La mécanique analytique démontre que la formule T

■ ë indique le rapport qui existe entre la durée d'une oscillation représentée par T , la longueur du pendule représentée par /, et l'intensité de la pesanteur représentée par g , (^vitesse finale d'un corps au bout d'une seconde de chuie). Dans cette formule, tt indique le rapport approché de la circonférence au diamètre, qui est de 3,141o9-6.

De la formule précitée nous pouvons tirer la connaissance de plusieurs lois fort importantes que nous allons établir.

1° Des pendules de longueur égale et placés dans un même lieu, décrivent des oscillations isochrones. En effet , les durées des oscillations ne dépendant que de la longueur des pendules et de l'action de la pesanteur, sont donc indépendantes de la grandeur des amplitudes. Si un pendule parcourt ainsi également vite des arcs inégaux en grandeur, cela est dû à ce que, quand l'arc est plus grand (f. 95), la force qui sollicite le pendule est plus énergique et lui imprime une vitesse primitive plus grande. En effet, les composantes g' et g" qui agissent sur le pendule augmentent à mesure que leur inclinaison devient plus forte. C'est ainsi qu'il faut à un corps le même temps pour parcourir les diverses cordes d'un même cercle, comme on peut Je voir en faisant rouler un corp» dans une rainure (f. 96) que l'on dispose de manière qu'elle coïncide avec les différentes cordes d'un cercle. L'isocbronisme n'existe que pour les oscillations très petites, et si les amplitudes dépassent 5*^ elles exigent un temps de plus en plus long.

2° Des pendules de longueurs différentes et soumis à une action égale de la pesanteur, font des oscillations dont les durées sont entre elles comme les racines carrées de ces longueurs. Eu effet soit /et /' deux longueurs de pendules, et / et /' les durées rcspec-

( 81 ) tives de leurs osciIIalions,el nous auroiii, / = Trl/ et /' =zt:1/i;

d'où nous tirons t\ t' \\^ \-L ; '^ l'il ; ; \/J\ y/J . Or les

nombres d^oscillalions sont nécessairement en raison inverse de leurs durées respectives, et Ton a t\ t' ", [ n' ] n. On peut donc poser

aussi n' l n \ \\Jl \ \/ V .

Pour démontrer expérimentalement la vérité de cette loi j faisons osciller comparativement des pendules dont \^% longueurs soient entre elles comme les nombres 1,4,9, et nous verrons que le premier comparé au second fait 2 oscillations pendant que celui-ci en fait 1 , et que, comparé au troisième , il fait 3 oscillations tandis que ce dernier n'en fait que 1. Donc les nombres d'oscillations de pendules de longueurs différentes sont en raison inverse des racines carrées de ces longueurs, et par conséquent leurs durées sont proportionnelles à ces racines carrées.

3" De l'équation donnée plus haut il résulte également que les durées des oscillations de pendules de même longueur sont en raison inverse des racines carrées des actions de la gravité. En

effet de la formule indiqué / = " il — ou tire t^ = -^ et par

suite , g = — . Si donc on fait varier la valeur de g on aura g' =:

— — . Comparant ces deux équations ou peut en faipe la proportion g \ g' '.', — I — • Réduisant les fractions du second rapport au

même dénominateur on a g , g' . [ ~ — jj- . j., „ et supprimant

les termes communs , on obtient g \ g' '. \t''^ \ t' ■) o\x ce qui revient au même \/ g '. \/ 8' '.\t' t.

4" On a d'ailleurs n\ n' \ \ t' 't '. oa peut donc poser aussi

n * n' • I y/ ^ I \/g' , et par suite g \ g' \'. n"^ \ n'"^. Cela revient à dire que les nombres d'oscillation faits en un même temps par des pendules de même longueur sont en raison directe des racines carrées des actions de la gravité, et que par suite les actions de la gravité sont entre elles comme les carrés des nombres d'oscillations que fout , sous leur influence, des pendules de même longueur.

Si donc, dans un lieu de la terre, un pendule fait, en un même temps, plus d'oscillations que dans un autre, il est évident que la pesanteur est plus grande dans le premier que dans le second , et pour connaîlre le rapport des intensités de cette force dans les deux lieux, il suffit de carrer les deux nombres d'oscillations.

