LB:AB::P:R, LA:AB::Q:R

Or, d'après la démonstration du théorème précédent (72), les trois points L, A, B, donnent

AA'.LB=LL'.AB+BB'.LA, d'où LL\AB=AA'.LB^BB'.LA.

Substituant à LB et LA les valeurs tirées des deux propor-

DES MOMS9TS ST 1>ES ISQUÀTIONS d'ÉQVILIBRB. S^

kions ci-dessus , il vient après la réduction ,

LL'.R=i=AA'.P BB\Q,

Ce qui démontre le théorème.

Ainsi, en représentant par/?^ q, r les distances des forces au plan MN , on a

Rr=P/? — Q^r.

y 5. Théorème, Lorsqu^on a dans V espace un nombre quelconque de forces parallèles^ le moment de leur résultante^ par rapport a un plan parallèle a leur direction , est égal a Vexcès de la somme des moments des compomantes qui tirent dans un sens^ sur la somme des moments des composantes qui tirent en sens contraire , ou, en d'antres termes, le moment de la résultante est égal a la somme algébrique des moments des composantes par rapport au même plan.

Car soient P, P, P'^ • • • les forces qui tirent dans un sens, Q, Q', Q",« . • celles qui tirent dans le sens opposé, et /i, p'y p\ ... y, j', q' 1 . . . leurs distances au plan donné MN, parallèle à leur direction. Si Ton considère d*abord les forces P, P', P", .... en combinant deux d'entre elles P , P' et nommant R, leur résultante , on aura (72) RjT, =P/? 4- P'/;'. Combinant ensuite les forces R, P", et nommant R, leur résultante, on aura pareillement R, r, =:Rj Tj 4- P"/?". Continuant ainsi jusqu'à ce qu'on ait employé toutes les forces de même sens , et appelant R' leur résultante, il est clair qu'on aura en définitive

Ry=P/> + F/ + PV'+

Opérant de même sur les forces Q, Q', Q",.... qui

agissent toutes dans un même sens , opposé à celui des

premières, et nommant R" leur résultante, on aura de

inéme

R'V''=Qy 4- Q'î' 4- 0"?"+

Le système des forces proposées étant ainsi remplacé

6o CHAPltRI II.

par les deux forces R', R'' qui agissent en sens contraires, si Ton désigne leur résultante par R, on aura (74)

Rr=RV~.R"r", et enfin , en substituant à RV, R"r" leurs Taleurs,

Rr=P/;+py+ py+. . .— (QÎ+QV+QV+- ••)»

ce qui démontre le théorème.

Si Ton regarde comme positives les forces P, P', P",.** qui agissent dans un sens, et comme négatives les forcef Q, Q', Q'',. • . qui agissent dans le sens opposé, l'égalité précédente devient

Rr=Pp4-F/?'-f.Py+ . . , + Qy + Qy+Q'y + .,,

76. REMA.RQUB. Pour quc la dernière égalité convienne à tous les cas, il faut donner des signes contraires, i^ aux forces qui agissent dans des sens opposés , a^ aux perpendiculaires abaissées sur le plan MN, qui correspondent à des forces situées de différents côtés de ce plan.

Ainsi, en convenant de regarder comme positives les forces qui agissent dans un sens déterminé, il Êiudri prendre négativement celles qui agissent dans le sem opposé. De même, en convenant de regarder comme positives les distances du plan MN à des forces situées d'un certain côté du plan, il faudra prendre négativement les distances du même plan aux forces situées de l'autre côté. Ayant ainsi déterminé le signe des deux facteurs du produit dont chaque moment se compose, on aura donc le signe du moment lui-même sans la moindre incertitude.

Ces considérations , comme celles des n^ 67, 78, 78, s'accordent parfaitement avec la manière dont nous avons envisagé les quantités négatives dans notre Algèbre (a* éd., n~ i4 et suivants).