Théorème. Lorsque des forces parallèles agisseiU

DIS MOMINT8 ET DBS là^^UÂTlONS D EQUILIBRE. 6t

dans un même plan, le moment de leur résultante ^ par rapport a un point quelconque du plan , est égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point.

Car soient P, F,. . . . Q, Q',. ... les forces données, Kg. 84. qui agissent dans le plan MN, R leur résultante, et O le point pris pour centre des moments. Abaissons de ce point sur la direction des forces une perpendiculaire OK qui les coupe aux points A, A',, . . B, B',. . . L. Si Ton mène, par le point O, une parallèle OO' à la direction des forces, et, par cette parallèle , un plan perpendiculaire au plan MN, il est évident que les droites OA, OA',...OB, OB', .... OL, seront les distances des forces à un plan parallèle à leur direction ; on aura donc (^5)

R.OL=P.OA-|-F.OA'.... +Q.OB-f-Q'.OB'.....

ce qui démontre le théorème.

78. Remarque. Pour que cette égalité convienne à tous les cas, il faut (comme au n^ 76) donner des signes , contraires , i** aux forces qui agissent dans des sens opposés ; a° aux distances telles que OA, OB comptées à partir du point O dans deux sens différents. Si donc on convient que les forces P, F. . . et les distances OA, OB,. .

. seront affectées du signe + , il faudra prendre avec le signe — les forces Q, Q', ... et les distances O A', OB'. . . . Par conséquent, les moments P . OA, Q'. OB' seront positifs, et les moments P'.O A', Q.OB seront négatifs. Or, si Ion suppose que le centre O des moments soit fixe et lié d'une manière invariable aux points d'application des

' forces , il est évident que les forces P, Q' tendront à faire tourner, dans un même sens, leurs points d'application A, B' autour du centre O, tandis que les forces P, Q tendront à faire tourner les leurs autour du même centre en

' sens contraires. De là résulte le principe suivant :

6% cbapitbJb u.

Deuxjorces parallèles ont des moments de même signe ou de signes contraires^ selon quelles tendent a f airs tourner leurs points d^application , autour du centre des moments , dans le même sens ou dans des sens opposés.

Le même principe ayant été déjà démontré (66) pour j deux forces qui concourent, se trouve donc généralise pour des forces dirigées d'une manière quelconque dans un plan.

Il est de même de la Remarque n° 69 et du Corollaire n^ 70, qui s'appliquent ici mot pour mot,

y g. Thborbmb. Lorsque des Jbrces parallèles ^ situées dans un même plan ^ se réduisent à un couple, la sommt de leurs moments y par rapport à un point quelconque iâ plan , égale une quantité constante qui ne peut jamaù être nulle.

Car soient P, P*, . . . . Q, Q',. . . . des forces parallèles, situées dans un plan MN et qui se réduisent au couple R', R". En opérant comme tout à l'heure (7$) et désignant par py p\. . . . q, q\, . ^ . les. peipendiculaires abaissées du centre des moments sur les directions des forces, on voit que P, P' • . * ,R', d'une part, et Q, QV»** R'\ d'autre part, donneront les deux égalités

R'/=Pp + Py +...., RV'=Qy + QY + ....,

faisant leur somme, il vient, à cause de R' == R'',

R'(r' + r")=P/? + P>' + .... + Qy + Qy-f-....

Comme la somme r' + /\ qui exprime la distance des deux résultantes partielles R', R", ne varie pas, quel que soit le point pris pour centre des moments , il est clair que l'égalité précédente démontre le théorème énoncé.

La réciproque de cette proposition est également vraie, comme il est £acUe de le voir.

DES MOMKNTS ST IDKS BQUJlTIONS D EQUILIBRE. Si

80. Théorème. Lorsque des forces^ dirigées d^une mamère quelconque dans un même plan y ont une résultante^ son moment y par rapport à un point duplan, est égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point.

En effet, soient P, P', P",. . . P„ les forces données dans un pUn MN. Puisque, par hypothèse, les forces proposées ont une résultante , on pourra toujours choisir deux d entre elles P, P' qui ne soient pas à la fois égales, parallèles et de sens contraires ; ces deux forces auront donc une résultante R'^ et d'après Tun des théorèmes précédente (65, y% ou j4)} ^^ prenant les moments par rapport à un point du plan MN, on aura

RV = Pp + P>'.

