Prisme
426. Réfraction à travers un prisme. — Définitions. — En optique, un prisme est un milieu réfringent, limité par deux faces planes inclinées l'une sur l'autre d'un certain angle que l'on appelle Vangle du prisme. La droite suivant laquelle elles se coupent est Y arête ; à celte arête est opposée une troisième face qui est la base du prisme. Une section perpendiculaire à l'arête est dite section principale.
Formules. — Considérons un rayon se propageant dans une section principale : il entre en 1 et sort en 1', dévié vers la base. Si
nous appelons toujours i et i' les angles dans l'air, /■ et r' les angles dans le milieu réfringent, et si nous désignons par A l'angle du prisme et par D la déviation totale, somme des déviations (i — r) à l'entrée et {»' — »■') à la sortie, nous avons les quatre équations
sini' = Hsinr, i
sini' = «sinr', /
d'où, en éliminant/', t' et r\ on tirera une relation entre D,n, Aeti :
la déviation D peut donc être regardée comme une fonction des trois quantités n, A et i.
Influence de f indice. — L'expérience montre en effet que, toutes choses égales d'ailleurs, la déviation dépend de l'indice de la substance. Si l'on envoie un même faisceau de lumière sur pinsieurs prismes de même angle, mais de matières diffé- 4Htt^|J rentes, accolés de façon à figurer un prisme unique A^ (polyprismé), et qui reçoivent par conséquent tous la if lumière sous le même angle, on constate que chaque Il prisme produit une déviation particulière, d'autant
v\g. it>7 P ms considérable que l'indice est plus élevé.
Influence de fangle. — L'inÛuence de l'angle se met aisément en évidence a l'aide du prisme à angle variable, représenté ci-contre : c'est, comme l'on voit, une sorte d'auge, formée par deui plaques- métalliques verticales fixes et deux lames de verre susceptibles de recevoir différentes inclinaisons : ces lames constituent les faces d'entrée et de sortie d'un prisme creux, dans lequel on mettra de l'eau ou tout autre liquide réf ri ngent. Avec un liquide déterminé, l'incidence restant constante, la déviation augmente quand on fait croître l'angle du prisme depuis zéro jusqu'à la valeur pour laquelle se manifeste la réflexion totale.
Fis- 568
Cherchons la valeur de l'angle A correspondant à l'apparition de ce dernier phénomène.
Condition d'émergence. — Pour qu'un rayon RI, tombant sur un prisme de substance plus réfringente que le milieu ambiant, donne
naissance à un rayon émergent I'R', il faut que le rayon intérieur II' soit compris dans le cône M1M' d'axe 1P normal à AC et d'angle X. D'autre part, le rayon II' est nécessairement dans le cône D1D', d'axe IN normal à AB et d'angle X, cône qui comprend tous les rayons réfractés provenant des rayons qui peuvent tomber en I. Doncla condition d'émergence est que le rayon II' soit dans la partie commune aux deux cônes, qui doivent d'abord se couper pour que quelque rayon puisse sortir.
En nous Jjornant aux rayons situés dans la section principale pas-
rig. 369
sant par 1, nous dirons que le rayon intérieur doit être contenu dans l'angle M'ID. Mais cet angle est égal à M'IP -t-PlD, c'est-àdire à X-h(X— A),
M'lD = aX-A.
Si A > 2X, il n'y aura pas d'émergence possible. Ainsi, un prisme de verre (X=42 e ) d'angle supérieur à 84° ne laissera sortir aucun rayon par sa seconde face, qui réfléchira totalement.
Si A < 2X, le prisme livre passage aux rayons compris à l'incidence entre Bl, qui donne naissance à 1D, et SI, qui donne naissance à IM'. Les rayons incidents situés dans l'angle BIS — 2 passent, ceux qui sont situés dans l'angle AlS=x — a sont arrêtés et
renvoyés par réflexion totale. Or la direction SI, qui limite avec 1B Y angle de passage a, fait avec la normale N'1 un angle i* défini par la relation
sini 1 = /isin(X — A).
On a donc
A = aX
=zk tous les rayons soiit transmis.
a<TT l'angle de passage est obtus.
droit.
aigu.
*,= a=o aucun rayon ne passe.
Influence de l'incidence. Déviation minimum. — Entin, en faisant tourner à l'aide d'un bouton b un prisme P autour d'un axe parallèle à son arête, on constate que la déviation dépend de l'incidence. Si le rayon incident, d'abord couché sur BI (fig. 269), marche vers l'arête jusqu'en SI, la déviation diminue, passe par un minimum pour lequel la trajectoire de la lumière est symétrique
par rapport au plan bissecteur de l'angle A, puis elle croît jusqu'à ce que l'émergence cesse de se produire.
Ce fait est d'accord avec les équations (1).
