ncX. ad

de cette proportion Ion tire cm = 7 — ■: donc, pour connaître

la force qui pousse un corps placé sur un plan incliné, il faut multiplier la force de gravitation totale par la hauteur du plan et diviser le produit par la longueur de ce plan. Du rapport de ces différentes quantités dépendra la vitesse avec laquelle le corps se mouvra sur le plan.

En effet , la vitesse g' que possédera à la fin de la 1" seconde , le corps roulant sur le plan incliné, sera nécessairement avec la 1"^° vitesse finale vtrlicale g , dans le même rapport que les forces me et ne. On aura donc g''.g'.'.mc',nc, et par suite g' ', g '.'. ad' ah. Soit donc ^ la hauteur «<■/ du plan incliné, et / la longueur ah de ce plan , et l'on aura g' z=—~ .

82. Le corps qui tombe le long d'un plan incliné , suit dans son mouvement les mêmes lois que s'il tombait verticalement. Les espaces parcourus en chacune des secondes successives sont enfre eux comme les nombres impairs i , 3, S, 7, etc. ; et ceux parcourus depuis l'origine du mouvement, sont entre eux comme les carrés des temps ; enfin les vitesses finales sont proportionnelles aux temps. Il est évident d'ailleurs que plus la force g' qui pousse le corps sur un plan inclin '■ est petite par rapport à la force g qui le solliciterait verticalement, plus le temps t' que le corps emploiera à tomber obliquement, sera grand par rapport au temps /qu'il aurait employé à tomber verticalement. Il y a donc réciprocité entre ces diverses valeurs , et l'on peut poser la proportion g' '.g'.'J'j' . De là on peut tirer ig:=t' g' , ce qui indique que la vitesse finale

(a) Le côté ic est perpendiculaire au côté «i, et le côte' ne l'est au côté bd ; donc l'angle icn est e'gal à l'angle, abd ; d'ailleurs les triangles sout rectangles ; ils sont donc équiangles et semblables.

est la même au bout de la chute oblique qu'à la fin de la chute verticale.

Dans celte même proportion, remplaçons g'' par^la valeur que

nous lui avons trouvée (81) et nous aurons g [—^ '. g\'t [t' .De

gt t fl\

là on tire r = — - ^^-r- =. t \~)

La durée de la chute oblique est donc égale à celle de la chute verticale multipliée par la longueur du plan et divisée par la hauteur de celui-ci.

83. C'est à Taccélération de mouvement que les corps éprouvent en roulant sur un plan incliné , qu'est dû le danger qu'offre sur une côte, une course rapide , soit en voiture , soit à cheval, soit à pied.

Le plan incliné est, d'après ce que nous venons de dire, un moyen que la mécanique peut employer avec succès pour amener des fardeaux en un lieu élevé , par une puissance inférieure à la résistance que préseulenl ceux-ci. En eflel , pour équilibrer une résistance r quelconque, par une puissance /> plus faible , il suffira

d'établir la proportion p 'r \\h'l , d'où 1 on tire/? =-7-; h étant

la hauteur du plan, et / sa longueur (f. 74).

C'est parcequ'il présente au vent une surface inclinée, qu'un cerf-volant s'élève dans les airs. La même cause produit la rotation des ailes d'an moulin à vent.

Le coin s'enfonce dans un corps solide, parcequ'il lui présente ses deux faces d'une manière inclinée. On peut le considérer comme le principe de la scie, et de tous les instruments tranchants.

La vis ne pénétre avec tant de facilité , que parcequ'elle présente un plan incliné continu. Un tuyau creux, disposé en spirale, plongeant dans l'eau par son ouverture inférieure, et tournant autour de son axe (f. 75) présente au liquide un plan incliné sur lequel ce liquide s'élève. Telle est la vis d'Archimède dont on se sert pour élever l'eau à de petites hauteurs.

84. CENTRE DE GRAVITÉ. On appelle centre de gravité d'un corps le point de celui-ci où devrait être appliquée la résultante de toutes les forces de gravité qui agissent sur lui : en effet, tout corps est un assemblage d'un grand nombre de molécules

matcrielles dont cliacune est soumise à l'action de la pesanteur : toutes ces forces partielles d'attraction sur chaque molécule peuvent être représentées par une résultante , qui sera d'autant plus grande que le nombre de forcps sera lui-même plus grand, et qui dépendra par conséquent du nombre de molécules contenues dans le corps.

