MV + MV

En calculant les distances X, Y, Z, du centre de gravité à trois plans, qu'on peut si:^pposer, pour plus de simplicité, rectangulaires entre eux, la position de ce point dans l'espace sera complètement déterminée.

L'expression MV, qui s'énonce le moment de h 771^556 M', n'est autre chose que le produit de cette masse par la distance de son centre de gravité au plan que Ton considère.

On voit par les équations de la dernière forme, que la position du centre de gravité est indépendante de l'action de la pesanteur, comme on Fa déjà reconnu (i33).

iSj. Lorsque les masses du système, supposées aii nombre de /z, sont égales, on a

DBS CBIITRES DB GKÂITITB. I09

Donc dans un système de corps de même masse ^ la diS" tance du centre de gravité d^un plan quelconque est égale a la moyenne distance des centres de gravité de tous ces corps a ce plan,

i38. Dans le cas particulier où le plan par rapport auquel on prend les moments passe par le centre de gravité d'un système de corps qoeiconques, on a X=o, et par conséquent

Donc la somme des moments des masses y par rapport à un plan passant par le centre de gravité du système y est toujours nulle y ou en d'autres termes, la somme des moments des masses situées d'un même côté du plan est égale à la somme des moments des musses situées de Poutre côté,

"Réciproquement, si Ton a MV-f- M'V-f-. . . = o,on en conclut X = o.

Donc lorsque la somme des moments des masses^ par rapport a un plan y est nulle y le centre de gravité du système est dans ce plan,

U est facile de tirer de là les mêmes conséquences qu'au n^ i36, pour les deux cas particuliers où les centres de gravité des corps sont, i^ dans un même plan, a^ sur une même droite.

139. Lorsque les centres de gravité de tous les corps sont dans un même plan, comme celui du système doit être aussi dans ce plan y si Ton prend les deux autres plans coordonnés perpendiculaires au premier, il est clair que les distances des divers centres de gravité à ces deux plans seront les mêmes que leurs distances aux traces de ces plans sur le premier.

Donc si dans le plan des centres de gravité, l'on mène deux axes non parallèles, et que d'ailleurs, pour chacun

IIQ GSÂPITIUI HP.

d'eux I on ait soin de regarder comme positifs tous moments des masses situées d'un même €oté de Taxe, puii comme négatifs ceux des masses situées de Tautie coté, on conclut de ce qui précède que

Les (fi^tances respectives du centre de gravité du, système 0140: deux cuves, sont ég(^^os aux deux sommes respeetivet iies moments de toutes les masses, par rapport aux mimes axes y divisées par la somme des masses.

Menant aux distances trouvées, et du côté indiqué par leur signe, deux parallèles aux axes, leur intersection donnera le centre de gravité.

i4o. Enfin, lorsque les centres de tous les corps sqnt sur une même ligne droite, comme celui du système doit être aussi sur cette droite, il ne restera qu*à déterminer sa distance à un plan, qu'on prendra, pour plus de facilité, perpendiculaire à la droite. Alors les distances des centres de gravité des corps au plan seront les mêmes que leurs distances au point d'intersection de h 4roite et du pl^n.

Donc si plusieurs corps ont leurs centres de gravité sut une même droite y la distance du centre de gravité du srS" tèpie a un point pris -arbitrairement sur cette droite^ est égah à la somme des moments des masses, par rempart à ce point , divisée par lu somme des masses.

Si donc on a soin de regarder comme positifs les moments des ms^sses situées d'un même coté du point, et comme négatifs ceux des masses situées de Tautre côté, en prenavit à partir de ce point, et du côté indiqué par le signe, une longueur égale à la distance trouvée^ on s|ura la position du centre de gravité.

i4i* Lorsque le corps ou système n'est pas susceptible de se décomposer en parties dont on connaisse les centres de gravité, on ne peut, en général, déterminer le centre de gravité du cprps qu'à l'aide du calcul intégral

DES GENTRBS DB eRATTTE. III

Toutefois on peut obtenir assez simplement ceux de la plupart des corps dont on s'occupe en Géométrie, comme nous allons le faire voir.

Nous supposerons , pour plus de simplicité , les corps homogènes ou uniformément denses dans toutes leurs parti^. Dans ce cas, les poids P', P",...des corps d'un système , deviennent proportionnels aux volumes T',V",. . .de ces corps, et les équations ci-dessus prennent la forme

On ne détermine ordinairement les centres de gravité des lignes, surfaces et volumes considérés en Géométrie, qu'en les supposant homogènes et doués d'une pesanteur uniforme en tous leurs points. Ainsi dans la détermipation du centre de gravité de Taire d'un triangle, il fa\idra sous-entendre que les points de ce triangle sont sollicités par des forces égales , parallèles et de même sens ; alors le centre de gravité du triangle sera le centre de ces forces parallèles, ou bien le point d'application de leur résultante.

On voit que la position du centre de gravité ne dépendra plus que de la figure, de sorte que la recherche des centres de gravité rentrera dans les problèmes de Géométrie.

§ 3. — Des centres de gravité des figures.

142. Théorème. Toute figure symétrique ^ par rapport €g un point y ou ayant un point tel qu'un plan quel" conque mené par ce point la coupe en deux parties symé^' triques y a son centre de gravité en ce point y qui est le centre défigure.

Car tout plan mené par le centre de la figure^ la

lia GHÀPiTaB IV.

coupant en deux parties symétriques , doit évidemment contenir le centre de gravité, puisque ce centre est un point unique ne dépendant que de la ligure^ et que, par conséquent , il n*y a pas de raison pour qu'il se trouve d'un côté du plan plutôt que de l'autre côté. Le centre de gravité devant ainsi se trouver dans tous les plans qu'on peut mener par le centre de figure, sera donc à leur intersection , qui n'est autre que ce dernier point.