Quand i diminue, r diminue d'après la relation sin i = nsinr, par suite r r augmente puisque /• 4-7*'= A, et par conséquent 1' augmente aussi. On ne voit donc pas immédiatement comment' la déviation D=i-m'— A varie. Mais, à cause de la symétrie des équations en i et i f , symétrie conforme au principe du retour inverse des rayons, la déviation prend des valeurs égales pour deux valeurs différentes de 1 de part et d'autre de l'angle I défini par la condition i=i f ; donc elle présente pour I un maximum ou un minimum. On verra aisément que c'est un minimum en comparant la déviation pour i = I à la déviation correspondant à une autre incidence, par exemple 1=0.
Fig. 270
On peut d'ailleurs appliquer la méthode ordinaire de recherche des maxima et des minima. Partant de l'expression de la déviation, telle qu'elle résulte des deux premières équations (i),
on prendra la dérivée de cette expression par rapport à z,
dD M
di di
ou, en remplaçant -TT par sa valeur déduite de la différentiation
des trois dernières équations ('),
dD __ cos i cos r* .
di ~~ cos i r cos r '
et Ton égalera cette dérivée à zéro; ce qui donnera
cos i cos r' = cos H cos r ,
ou
ou
4/ • 9-4/ sinV 4 / . , / sin 2 £
V I - sini V I — jr-yi-smVyi — jjp
(«-^)MO».-=(.-^)8inV,
ou, w 2 étant différent de 1,
sin-i — sin V,
ou enfin, puisque les angles / et V sont tous les deux aigus,
Ainsi D est maximum ou minimum pour
condition qui entraîne
(*} Cette différentiation donne dr -+- dr' =
cos i di = n cos r dr cos 1' di = /2 cos r't/r\
Mais pour i=i', la dérivée seconde de D est positive, comme on le reconnaîtra facilement; donc la déviation est alors minimum ('}. La valeur de ce minimum est
et cette expression, jointe à
montre que la déviation minimum est une quantité définie pour un prisme donné, n et A étant alors déterminés (*).
Foyer du prisme. — Si l'on regarde un point lumineux P à travers un prisme, dans le voisinage de l'arête, généralement on ne voit pas ce point d'une façon nette.
En effet, les rayons(')qui arrivent à l'œil, même armé d'une petite lunette, forment un pinceau étroit dont les droites peuvent se grou-
(') Elle sérail maximum dans le cas de n < i.
[') Tant qu'il y a émergence el par conséquent déviation, le minimum se manifeste. Le rayon intérieur correspondant au minimum Dissèque en effet l'angle NIP fflg. 26g} et par suite l'angle DIM' (les angles PID et NIM' étant égaux tous les deux à X- ■ A), il est donc toujours compris dans l'angle DIM', si petit que soit cet angle.
[') Ces rayons sont toujours supposés d'indice n unique et déterminé.
per de deux manières, comme nous l'avons déjà indiqué pour la réfraction à travers une seule surface plane.
i° On peut les distribuer sur des éléments plans parallèles à l'arête. Les rayons situés dans l'élément plan qui se projette sur la section principale suivant PA, font tous sensiblement même angle avec la normale PN ; la première réfraction les amène dans des directions qui vont toutes rencontrer PN en un même point R, tel
.que
AK=AP./i.
A chacun des éléments de surface, qui s'étagent de PA en PE à l'intérieur du pinceau proposé, correspond ainsi un petit triangle "dont le sommet est placé sur la droite focale KK', et dont la base étroite se projette entre A et E.
Si nous considérons maintenant ces triangles comme appartenant à des cônes ayant leur axe perpendiculaire sur la deuxième face du prisme, dans le voisinage de l'arête (*), nous voyons que .chaque point de la droite KK' donne, après la deuxième réfraclion, un point d'une nouvelle droite LL' définie par la relation
AL=AK.i = AP.
Les rayons qui pénètrent dans l'œil à leur sortie du prisme vont donc, par leurs prolongements, rencontrer tous une première droite focale LL', perpendiculaire à l'arête et située à la même distance de celle-ci que le point lumineux (*).
2° On peut répartir les rayons en petits faisceaux perpendiculaires à l'arête, tels que PAE (fig. 272) ( 3 ). Nous savons qu'un faisceau de cette nature, après avoir traversé la première face, converge virtuellement vers un point Q dont la distance à cette face est
qa=pa^^î!:.
cos"^
(*) Le pinceau est supposé assez étroit pour que l'on puisse faire abstraction -de la dislance des différents points E à l'arête, ainsi que de l'épaisseur du prisme.
( 2 ) Cette droite différera très peu de LL', image de KK' en lumière parallèle.
( 8 ) Ces faisceaux sont situés, soit dans la section principale menée par le point P (c'est le faisceau PAE), soit dans des plans peu inclinés sur celle section ^principale.
De même, les prolongements des rayons émergents concourront en un point R, distant de la deuxième face de