Cette résultante de toutes les forces de gravité qui agissent sur un corps s'appelle poids , et le point où elle serait appliquée s'appelle centre de gravité.

La pesanteur se distingue du poids , en ce que la première est la force qui sollicite chaque particule matérielle , et que le poids du corps est la résultante de ces actions partielles exercées par la pesanteur; c'est-à-dire, que la pesanteur est une force générale, agissant également sur tous les corps, et que le poids est l'effet produit par cette force , dans chaque corps en particulier.

Le poids , considéré d'une manière absolue , serait représenté par la formule vig , dans laquelle m serait la masse et g la valeur absolue de la pesanteur.

Vu la petitesse des angles formés par la direction des forces de pesanteur sur un corps, ils sont tout-à-fail inappréciables , et nous pouvons considérer ces forces comme parallèles dans toute l'étendue d'un même corps. Le centre de gravité est donc un centre de forces parallèles ; nous avons vu que le centre des forces parallèles est toujours le même, quelle que soit la direction de ces forces : donc le centre de gravité, c'est-à-dire, le centre des forces parallèles de pesanteur, est lui-même invariable, et ne peut changer dans quelque position que l'on place le corps.

85. EQUILIBRE. Si le centre de gravité d'un corps est soutenu par une résistance plus grande que le poids du corps , celui-ci ne pourra céder à l'action de la pesanteur, et sera en équilibre.

Si le centre de gravité d'un corps est un point fixe, le corps sera évidemment en équilibre dans toutes ses positions.

Lorsque le centre de gravité n'est pas le point fixe , le corps est pourtant en équilibre chaque fois que la verticale menée par ce point fixe , passe par le centre de gravité qui est alors évidemment soutenu (f. 76). Quand le centre de gravité se trouve au-dessous du point fixe, l'équilibre est stable comme dans l'aiguille a; mais si le centre de gravité se trouve au dessus du point fixe , comme

dans l'aiguille 6, Téquilibre est instable , car pour peu qne le corps sorte de sa position il tombera , entraîné par son centre de gravité qui alors n'est plus soutenu. Si au lieu de considérer un corps suspendu par un point, nous en considérons un posé sur une surface horizontale, il y aura encore pour ce corps des positions stables, des instables, et des indifférentes; ces dernières sont telles que le corps ne fait d'effort ni pour les quitter, ni pour y revenir quand il les a quittées. En effet, chaque fois que le centre de gravité se trouvera sur la verticale menée par le point de contact, il sera soutenu et par conséquent le corps sera en équilibre. Si le centre de gravité est placé le plus bas possible (f. 77) comme dans l'ellipsoïde a, l'équilibre sera stable, et il sera instable quand le centre de gravité ne sera pas placé le plus bas possible, comme dans b. Lorsque le centre de gravité est placé toujours à la même hauteur sur la verticale menée par le point de contact, comme danse, l'équilibre est indifférent; en effet, la boule c sera en équilibre dans toutes ses positions, parce que quel que soit le point de contact, la verticale menée par ce point passera toujours par le centre de gravité, et celui-ci sera toujours à la même hauteur sur celte verticale.

86. Lorsqu'un corps est appuyé sur un plan par plus d'un point, il suffit pour qu'il soit en équilibre que la verticale menée par son centre de gravité passe par le polygone formé par les lignes qui enveloppent les points de contact. Plus ce polygone sera grand cl plus le centre de gravité sera bas, plus celui-ci pourra être déplacé, sans cesser d'être soutenu par sa verticale, et plus par conséquent l'équilibre sera stable. C'est ainsi qu'un homme, une colonne, une voilure, une tour (f. 78) pourront être fortement penchés sans cesser d'être en équilibre, tant quela verticale menée par le centre de gravité ne tombera pas en dehors de la surface comprise entre les lignes menées de manière à envelopper les points de contact avec le plan.

Chaque fois que la disposition des molécules d'un corps vient échanger, le centre de gravité changera de place. Ainsi, dans les animaux, dont les formes varient à chaque mouvement, pour ainsi dire, le centre de gravité n'est pas un point parfaitement fixe, et change de place selon qu'ils se reposent, marchent, nagent, volent, ou font d'autres mouvements.