Par la même raison, il y aura toujours parmi les forces restantes une force telle que F', qui ne sera pas à la fois égale, parallèle et de sens contraire avec la résultante partielle R', Combinant les forces R', P", et nommant R" leur résultante, en prenant les moments par rapport au même plan, on aura comme tout à F heure

RV'=RV-f.Fy, ou bien

R'v" = Pp -f. Fy -f. vy\

n est clair qu'on pourra toujours continuer ainsi jusquà ce qu on ait épuisé toutes les forces proposées^ puisqu'elles ont une résultante R , qui sera précisément la résultante de la dernière résultante partielle R^-i et de la dernière force P^ du système , de sorte qu'on obtiendra l'égalité

et en substituant à R^^^, r^i sa valeur tirée de l'égalité

64 CAJlPITRI II.

qui précède, il viendra enfin

Rr=P/H.Py+P'>"+ + PnPn,

ce qu'il fallait démontrer.

Quant aux signes des moments , il sera facile de les déterminer d'après le principe général établi ci-dessus (78).

81. CoROLLURB. Lorsque les forces données se font équilibre, on a R = o, et par suite

p/?+py+py+...= o.

Donc, si des forces^ dirigées d^wie manière quelconque dansunplan^ se font équilibre y la somme de leur moments par rapport à un point quelconque du plan est nulle.

Ceci étend le corollaire n® 70 à des forces dirigées dune manière quelconque dans un plan.

8â. Théorème. Lorsque des forces dirigées élans l'espace ont une résultante , le moment de la résultante y par rapport a une droite quelconque , est égal à la somme des moments des composantes^ par rapport a la même droite.

Car si Ton projette les forces données P, P', P" . . . . et leur résultante R, sur un plan MN perpendiculaire à la droite donnée OX, la projection R, de la résultante sera (59) la résultante des forces P, , P/, P/%. . . représentées par les projections des forces P, P', P", . . . sur le même plan. Par conséquent si^ comme dans le théo- Fig. 27. rème n*' 71, on représente par r,^, p\ p" y . . . , les perpendiculaires abaissées du point O, intersection de la droite OX et du plan MN , sur les directions des forces R,, P,, F,,. . . c est-à-dire les plus courtes distances des forces R, P, P',. • • à Taxe OX, on aura

R.r=P,/? -f- P.y + P/>" + etc .

Or, d après la définition (64), R,r,P,/?, P//i', • . sont

DES MOMENTS ET I>ES EQUATIONS d'ÉQUILIBRE. 6S

les moments des forces R , P, F,. . • par rapport à OX. L'égalité précédente démontre donc le théorème énoncé.

83. Remarque. On a vu (n** 66 et 78) que deux forces Pi 9 Pz^ situées dans un même plan , ont leurs moments Pz/'>Px'/'^ ^® même signe ou de signes contraires, suivant qu'elles tendent à faire tourner leurs points d'application,* autour du centre O des moments, dans un même sens ou dans des sens opposés. Or V^p^V^p sont les moments des forces P, P' par rapport à Taxe OX. Il suit donc de là que

Deux forces ont leurs moments , par rapport a un axCy de même signe ou de signes contraires^ selon quelles tendent a faire tourner leurs points d^ application ^ autour de Vaxe des moments y dans le même sens ou dans des sens opposés,

84* Corollaire I. Si les forces données se font équilibre, leur résultante est nulle, et par conséquent sa projection est nulle aussi; on a donc Rir=o. Donc,

Si desforces se font équilibre dans V espace^ la somme de leurs momentSy par rapport à un axe quelconque^ est nulle,

85. Corollaire II. Lorsque les forces données ne se font pas équilibre, elles peuvent toujours (5i) se réduire à deux forces R', R'', situées, en général, dans deux plans différents. Donc si l'on oppose aux forces R', R", deux forces égales et contraires — ^R', — R", il y aura équilibre entre ces deux dernières forces et les forces proposées. Par conséquent, la somme des moments de toutes les forces de ce nouveau système sera nulle. Mais si, par rapport à un même axe, on appelle M la somme des moments des forces données, et m\ m\ les moments des forces R', R", il est clair que ceux des forces — R', — R" seront — m', — ni' , Ainsi l'on aura — ni — ni' -^ M = o, d'où 7w'+ ni' = M.

Donc, la somme des moments de forces quelconques dans Vespojce^par rapport a un ojce^ égale celle des moments des deux forces auxquelles on peut toujours les réduire.

Le même principe s'applique évidemment à des forces M. Statique. 5

dirigées d'une manière quelconque dans un plan, puisque d'ailleurs elles peuvent toujours (46) se réduire à deux forces situées dans leur plan.