si l'on prend pour origine le point F, l'équation
i ii
P P'~J devient en effet, les différentes grandeurs étant affectées de signes convenables, ainsi qu'il a été dit plus haut,
ou
rats'— y 1 .
Cette équation, due à Newton ( 3 ), est générale. Elle montre que la source et l'image sont toujours d'un même côté du foyer principal. En la discutant, on retrouverait les résultats énoncés plus haut; mais elle se prête surtout à une interprétation géométrique,
(') Voir I.rbourg, Journal dephytique, VI, 3o5; 1877. (») Nkwtos, Opticks, lib. I. London; 1704.
comme représentant une hyperbole équilalère rapportée à ses asymptotes. Traçons cette hyperbole en prenant pour origine le foyer F et pour coordonnées les cr et les ex'. Quand le miroir est concave, Cj représente le centre et C le sommet : alors la branche MM' correspond au cas où le point lumineux et le foyer sont lous les deux réels, la branche NN' au cas où l'un est réel (celui dont la
Fig. qi.~)
coordonnée en valeur absolue est plus grande que /), l'autre virtuel. Quand le miroir est convexe, le rôle des points C et d est changé : la branche NN' correspond au cas où le point lumineux elle foyer sont tous les deux virtuels, la branche MM' au cas où l'un est réel (celui qui est défini comme plus haut), l'autre virtuel.
Puisque Ton peut passer de Tune des équations à l'autre par un simple changement de coordonnées, il suffit d'effectuer ce changement sur la figure 2i5 pour avoir la représentation graphique de
Téquation
les nouveaux axes seront Cp, C/A Dans le cas du miroir convexe, si Ton met en évidence le signe de/', en écrivant
l'hyperbole se trouve rapportée aux axes C,/;,, C,/^\.
La discussion des courbes avec ces nouveaux axes est facile. Elle peut encore être simplifiée au moyen de la remarque suivante, due à Lissajous( 1 ), qui en a tiré une construction très simple des foyers conjugués :
La droite PP f qui joint les projections d'un point m de l'hyperbole sur les axes Cp 9 Cp', passe par le point F.
Si, en effet, on désigne par x eiy les coordonnées courantes et par p et p f l'abscisse et l'ordonnée du point m, l'équation de la droite PP' est
équation vérifiée para: = y =f.
En conséquence, si l'on prend pour axes des coordonnées l'axe principal Cx d'un miroir concave et la perpendiculaire Gy à cet axe par le sommet Ç, et si Ton construit le point F (x=y=J), pour
Fig. 216
Fig. 217
avoir la longueur p' conjuguée d'une longueur donnée p, il suffira de joindre le point P (x=p) au point F : la droite FP coupera l'axe des y en P' (y=p r ) ; et pour mettre en place le foyer conjugué de P, on n'aura qu'à rabattre le point P' en Q sur l'axe principal Cx, ce rabattement étant fait à droite si P' est au-dessus de Cx, à gauche s'il est au-dessous.
La figure 217 montre la même construction effectuée pour un miroir convexe dont le foyer principal F se trouve derrière le miroir : Q est le conjugué de P.
Points en dehors de Taxe principal. — Jusqu'ici nous n'avons considéré que des points situés sur l'axe principal. Les résultats
(*J Lissajous, Leçons inédites professées au lycée Saint-Louis.
obtenus conviennent à tout point Q peu écarté de cet axe {') (c'està-dire vu du sommet du miroir dans une direction peu différente de l'axe) : un miroir sphérique donne encore de ce point une image Q', située sur le diamètre ou axe secondaire CQ. Soient, en effet, QI un rayon incident, IQ' le rayon réfléchi qui rencontre
Fig. »i8 en Q' Taxe QC; on a, d'après la propriété déjà rappelée de la bissectrice ,
cq;iq; eu 1Q'
Abaissons de Q et Q' les perpendiculaires QP et Q'P sur l'aie
CP' principal ; le premier rapport pourra se remplacer par -rp-. Quant
(') Lorsque l'on considère un point un peu éloigné du centre C, la condition d'être peu écarté de l'axe principal équivaut à celle d'Être situé sur un axe secondaire peu incliné sur l'axe principal; et la proposition est alors évidente, le
miroir se comportant manifestement à l'égard d'un axe secondaire comme à l'égard de l'axe principal, tant que l'ouverture rapportée au nouvel axe reste
z petite