Lorsqu'un homme porte un fardeau , il est obligé de se pencher de manière que le polygone que ses pieds dessinent sur le sol, reçoive la A'erticale qui passe par le centre de gravité de tout le système que forment ensemble l'homme et le fardeau. C'est par la même raison qu'étant assis, nous nous penchons en avant pour nous relever ; que nous plaçons les pieds l'un devant l'autre , pour résister à un choc qui nous pousse en avant ou en arrière, et que nous les écartons au contraire latéralement pour résister à des pressions agissant sur les côtés. Notre marche n'est qu'une série de petites chutes que nous produisons en nous penchant suffisamment en avant , pour n'êlre plus en équilibre sur le pied qui touche la terre.

87. Trouver le centre de gravité. Nous venons de voir que chaque fois qu'un corps est en équilibre, la verticale menée par le point de suspension passe nécessairement par le centre de gravité. Donc , pour trouver le centre de gravité d'un corps de forme quelconque, il suffit de le suspendre à un fil par un de ses points (f. 79), et quand il sera en repos, de prolonger à travers le corps la direction verticale du Cl : le centre de gravité se trouvera sur celte ligne ai: en suspendant le corps par un autre de ses points, et prolongeant encore à travers lui la direction du fil de suspension , le centre de gravité devra encore se trouver sur celte seconde verticale ed : comme le centre de gravité doit se trouver sur la ligne ah et sur la ligne ed , il se trouvera nécessairement au point d'intersection c , qui est le seul commun aux deux lignes. Il est inutile d'avoir recours à ce moyen pour déterminer le centre de gravité des corps de forme régulière, car il se trouve toujours au centre de figure. Le centre de gravité d'une ligne droite est au milieu de celle-ci. Celui d'un cercle , d'une circonférence , d'un anneau (f. 80) est le centre de ces diverses figures. ,

88. Le centre de gravité d'un parallélogramme (f. 81) se trouve au point d'intersection des deux diagonales ; car chacune de celles-ci le partage en deux parties égales. Pour trouver le centre de gravité d'un triangle (f. 82), on mène du sommet de l'un des angles a, une ligne droite sur le milieu du côté opposé bc ; on mène également une ligne droite de l'angle b sur le milieu du côté opposé ac : le point g où. se rencontrent les deux lignes est le centre de gravité.

Eu effet, si l'on mène des lignes parallèles à bc (f. 83) , il est

évident que la ligne am partagera chacune de ces lignes en deux parties égales , c'est-à-dire qu'elle passera par le centre de gravité de chacune d'elles. Or, si on multiplie ces lignes autant que possible, elles formeront par leur somme la surface même du triangle. Le centre de gravité de celui-ci se trouvera nécessairement sur am. On démontrerait semblablement qu'il doit se trouver sur bm'. Il résulte de là qu'il doit se trouver au point d'intersection g de ces deux lignes am et bm'.

Le point g est à '/j de am en partant de m. En effet, les deux triangles agb et mgm' sont semblables (f. 82) et donnent gm '. o.g \\ mm' \ ab. Mais de la similitude des deux triangles TOcm' et 6ca il résulte wim' \ ab '.\ cm' \ ca. De ces deux proportions comparées , Ton tire gm \ ag ' \ cm' '. ca. Or cm' est la moitié de ca: donc gm est la moitié de ag et le tiers de ma, ce qu'il fallait démontrer.

Le centre de gravité des polvgones (f. 84) se trouve en les décomposant en triangles dont on cherche les centres de gravité. On considère les forces appliquées sur ces centres comme proportionnelles aux surfaces des triangles, et on cherche leur résultante par les moyens ordinaires , en réunissant les triangles deux à deux. Le point d'application de cette résultante indique le centre de gravité du polygone. Par exemple, étant donné le polygone abcdj décomposons-le en triangles et délerminous les centres de gravité m et n de ceux-ci. Eu chacun des points m et n menons des lignes p el q qui soient entre elles comme les surfaces mêmes des triangles. Ces lignes ont pour résultante la ligne gr qui est égale à leur somme , leur est parallèle, et s'applique en un point tel que l'on ait mg \ gn',] q [ p. Le centre de gravité du polygone est donc en g.