Qnand on doit compter un grand nombre d'oscillations, on fait partir le pendule en même temps que celui d'une Lorloge, et on compte le nombre d'oscillations que fait le premier jusqu'à ce qu'il se trouve de nouveau d'accord avec le second. On n'a plus qu'à compter ensuite le nombre de ces coïncidences j pour éyaluer le nombre total des oscillations.

Nous venons de voir que l'on trouve pour valeur de la gra-

vite g = — ;- , c'est-à-dire, que l'intensité de la gravité est égale

au carré du rapport de la circonférence au diamètre, multiplié par la longueur du pendule et divisé par le carré de la durée d'une oscillation. A Paris, celle intensité est représentée par g = Q^jSOSS, comme on peut le trouver en faisant dans la formule précédente if = 1 et / = à la longueur du pendule à secondes.

96. PENDULE A SECONDES. On donne ce nom au pendule dont les oscillations se font en 1" de temps. Pour déterminer sa longueur, il suffit de compter le nombre n d'oscillations que fait en une heure un pendule quelconque dont la longueur serait représentée par /. Comme en ce temps, le pendule à secondes doit faire 5600 oscillations, et que les nombres d'oscillations sont en raison inverse des racines carrées des longueurs des pendules,

on peut poser la proportion 5600 '. n l\ ^l \ \/x. De là on peut tirer 5600^ [ n^ \\ / \ x, proportion dont les trois premiers termes sont donnés et dont le quatrième est la longueur du pendule à secondes cherchée. Cette longueur est à Paris de 0'",99584, plus grande au pôle, moindre à l'équateur.

On peut aussi trouver la longueur du pendule à secondes, ou celle d'un autre pendule quelconque , dans un lieu où la valeur

de la gravité est connue au moyen de la formule i = -n 1/ — : on

■ S l gfi

en tire t^ = ;:>-, puis gt^ = nV, et enfin / = — . Pour

(85) avoir la lougueur du pendule à secondes, on fait dans celte for-

mule / = 1", ce qui donne / = — .

97. VARIATION DE LA PESANTEUR AUX DIVERSES LA- TITUDES. Par les moyens que nous venons d'indiquer , il a été reconnu que la pesanteur va en diminuant de 77J en allant des pôles à réquateur. Cela est dû à ce que la force centrifuge lui est opposée (f. 97) et que celle force, étant proportionnelle au rayon de rotation, est nécessairement à son maximum à l'équateur et à son minimum au pôle. En évaluant la force centrifuge à réquateur, on trouve qu'elle y équivaut à j|^ de la gravité. Ce nombre étant plus petit que le précédent , il en résulte que la perte que la gravité éprouve sous la ligne ne peut pas être attribuée à l'opposition de la force centrifuge seule, et que quelqu'aulre cause accessoire y exerce son influence pour produire cet excédant de perte.

Cette cause, c'est le renflement que le globe a éprouvé à réquateur j lorsque , dans les premiers temps de sa formation , il était sous un état de fusion propre à le laisser augmenter de rayon là où la force centrifuge a le plus d'énergie. En effet, le rayon du pôle est de 1450 lieues et celui de Téquateur de 143S. Cette distance de 5 lieues dont un corps est plus éloigné du centre du globe lorsqu'il se trouve sous la ligne que lorsqu'il se trouve au pôle , diminue l'attraction qu'il éprouve.

C'est Bouguer qui le premier observa que la pesanteur va en diminuant, à mesure qu'on s'éloigne du centre. En effet, il vit que sur le Pichincha, montagne du Pérou élevée de 4745 ""^'fc^ la longueur du pendule à secondes diminue de 0,001 de ce qu'elle est au niveau de la mer.

Cette faible diminution de la pesanteur pour une si grande hauteur fait comprendre que cette force doit s'exercer entre les différents globes eux-mêmes , et les empêcher de céder à la force centrifuge que leur communiquent les mouvements de rotation qu'ils décrivent les uns autour des autres. Cette gravitation universelle s'exerce en raison directe des masses et en raison inverse des carrés des distances. •

98. La force attractive que nous avons appelée gravité s'exerce entre toutes les molécules matérielles , en sorte que les corps

s'atlirent enlre eux, en raison directe de leurs masses. C'est par suite de la différence énorme de leurs masses que, dans l'attraction réciproque qui s'exerce entre la terre et les corps , ce sont toujours ces derniers qui cèdent à cette force, qu'à cause de cela nous pouvons considérer dans ses effets comme si elle appartenait seulement au centre de la terre.

