DES CENTRES BE GRAVITÉ

S !• Considérations générales sur les corps pesants et sur les centres de grai^ité.

i3o. Dans tout ce qui précède, nous avons fait abstraction de la pesanteur des corps ; nous allons maintenant avoir égard à cette propriété générale de la matière, et faire voir comment les principes établis plus haut s'appliquent à l'équilibre des corps, tels qu'on les rencontre dans la nature.

On Si^pelXe pesanteur ou gravité la cause inconnue qui précipite les corps vers la surface de la terre, aussitôt qu'ils cessent d'être soutenus.

La pesanteur, étant une cause de mouvement , peut donc être regardée comme une force. Son action pénètre intimement les masses des corps, et s'exerce séparément sur toutes leurs molécules , comme si elles étaient simplement en contact. Car on sait que, dans le vide , une balle de plomb et le plus petit morceau de liège , par exemple , tombent de la même hauteur avec la même vitesse. Ainsi, l'action de la pesanteur peut être représentée par des forces appliquées à tous les points matériels du corps. Il ne reste donc à déterminer que leurs directions et leurs intensités.

La direction de la pesanteur est indiquée par celle que suivent les corps , en tombant librement aussitôt qu'on

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les abandonne à eux-mêmes. Elle est très-bien repré' sentée par un fil à plomb en équilibre , ou par la perpendiculaire à la surface des eaux tranquilles. Cette direo tion est ce qu'on nomme la ^verticale du lieu , et tout plan perpendiculaire à la verticale se nomme plan horizontal. Les directions de la pesanteur, en différents lieux de la terre , concourent sensiblement vers son centre, à cause de la forme à peu près sphérique de sa suriace. Mais comme les corps que Ion considère ordinairement dans la Statique ont des dimensions minimes^ par rapport au rayon terrestre^ qui égale 636 myriam êtres, en nombres ronds, on peut, sans erreur sensible, regarder comme parallèles deux verticales peu éloignées qui vont se rencontrer à une aussi grande distance.

U intensité de la pesanteur varie à la surface de la terre avec la latitude , depuis Téquateur où elle est la plus petite, jusqu'au pôle où elle est la plus grande. Elle varie aussi, sur une même verticale, avec l'élévation audessus de la surface terrestre , et diminue en raison inverse du carré des distances au centre du globe. Mais comme ces variations ne deviennent sensibles que pour des changements très-considérables en latitude et en hauteur, nous pouvons les supposer nulles dans la Statique.

Ainsi, dans tout ce qui va suivre, nous regarderons tout corps pesant comme composé de molécules égales, sollicitées par de petites forces égales, parallèles et de même sens. Nous pourrons donc appliquer aux forces provenant de la pesanteur, les mêmes raisonnements qu'à un système de points matériels liés entre eux d'une manière invariable.

i3i. 11 résulte immédiatement de là que, pour un corps quelconque, i° la résultante de toutes les actions parallèles de la pesanteur est parallèle a leur direction commune^ c^est'Ci'dire est verticale; o:^ quelle est égale a leur somme.

DES CENTRES DE GRAVITÉ. loS

L'intensité de cette résultante est ce qu'on nomme le foids du corps. Il est facile de voir que ce poids est indépendant de la forme ou de la figure du corps , mais proportionnel au nombre de molécules matérielles dont il se compose, ou à la quantité de matière qu'il renferme, et qu'on appelle sa masse.

Ainsi le mot pesanteur ou gravité désigne la cause qui attire les corps vers la terre ; et le mot poids exprime la force particulière qui en résulte pour chacun d'eux , ou l'effort qu'il faut déployer pour les soutenir.

De plus^ il est évident que, pour des corps homogènes, le poids est proportionnel au volume.

13a. Nous avons vu (44) <iue , pour tout système de forces parallèles et de même sens, il existe un point unique nommé centre des forces parallèles^ et par lequel passent toutes les résultantes successives du système des forces^ lorsqu'on les fait tourner autour de leurs points d'application , tout en conservant leur parallélisme. Mais si, au lieu de faire varier la direction commune des forces, le corps restant fixe, on suppose cette direction constante , ce qui est le cas de la pesanteur, et qu'on fasse tourner le corps dans l'espace, il est clair que la résultante passera toujours par le même point du corps. Or, dans les diverses positions qu'on peut faire prendre à un corps pesant, les forces de la pesanteur restent les mêmes et agissent aux mêmes points^ sans cesser d'être parallèles. Il existe donc, dans tout corps pesant , un point unique par lequel la direction du poids passe toujours , de quelque manière qu'on tourne ce corps dans l'espace. Ce point remarquable est ce qu'on nomme le centre de gravité.