89. Le centre de gravité d'une sphère est au centre de celle-ci j celui d'un cylindre ou d'un prisme est au milieu de la ligne droite qui joint les centres de gravité des deux bases (f. 83).

Le centre de gravité de la solidité d'une pyramide ou d'un cône est sur la ligne droite qui enjoint le sommet au centre de gravité de la base et aux ^|^ de cette ligne à partir du sommet. Pour le démontrer soit la pyramide triangulaire sabc (f. 86) du sommet 5 de laquelle nous abaissons une ligne droite sur le centre de gravité m de la base abc. Si nous supposons cette pyramide partagée

en une infinité de tranches parallèles à abc chacune de ces tranches aura évidemment son centre de gravité sur la ligne sm : donc, sur cette ligne devra se trouver le centre de gravité de la pyramide , que l'on peut considérer comme étant la somme de toutes ces tranches. On démontrerait semblablement que la pyramide devra avoir son centre de gravité sur la ligne bn menée du sommet b au centre de gravité n de la face sac considérée comme base. Le centre de gravité de la pyramide sera donc au point d'intersection g où se rencontrent les deux lignes sm et bn. D'ailleurs la distance gm est égale au quart desm : en effet, l'on aon = — os etom = L. ob: donc, si l'on mène la ligne 77?« elle coupera proportionnellement les lignes os et ob, et elle sera par conséquent parallèle à sb et égale à — de celte Vigne sb. Mais les triangles gnm et gsb sont semblables et donnent gni '. S^ '. '. 8^ • ê^ ', '. ^" '. ^^' ^r "*" =^~ s b : donc gm =: ^ gs = L ms : doue sg est les -1 de sm. Pour trouver le centre de gravité d'un polyèdre quelconque, on le décompose en pyramides , de même qu'on décompose les polygones en triangles. 90. MESURE DES POIDS. La résultante des forces de pesanteur qui agissent sur un corps, varie nécessairement avec ces forces : or la pesanteur varie dans les différentes latitudes, et par conséquent le poids absolu des corps varie aussi : en effet un ressort d'acier (f. 87) fixé par son extrémité a sera déprimé différemment à des latitudes diverses par un corps c, posé sur l'autre extrémité. Mais les poids des corps se déterminent relativement aux poids d'autres corps pris pour unité, et les poids augmentent ou diminuent alors dans le même rapport , en sorte que cette mesure relative du poids est invariable.

L'unilé de poids est le gramme, c'est-à-dire, le poids d'un centimètre cube d'eau que l'on a purifiée par distillation, et que l'on prend à 4° c , température à laquelle elle occupe le moindre volume possible.

Le poids relatif des corps se mesure au moyen de la balance. Cet instrument (f. 88) consiste en un levier appelé fléau aa' , supporté par un axe de suspension c , sur des plaques trèsdures bb' , qu'on appelle coussinets.

Ces plaques sont en acier, et en agate dans les balances trèsdélicates ; afin d'éviter le plus possible les frottements entre ces plaques et l'axe de suspension , on termine celui-ci en arrête

traacbaote, ce qui lui fait donner le nom de couleaa. Les extrémités du levier (f. 89) portent au moyen d'anneaux également à arrêtes tranchantes , pour éviter les frottements et l'inégalité des bras de levier, deux plateaux de poids parfaitement égaux. Le fléau de la balance porte une aiguille métallique n qui se trouve, quand la position est horizontale par suite d'un équilibre parfait, au zéro d'un petit cadran m. Plus cette aiguille est longue, plus sa marche sur le petit cadran devient sensible. Pour peser un corps, on le met sur l'un des plateaux de la balance, et on met sur l'autre plateau des poids-mesures, jusqu'à ce qu'ils lui fassent équilibre, ce qui sera indiqué par l'aiguille n. Pour éviter que l'arrête du couteau ne s'use par sa position continuelle sur les coussinets, on a imaginé de disposer dans l'appareil deux petites fourches j^', que l'on soulève au moyen d'une manivelle /? , de manière à ce qu'elles viennent enlever le fléau de dessus les coussinets; pour se servir de la balance, ou abaisse la petite fourchette.