Le pendule est dévié de la verticale par sa position auprès de hautes montagnes ; cet effet ne peut jamais dépasser un angle de quelques minutes. Par la balance de Cavendisch on prouve encore cette attraction des corps entre eux , et Ton arrive à d'étonnants résultats.

Si un fil d'argent (f. 98) supporte un levier horizontal , aux extrémités duquel sont fixées deux petites balles de plomb b, b' y et que près de ces extrémités on approche obliquement deux globes de plomb d'un poids considérable m, m', ceux-ci attireront les balles b , b' , et forceront le levier à marcher vers eux en tordant le fil d'argent qui le supporte j bientôt la force de torsion sera égale à celle d'attraction exercée entre les balles et les masses de plomb , et alors le levier s'arrêterait ; mais comme il arrive en ce point avec une certaine vitesse , il le dépasse et se met à osciller autour de lui; on observe le nombre d'oscillations que feront ces petits pendules b et b' par suite de l'attractioa des masses de plomb : sachant quel nombre d'oscillations ils feraient en un même temps avec une même longueur, par effet de l'attraction du globe terrestre , les carrés de ces nombres d'oscillations donneront le rapport des attractions exercées par la terre et par les masses de plomb. Les effets produits par la terre et par un des globes de plomb sont enlre eux comme les masses: or la masse du globe de plomb est connue : donc une simple proportion fera connaître celle du globe terrestre : connaissant la masse de la (erre et son volume (par la mesure du méridien) , on déduit sa densité moyenne qui est de 5,48, c'est-à-dire, qu'elle

pèse cinq fois et Ji autant qu'un même volume d'eau : du volume et de la densité connus du globe terrestre on déduit son poids. Connaissant ainsi la masse et le poids de la terre, connaissant d'ailleurs par des calculs astronomiques les masses des planètes, on évalue facilement leur poids. Telles sont les conséquences admirables de l'expérience de Cavendisch.

99. PENDULE APPLIQUÉ AUX HORLOGES. Une horloge est un assemblage de plusieurs roues qui s'engrènent les unes dans les autres et dont les nombres de dents sont entre eux comme les divisions adoptées pour la mesure du temps. Lorsqu'une de ces roues est mise en mouvement, elle fait marcher toutes les autres. Si donc autour de l'axe de l'une d'elles on enroule une corde flexible à laquelle est suspendu un poids, celui-ci, en tombant, les fera tourner toutes rapidement, et avec un mouvement uniformément accéléré. Cette même accélération se reproduit encore lorsqu'au lieu de faire tourner la roue au moyen d'un poids , on la met en mouvement par un ressort. C'est pour empêcher cette accélération et pour régulariser ce mouvement que l'on se sert du pendule.

Ce pendule porte à sa partie supérieure un petit appareil ah (f. 99) que l'on nomme échappement ^ et dont les deux extrémités s'interposent aux dents de la roue à laquelle est appliqué ]e pendule, et Tarrêtent lorsque celui-ci se trouve dnns une position verticale. En écartant le pendule de cette position , la roue devient libre et se met à tourner jusqu'à ce que le pendule repasse, en oscillant, par sa position verticale. La vitesse qu'il a alors acquise le force à s'élever du côté opposé et ne lui permet par conséquent d'arrêter la roue que pendant un instant. Il résulte de là qu'à chaque demi-oscillation du pendule , la roue se trouvera un instant arrêté, et que par conséquent le mouvement qu'elle reçoit de la chute du poids qui est suspendu à son axe ne peut s'accélérer et se trouve modéré d'une manière régulière. Chaque fois d'ailleurs que l'échappement s'interpose aux dents de la roue il reçoit de celle-ci une certaine impulsion , suffisante pour rendre au pendule ce que les frottements et la résistance de l'air lui ôtenl de vitesse et pour le faire marcher par suite avec continuité.

Propriétés particulières aux solides, hydrostalicpie , hydrodynamique, fluides aériformes, instraments, densilé.