chapitre

m HYDRODYIVAMIQUE.

130. MOUVEMENT. Les molécules d'un liquide d'une nature quelconque qui s'échappe par un orifice percé à mince paroi (f. 140) ont , au moment de leur passage par celui-ci , une vitesse égale à celle qu'elles auraient si elles étaient tombées dans le vide , d'une hauteur égale à celle du niveau au-dessus du centre de l'orifice. Pour vérifier par l'expérience ce théorème trouvé par Toricelli , on peut ajouter à l'orifice un petit tuyau recourbé de bas en haut. On voit alors que le liquide s'élance à peu près à la hauteur du niveau. Or, on sait que la vitesse initiale d'une molécule lancée verticalement de bas en haut est égale à la vitesse

acquise en retombant (79). On peut concevoir ce résultat eu observant que la pression de bas en haut , par suite de laquelle les molécules liquides étaient entièrement privées de leur poids y venant à cesser dès que l'on pratique une ouverture au-dessous d'elles, ces molécules redeviennent subitement soumises à l'effet de la pesanteur, et doivent par conséquent tomber avec le mouvement ordinaire de la chute des graves. Puisque dans ce mouvement les vitesses sont entre elles comme les racines carrées des hauteurs de la chute, il s'ensuit que dans un liquide, dont le niveau est constant, la vitesse des molécules passant par l'orifice sera constante , et que pour des niveaux changeants leurs vitesses seront entre elles comme les racines carrées des hauteurs du niveau au-dessus de l'orifice. En effet, soient h et h' les deux espaces quelconques parcourus pendant deux chutes de durées différentes j soit / le temps de la première chute , et o' la vitesse acquise par elle; soit t' le temps de la 2™* chute et v' sa vitesse. Les espaces parcourus ou les hauteurs des chutes étant proportionnels au carré

du temps, l'on nt^\t'^\',h\h', d'où l'on tire t \t' \\\/h ', \/A' ; d'ailleurs les vitesses sont entre elles comme les temps , et l'on a V '. v' \\ t \ t' , comparant les deux dernières proportions, il résulte v 'v' \\ \/h \ \/h' , c'est-à-dire que les vitesses da liquide à l'opifice sont entre elles comme les racines -carrées des hauteurs du niveau au-dessus du centre de l'orifice.

Pour s'assurer de la vérité de ce principe, il suffit de laisser couler comparativement des liquides pendant un même temps , hors de vases ayant mêmes orifices; les dépenses de liquide seront évidemment , pour des orifices et des temps égaux , entre elles comme les vitesses: or, on trouve par cette expérience que les quantités de liquide écoulées sont les mêmes pour un niveau constant, et que pour des niveaux de hauteurs différentes elles sont entre elles comme les racines carrées de ces hauteurs ou des vitesses. Quelles que soient la nature des liquides et leurs densités, il s'en écoule en un même temps des volumes égaux, les hauteurs des niveaux et les orifices étant les mêmes. En effet, la pesanteur agissant de même sur tous les corps , les molécules de ces liquides quelconques devront avoir la même vitesse au moment de leur passage par l'orifice.

131. Le niveau d'an liquide s'abaissant à mesure que celui-ci s'écoule hors du vase qui le conlient, il résulte de ce que nous venons de dire que la vitesse de ses molécules devra diminuer aussi j mais si, à mesure qu'il s'écoule du liquide Lors du vase, on y en introduit de nouveau en quantité égale , le niveau étant constant, la vitesse d'écoulement sera invariable. Il est plusieurs moyens d'obtenir un niveau constant : nous n'en citerons qu'un seul , le plus général. Soit (f. 141) ah un vase où l'on veuille avoir un uiveau constant; disposons au-dessus de ce vase , un réservoir plein de liquide, correspondant avec le vase inférieur au moyen d'un tube / fermé par une soupape m : cette soupape est attachée à un fil passant sur des poulies pp' et allant se fixer à un flotteur ff , placé sur le niveau nn' , A mesure que le niveau nn' tend à s'abaisser dans ah par l'écoulement de e le flotteur tend aussi à descendre et soulève la soupape m. Il s'introduit alors du nouveau liquide dans 6a, ce qui fait aussitôt remonter le flotteur et refermer la soupape: ce jeu continuant sans cesse, il s'ensuit que le niveau nn' sera constant. Le tube t a pour but d'éviter le mouvement oscillatoire que le liquide imprimerait par sa chute libre au niveau nn' . Il est inutile de dire que l'écoulement par t doit être plus considérable que celui qui se fait par l'orifice e.

132. VITESSE. La vitesse d'un liquide qui s'écoule par un orifice percé à mince paroi dans le fond d'un vase, est égale au produit de 9^,8088 par la racine carrée de la hauteur du niveau au-dessus du centre de l'orifice, divisé par y/4'",9044.

La proportion \/ h\ \/ h' \\ v \ v' nous sert à trouver toujours la vitesse des molécules des liquides à l'orifice : en effet , soit v' celte vitesse cherchée : les trois autres termes de la proportion étant connus, il sera aisé de trouver v'; h est l'espace parcouru par un corps pendant sa première seconde de chute, c'està-dire , 4"°, 9044 ; v est la vitesse acquise au bout de cette seconde, c'est-à-dire 9*", 8088 ; h' est d'ailleurs la hauteur quelconque du niveau au-dessus du centre de l'orifice. Donc la proportion précédente revient à celle-ci y/ 4'",9044 * y/ hauteur du niveau \ * 9",8088 ! v' d'où v' = 9", 8088 X \/ hauteur du niveau.

