DES MOMENTS BT DES ÉQUATIONS D*£QUIL1BRE

sommet, les trois forces P, Q, R tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens autour du point O ; et la figure a8 montre que , si le point O est situe dans l'angle BAC ou dans son opposé au sommet , les forces P, Q tendent à faire tourner leurs points d'application en sens opposés ; on voit , en outre , sur la même figure , que la résultante R tend à faire tourner son point d'application dans le même sens que la composante qui a le plus grand moment. Ainsi les forces, qui donnent des moments de signes contraires, sont précisément celles qui tendent à faire tourner en sens opposés leurs points d'application autour du centre des moments.

On peut donc donner au théorème précédent cet autre énoncé, qui a l'avantage de pouvoir facilement s'étendre à un nombre quelconque de forces dirigées dans un même plan , savoir :

Lorsque deux forces sont appliquées à un même point, le moment de la résultante y par rapport a un point queU conque de leur plan ^ est égal a la somme ou a la diffé^ rence des moments des composantes y selon qu^ elles ten^ dent à faire tourner leur point d^ application dans le même sens ou en sens opposés , autour du centre des mo' mentSy et la résultante tend à faire tourner dans le même sens que la composante quia le plus grand moment.

Enfin , en ayant soin de donner aux moments les signes convenables, on peut encore énoncer le même théorème plus simplement de la manière suivante :

Le moment de la résultante de deux forces qui concourent , pris par rapport à un point quelconque de leur plan^ est égal à la somme algébrique des moments des composantes*

Le théorème, ainsi présenté, se résume dans la formule

Rr=z=P/?-l-Qy.

A lavenir, dans tous les cas analogues^ nous entendrons par le mot somme la somme algébrique , ce qui donnera plus de précision aux énoncés.

67. Remarque II. Dans le cas où les directions des forces données sont rectangulaires , la relation ci-dessus, entre les moments des composantes et de la résul* tante, devient lequation de la droite qui représente cette résultante , et, par conséquent , sert à déterminer sa direction.

Fig. 29. Car soient P, Q, R les trois forces , et O le centre des moments, pris, par exemple, dans Tangle IAK, opposé de Tangle BAC formé par les directions des composantes. Si Ton admet que fa force P est celle qui a le plus grand moment, on aura (65)

(i) Rr=Pp— Q^r.

Or, si Ion mène par le point O deifK axes rectangulaires OX , OY, respectivement parallèles aux forces P, Q , les perpendiculaires OK , 01 , ou y, /?, deviendront les cordonnées ^,/ du point d'application A, de sorte qu'en désignant par X , Y, les forces P, Q , et par n le moment de la résultante R , la relation (i) deviendra

(2) Xj — Yj: = /i.

Quoique cette équation ait été obtenue dans le cas particulier de la figure 29 , on peut aisément vérifier qu'elle est générale , en ayant soin de donner des signes convenables aux cinq quantités qu'elle renferme.

On conviendra , par exemple , de prendre positivement

I® Les forces parallèles aux axes OX , OY, lorsqu'elles agiront pour écarter leur point d'application des axes OY, OX.

2° Les ordonnées y situées au-dessus de l'axe OX, et les abscisses x situées à droite de l'axe OY.

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3^ Les moments des forces qui tendent à faire tourner leur point d'application de gauche à droite, dans le sens de la flèche autour du point O , suppose lié d une ma*- Fig. 29. nîère invariable au point d application A.

Alors les mêmes grandeurs, situées ou dirigées en sens inverse, seront prises négativement.

Les quantités X, Y, /i étant censées connues, Féquation (2) établit donc une relation constante entre les coordonnées x^jr d'un point quelconque de. la droite AD , et, par conséquent, est l'équation de cette droite.

68. Théorème. Lorsque des jorces , appliquées a un même point ^ sont situées dans un même plan ^ le moment de la résultante f pris par rapport à un point quelconque du plany est égal à la somme des moments des composantes^ par rapport au même point.

Ce théorème se déduit immédiatement du précédent dont on peut le regarder comme un corollaire. Car soient P, P', P". . . les forces données. Si l'on ne considère d'abord que les deux forces P, P', et qu'on prenne leur résultante R', en adoptant la même notation que cî-dessus (65), on aura Ry=:Py? +F/?'. Combinant alors cette première résultante R' avec la force F', et prenant leur résultante R", on aura de même

RV"=RV'+Py',

ou bien, en substituant àR'r' sa valeur,

R'V '=P/? +p>'+py'.

En continuant ainsi jusqu'à ce qu'on ait employé toutes les forces données, et nommant R la dernière résultante obtenue , on aura

Rr=P/> + Py + Py + etc. . .;

de plus, le signe de la somme des moments indiquera dans quel sens agit la résultante.

6g. Remarque. Si le point, pris pour centre des moments , est situé sur la direction de la résultante R, li perpendiculaire r est nulle , et , par suite y la somme des moments des composantes est égale à zéro ; on a donc

70. Corollaire. Quand les forces proposées se font équilibre, leur résultante est nulle; et, par conséquent, la somme des moments des composantes, par rapporta un point quelconque du pian , est toujours égale à zéro; on a donc

Py, 4- py + py -H etc . . .= o.

71. Théorème. Lorsque des forces , appliquées a m même point , sont dirigées d^une manière quelconque dans V espace , le moment de la résultante ^ par rapport à une droite quelconque, est égal à la somme des moments des composantes par rapport à la même droite.

Fig. 3o. Car soient F, F, P",. . . les forces données, et R leur résultante, représentées par les droites AB, AC, AD, ... AL. Par un point O de la droite donnée XX', menons un plan MN qui lui soit perpendiculaire, et projetons, sur ce même plan, les forces AB, AC, AD,... AL, en A'B', AC, AD', . . . AV. Comme AL' (5g) est la résultante des forces A'B', A'C, A'D',. . ., si du point O Ton mène sur les directions de ces forces les perpendiculaires OA, Ocj.Odj. . .0/, on aura (68)

AL' . OZ = AB' . Oi + AC . Oc + AD' . Od + etc.

Or, A'L'.O/, A'B'.OA,. . . étant (64) les moments des forces P, F, P",. . .R, par rapport à Taxe XX', si l'on représente par />, /?', y ,. . .r les plus courtes distances des forces à la droite XX', on aura donc , en général ,

Rr= Pp 4- F/ 4- Py -+- etc.

7a. Théorème. Lorsque deux forces parallèles a^issçr^

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dans leiméme sens, le moment de leur résultante, par rap^ port a un plan parallèle à leur direction , est égal à la tomme des moments des composantes , par rapport au même plan.

Soient P, Q, les deux forces données , R , leur résul- Fig. 3i. tante, etMN un plan quelconque parallèle à leur direction. Par les points d^application A , B, L , menons à ce plan les perpendiculaires AA', BB', LL', joignons B'A', et par le point B menons à B'A' la parallèle Ba, qui rencontre AA' en ^1 , et LL' en /. On a vu (34) que les forces P, Q , R sont liées entre elles par les proportions