i33. Le centre de gravité d'un corps n'est donc autre chose que le centre des forces parallèles de la pesanteur, appliquées à tous ses points matériels. Par con-

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séquent , il résulte de ce qu'on a établi plus haut (99) que la distance du centre de gravité à wi plan quelconque est égale a la moyenne distance de tous les point» matériels du corps au même plan^

Ainsi la position du centre de gravité dans les corps ne dépend nullement de l'intensité de la pesanteur, mais uniquement de la manière dont les points matériels sont disposés les uns par rapport aux autres; ou, en d'autres termes^ le centre de gravité^ pour les corps homogènes, est le même que le centre de figure.

i34* Si le centre de gravité d'un corps soumis à la seule action de la pesanteur est supposé fixe ^ il est clair que le corps sera en équilibre dans toutes les positions possibles autour de ces points \ car, dans quelque position que ce soit , la résultante de toutes les forces de la pesanteur passera par le même point fixe , et , par conséquent, son effet sera détruit.

De là résulte un moyen très-simple de trouver le centre de gravité d'un corps de forme quelconque , homogène ou hétérogène. On le suspend à un point fixe, au moyen d'un fil dont l'extrémité inférieure est attachée à un point de sa surface, et l'on attend qu'il soit en équilibre. Alors le poids du corps, qui est une force verticale appliquée à son centre de gravité, a la même direction verticale que le fil, et se trouve détruit par la résistance du point fixe, comme s'il y était immédiatement appliqué. Le prolongement du fil va donc, dans l'état d'équilibre, passer par le centre de gravité du corps, tl en sera encore de même, si l'on attache l'extrémité inférieure du fil à un autre point de la surface du corps ; et, par conséquent, l'emplacement de son centre de gravité sera déterminé par l'intersection des prolongements du fil tracés successivement dans l'intérieur du corps dans ces deux positions.

DES CEin;RB8 DB «RATITÉ. tOJ

1 35. Si Ton conçoit qu'on ait remplacé toutes les actions de la pesanteur qui s'exercent sur un corps, par leur résultante appliquée au centre de gravité, laquelle produit identiquement le même effet, il est clair qu'on pourra considérer le centre de gravité comme un point où toute la masse du corps est concentrée, A l'aide de cette observation , on simplifie beaucoup la solution des problèmes où l'on veut avoir égard à la pesanteur. Car si l'on regarde chaque corps d'un système quelconque comme réduit à son centre de gravité, censé sollicité par une force égale et parallèle au poids du corps , en combinant ces nouvelles forces avfec les autres forces données, on pourra, d'après les théories précédentes, obtenir les conditions d'équilibre, absolument de la même manière que si tous les corps du système étaient sans pesanteur. Il ne reste donc plus qu'à faire voir comment on peut déterminer les centres de gravité des différents corps ou systèmes qu'on peut avoir à considérer.

S 2. Détermination du centre de gravité d*un système de corps pour chacun desquels ce centre est connu.

i36. Lorsqu'un corps ou système peut être considéré comme composé de parties dont on connaît individuellement les centres de gravité et les points respectifs , on en déduit îmmédiatetnent le centre de gravité du cotp^ ou système. Car ce centre n'est évidemment autre chose que le centre des forces parallèles et de même âens, égales aux poids des corps et appliquées aux centres de gravité respectifs. On pourra donc le déterminer, soit par la composition successive des forces (4a), soit par la théorie des moments (9g).

Il résulte de la construction indiquée au n° 4^ (fig* 2o)> que si les centres de gravité de tous les corps particuliers

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que l'on considère sont, i*" dans un même plan; a* sur une même droite , le centre de gravité de tout le sp* tème sera pareillement, i* dans le même plan; a"* sur la même droite. Les mêmes conséquences peuvent aussi se conclure de la théorie des moments.

D*abord si Ion représente par F, P",. . .les poids des différents corps du système, et par X, a!^ x'\. • .les distances des centres de gravité du système et des corps à un plan , on aura (99) :

^ PV + PV-i-...

et comme les masses sont proportionnelles aux poids, si Ton désigne par M', M", . . . celles des corps dont les poids sont P', P'',. . .la formule ci-dessus deviendra