On peu t aussi (76).déteriniaer la vitesse par la formule a» =y/2eg = V/i9'»,62 X h.

Tout ce qui a été dit des orifices percés dans le fond des vases s''applique aux orifices percés dans les parois latérales. En effet , un point d'une paroi latérale est pressé par le liquide absolument de même qu'un point égal de la paroi horizontale qui serait à la même dislance du niveau. Donc, les liquides devront s'écouler de même par un orifice horizontal et par un orifice vertical. Si l'orifice est incliné, l'écoulement subit des modifications dépendantes des pressions exercées sur cet orifice par le liquide du vase.

133. DÉPENSE DE LIQUIDE. La quantité de liquide écoulée hors du vase pendant l'unité de temps est évidemment égale à la vitesse multipliée par la surface de l'orifice; en sorte que, appelant d la dépense, v la vitesse et o l'orifice, nous avons l'équation d = V X 0. Soit proposé de connaître la quantité d'eau écoulée en une seconde, hors d'un vase dont le niveau constant est à un mètre de hauteur, par un orifice dont la surface est de 6 centimètres carrés. La profondeur du liquide étant de l", la vitesse

sera trouvée par la proportion y/A^jO ] y^ 1"" ',\ 9'",8 * y, d'oîi

Q^SXV/"! , , .

V = ■ = It^^Wi : la vitesse est donc de 442 centi-

V/4™,9 mètres par seconde : multipliant colle vitesse par la surface de l'orifice, on aura le volume de liquide écoulé, 442^ X 6*^^ = 2652c3 : la quantité de liquide écoulée pendant une seconde est donc de 2652 centimètres cubes. Pour connaître celle écoulée en un temps quelconque, il suffirait de multiplier celle écoulée en 1" par le nombre de secondes contenues dans ce temps.

j 34. VEINE CONTRACTÉE. La quantité de liquide qui s'écoule effectivement hors d'un vase, tel que nous venons de le supposer, n'est pas celle que nous ■^nons de calculer, mais n'est que de 1657, V2 centimètres cubes ; ce résultat effectif est au résultat théorique précédent comme 5] 8. Quelles que soient la profondeur du liquide et la grandeur de l'orifice, la quantité de liquide écoulée réellement n'est , de même que dans l'exemple précédent , jamais que les '/g de la quantité calculée qui aurait dû s'écouler. Celle diminution d'effet est due à la contraction de la veine : on appelle

( il2 ) ainsi un rétrécissement qui se fait dans la veine liquide, de telle manière qu'à une petite distance de Torifice son diamètre n'est plus que les Vg du diamètre de celui-ci. Tout le liquide devant passer par cette partie resserrée de la veine , nous devons la considérer comme le véritable orifice , et puisque son diamètre est au diamètre de celui-ci comme S | 8 , il est évident que le résultat réel ne pourra être que les Vs de celui qu'aurait donné l'orifice luimême, sans contraction de la veine.

La contraction de la veine est due à l'impulsion donnée aux molécules par suite de leur mouvement dans Tinlérieur des vases. Pour étudier ce mouvement il suffit de répandre dans le liquide qui s'écoule de petits corps légers (f. 142) , tels que des parties très tenues de cire à cacheter, qui, entraînées par les molécules liquides, nous feront connaître la marche de celles-ci. On voit par cette expérience que les molécules descendent de tous les points de la surface, d'abord verticalement, et que vers le fond elles décrivent une courbe pour gagner l'orifice : c'est à ce mouvement curviligne qu'elles doivent l'impulsion qui produit la contraction de la veine.

La surface du liquide s'abaisse en demeurant parfaitement horizontale jusque vers le fond, où elle se creuse au-dessus de l'orifice. Toute la surface du liquide restant horizontale , il faut évidemment que les molécules qui la composent descendent toutes avec une vitesse semblable jusque vers le fond. Nous devons donc nous représenter la masse liquide qui s'écoule comme formée d'une multitude de petites tranches horizontales parallèles, dans toute l'étendue de chacune desquelles les molécules liquides ont la même direction et la même vitesse. Celte hypothèse est connue sous le nom de parallélisme des tranches.

135. Puisque, par effet de la contraction de la veine liquide le résultat réel de l'écoulement n'est que les ^/g du résultat théorique, il s'ensuit que, ayant évalué CQJui-ci par le calcul, il sera toujours facile de connaître le premier; pour cela il suffira de changer la formule (^ = ov en celle-ci J :^ ^/g X ov.

Quand on adapte à l'orifice par lequel l'écoulement a lieu des tuyaux de certaines formes , courts et susceptibles d'être mouillés par le liquide, les dépenses deviennent plus considérables que celle faite par l'orifice percé à mince paroi : c'est ainsi que la

dépense faite par l'orifice libre n'est que les '"/js de celle faite par cet orifice muni de l'ajutage cylindrique (f. 145). Cela est dû à ce que la résislauce de Tair et l'attraction existant entre les molécules du tuyau et celles du liquide , forcent ces dernières à suivre les parois de l'ajutage et à prendre ainsi des directions qui diminuent la contraction de la veine liquide. Quand l'ajutage cylindrique est évasé au -dehors , les molécules liquides sont forcées de suivre des directions encore plus opposées à celles qui produisent la contraction , que dans le cas du tuyau cylindrique simple, et la dépense est encore augmentée davantage. Le maximum d'effet est produit par un tuyau formé de deux troncs de cône opposés ; la dépense faite par un pareil luyau est à celle faite par l'orifice percé à mince paroi comme 150 est à 100.