Il nous reste à voir en quel point du levier devra passer l'axe de suspension. Il faudra d'abord qu'il passe exactement par le milieu du fléau en longueur, c'esl-à-dire, à des distances parfaitement égales des points de suspension des plateaux , afin d'avoir des bras de levier de même longueur; ce n'est donc que dans la hauteur du fléau qu'on pourra faire varier la position de l'axe de suspension , et par conséquent le point traversé par celui-ci se trouvera nécessairement sur la même ligne verticale que le centre de gravité du lléau , seule condition d'équilibre possible. Si l'axe de suspension passe par le centre de gravité même (f. 90) , l'équilibre existe dans toutes les positions , ce qui est opposé à l'usage que l'on veut faire de la balance. Si l'axe de suspension passait au-dessous du centre de gravité (f. 91) a, l'équilibre serait instable, et la balance se mouvant presque continuellement serait mauvaise: de pareilles balances sont dites folles.

En faisant passer l'axe de suspension au-dessus du centre de gravité 6, l'on obtiendra un équilibre stable; pour éviter que cet équilibre ne soit trop stable, et par conséquent la balance paresseuse, il faut faire passer Taxe de suspension immédiatement au-dessus du centre de gravité.

91. On parTienl par la méihode des doubles pesées à mesurer exactement le poids d'un corps même avec une balance imparfaite. Cette mélliode consiste à placer sur l'un des plateaux le corps que Ton veut peser, et sur l'autre un petit vase dans lequel on verse de la grenaille de plomb ou d'autres petits corps, jusqu'à ce que l'équilibre soit établi; on enlève ensuite le corps que Ton veut peser, et on le remplace par des poids-mesures qui fassent équilibre à la grenaille de plomb : celle-ci faisant équilibre successivement, et sous les mêmes conditions, et au corps, et aux poids-mesures , il est évident que ceux-ci indiqueront exactement le poids du corps.

L'on appelle Romaine la balance où le point d'appui n'est pas au milieu de la longueur du fléau, c'esl-à-dire , celle où les bras de levier sont inégaux. En attachant un petit poids à la branche du fléau la plus longue, il pourra équilibrer des charges beaucoup plus considérables suspendues à la branche la plus courte. On peut ainsi peser des charges très-diflérenles avec un même poids, appelé /)e5on, en avançant ouen reculant celui-ci sur la branche la plus longue du fléau. La Romaine a d'ailleurs l'avantage de charger le moins possible le point d'appui. Les balances dites Bascules ne sont qu'une disposition particulière de la Romaine.

92. PENDULE. On appelle pendule un corps pesant suspendu à un fil. Le corps se maintient daiis la verticale, c'est-à-dire, perpendiculairement à la surface des eaux tranquilles. Mais si on le tire de la position m (f. 92) pour l'amener en m', et qu'on l'abandonne alors à lui-même , il redescendra en m, montera du côté opposé jusqu'en m", pour redescendre ensuite en m, remonter en m' , e*t continuer ainsi ce mouvement que l'on appelle oscillation. L'on appelle amplhude d'une oscillation l'arc m'wm" parcouru pendant celle-ci. La durée de l'oscillation, est le temps que le pendule emploie pour parcourii- l'amplitude. Nous pouvons nous représenter la marche de ce pendule, comme celle d'un corps roulant sur une série de plans iqclinés extrêmement petits dont la multiplicité constitue l'arc m'mm".

Pour nous rendre compte de ce mouvement, examinons le cas d'un pendule simple qui ne consisterait qu'en un seul atome de matière suspendu à un fil impondérable et inextensible. Placé en

m ce pendule sera en repos dans sa position verticale. Placé en m' (f. 93) la pesanteur qui le sollicite verticalement de haut en bas peut être représentée par la ligne m'p el considérée comme une résultante que nous décomposerons en deux forces , l'une m a perpendiculaire au fil de suspension et l'autre m}b faisant continuité à ce fil. La force m'è est évidemment rendue nulle par Tinextensibilité du fil, et le pendule ne se trouve plus que sous l'action de la tangente m'a qui le force à se rapprocher de m.

Si nous répétons cette construction sur différents points de Tare m'm , nous voyons que l'inclinaison et la longueur de la ligne m'a qui représente la forceactive , diminuent de plus en plus, et qu'elles deviennent nulles au point m. Il résulte de là que le mouvement du pendule tombant de m' en m s'accélère sans cesse par l'addition d'une nouvelle vitesse , mais que ces vitesses successives qui s'ajoutent ainsi sont de plus en plus petites , et que , par conséquent, le mouvement du pendule n'est pas accéléré uniformément. Il en résulte aussi qu'au point m, le pendule s'arrêterait, s'il n'était poussé par la vitesse acquise dans la direction horizontale mh^ direction que sa suspension à un fil inextensible change en celle mm" . Mais en suivant cette direction ascendante , le pendule va éprouver des actions directement contraires à celles que nous venons de lui voir subir, et, par conséquent, la vitesse qu'il possédait en m sera entièrement anéantie quand il sera arrivé à une hauteur égale à celle d'où il était descendu , et cela en un même temps. En effet, il faudra à la pesanteur le même temps et le même espace pour détruire celle vitesse, que ceux qu'il lui avait fallu pour la produire. Le pendule arrivé en m" va donc être ua in> slant en repos, puis il redescendra en m comme il le faisait toutà-Theure quand il se trouvait en m'. Ce mouvement oscillatoire se continuant régulièrement avec des phases identiques , il est évident que les oscillations successives doivent être isochrones , c'est-àdire, avoir une même durée.

95. Dans ce que nous venons de dire, nous avons supposé l'emploi d'un pendule imaginaire consistant en un senl atome de matière. On appelle pendules composés tous ceux que Ton peut construire, et qui consistent toujours en un corps pesant suspendu à un fil matériel. Celui dont la construction se rapproche le plus de celle du pendule simple , consiste en une lourde boule

de platine que l'oa enchâsse et que Ton fait adhérer, au moyen d'une couche de graisse, dans la concavité de même diamètre d'une mince calotte de cuivre (f. 94) portée par un léger fil de cuivre dont le sommet est fixé à un couteau posé sur des plans d'agate ou d'acier, suspension qui donne très-peu de frottement.

Pour nous rendre compte de la vraie longueur d'un pendule composé, soit (f. 95) une lentille métallique suspendue à une tige st y et formée de trois parties trn , mm' et m'n. Si nous supposons que l'on fasse osciller séparément les parties tm et m'/z, il est évident que la longueur sm du premier de ces pendules est moindre que celle sn du second, et l'on voit alors que celui-ci oscillera plus lentement que l'autre. Donc, quand les deux parties im et m'n, étant réunies, oscillent ensemble, la première hâte le mouvement de la seconde, et celle-ci retarde le mouvement de la première. Supposons maintenant qu'on allonge le pendule fm isolé , en y ajoutant une tranche enlevée à la zone moyenne mm' , et nous le verrons osciller plus lentement que tout à l'heure j tandis qu'une pareille tranche étant superposée au segment mm ^ raccourcit la longueur de ce pendule qui, observé isolément, oscille alors plus vite. Si donc on augmente , au détriment de la zone moyenne mm' , les deux parties tm et m'n , de manière qu'elles partagent la lentille à peu près également en dcd' , elles finiront par osciller ensemble. Ce mouvement sera celui de la lentille eutière, égal à celui qu'aurait eu le pendule simple dont la longueur serait se. Le point c , dont la distance au point de suspension s est la vraie longueur du pendule , s'appelle centre d'oscillation. Sa position dépend de la forme du pendule et peut être déterminée par les formules que nous trouverons dans les paragraphes suivants. La forme du pendule est ordinairement celle d'une lentille très-lourde , au tranchant de laquelle l'air offre nécessairement le moins de résistance possible.

94. L'amplitude et la durée des oscillations d'un pendule devraient être constantes , et par conséquent le mouvement du pendule, éternel; mais les frottements du point de suspension, et la résistance de l'air , diminuent de plus en plus l'amplitude, et bientôt le pendule est rentré en repos.

L'oscillation des pendules n'est influencée en rien par leur nature ou leur poids ; en effet , la pesanteur agit sur chaque

atome séparément : donc elle agit sur une masse entière comme elle le ferait sur un seul atome , et d'ailleurs elle agit de même sur tous les corps de quelque nature qu'ils soient. Ainsi les oscillations de pendules de même longueur doivent être isochrones, quels que soient la nature et le poids de ces pendules: en effet , suspendant à des fils d'égale grandeur des boules d'ivoire, de fer, de plomb , de Terre, on les voit osciller simultanément pendant très-longtemps.