GHiPiTRB nr

centre de gravite du prisme se trouve sur la droite ou axe^ qui joint les centres de gravité des deux bases.

Il reste à faire voir que ce point est au milieu de Taxe. Pour cela, si Ton désigne par H la hauteur commune des prismes et du parallélipipède , par y la distance du centre de gravité du prisme proposé à la base ABC, et par j' la distance du centre de gravité de chaque prisme partiel à la même base, en prenant les moments par rapport au plan ABC, celui du prisme proposé sera V/, celui

du parallélipipède sera , et ceux des prismes partiels

seront -r • /'. On aura donc

d'où Y—^.^t.

Appliquant encore ici , mot pour mot, tout ce qui a été dit (i4S) pour les triangles, et observant que les prismes partiels successifs ont tous la même hauteur H , on aura donc

d'où l'on tire, par des substitutions successives,

DBS CBHT&B8 DB GRÀTIli. IsS

On a donc rigoureusement (voyez la note du n<* i45)

Donc enfin le centre de gravité du prisme est au milieu de son axe.

iSa. Problemb V. Déterminer le centre de gravité^ 1° d*une pyramide triangulaire; a* d^ une pyramide quel" conque?

Concevons la pyramide triangulaire S ABC , comme Fig. 5i. composée d*une infinité de tranches très-minces parallèles à la base ABC. II est évident que la droite SD , menée du sommet S au centre de gravité D de la base, coupera cette base et toutes les tranches parallèles en des points semblablement placés, et , par conséquent, passera par les centres de gravité de toutes ces tranches. Donc le centre de gravité de leur système , c'est-à-dire de la pyramide , sera sur la droite SD. -

Considérant un autre sommet A comme le sommet de la pyramide, qui alors aura pour base la face opposée SBC, on fera voir, comme tout à Vheure, que le centre de gravité de la pyramide doit aussi se trouver sur la droite AE , menée du sommet A au centre de gravité Bl de la base ; par conséquent , il sera donné par Tintersection des droites SD , AE , qui doivent donc nécessaiï'eraent se rencontrer.

Il est d'ailleurs facile de faire voir directement que les droites SD, AE, sont situées dans un même plan. Car si Ton mène les droites AD, SE, passant par les centres de gravité D, E, des triangles ABC , SBC, chacune ira ren- Cîontrer le côté commun BC , en son milieu F. Donc les droites SA, SE sont dans le plan du triangle ASF, et doivent nécessairement se rencontrer en un point G.

Maintenant si Ton joint DE, comme EF=^ SF, et

DF=^ âF^ il en résulte que la droite DE sera paral- ^çle jt 34i àpm elle ^aler« le tiers. 9|foil 1« fKW^I^

SAG, GDE, étant semblables, si DE =7 SA. on tmt

D6s=|SGou=s4^eSD, et par suite SGs^Sa

Donc, le centre de grai>ité d^ime pyramide triangU' laire est sur la ligne menée y de l'un quelconque des sont' mets, au centre de gravité de la base oppqsée, et se trouve au quart de cette ligne , à partir de la ha^e^ ou aux trois quarts a partir du sommet.

Fie 5a ^° ^^^^ SABCDE une pyramide quelconque. Si Ion divise la base ABC DE en triangles par les diagonales AG , AD , et qu*on mène les plans SAC , SAD , )a pyrfmide sera décomposée en pyramides triangulaires S^BC, SAGD, SADE, de même hauteur, et, par conséquent, proportionnelles à leurs bases. Or, si au quart de la hauteur commune , on fait, dans la pyramide donnée, une section parallèle à la base, ses intersections avec les plans SAG^ SAD, la diviseront en triangles abc^ aed^ ode, semblables aux triangles correspondants de la base, et dont les centres de gravité seront en même temps, comme on vient de le voir, ceux des pyramides triangulaires respectives. Gomme , en outre, les volumes de ces pyramides sont proportionnels aux triangles de la section, il en résulte que la construction , qui détermine le centre de gravité du système de ces pyramides ou de la pyramide totale, détermine également le centre de j^avité du système des triangles ou de la section. Donc ces deux centres se confondent en un seul point g y et puisque les polygones ABGDE, abcdcj sont semblables et sembhUe*

]>SS CmVâBS 01 «&ÀTITB. tAf

tuent placés, \l est éyidenf ^ue )a droite, nveiiee (hi sommet S au centre de gravité^ de la sectioB, ira passer par le centre de gravité G de 1^ ^ase.

Donc , le centre dfi gravité JPune pyramide quelconque jfiH M¥^ la droi^, m^né^ du 90mme$ e^u eenU^ 4^ grt^ité de la base, et se trouçe au quart de cette ligne ^ à partir de la base.

i53. KxMÂRQu:|t. On peut aussi déterminer Iç centre de gravité d*une pyramide triangulaire^ d'après la théorie des moments, par un procédé tout à fait analogue à ceux des n°® i45 et i5o.

En effet, soit la pyramide SABG. Si, par le point 5, «• 55 milieu de SB , on fait passer deux sections , Tune abc^ parallèle à la base ABC, Tautre bac\ parallèle à la face SAC , en menant ad parallèle à bc\ et joignant cd^ la pyramide sera décomposée en deux prismes triangulaires équivalents, ayant'rfc'C, a'bc\ pour bases, et en deux pyramides triangulaires Sabc^ b^'Bç'^ égalées entre ^f^i et semblaUes à la pyramide SAQG. Soit Y le vo-

lame de cette pyramide , -^ sera celui de chaque pyra-

mide partielle, et -^ celui de chaque prisme triangulaire.

Si donc on désigne par h la hauteur de la pyramide t^Hile , pvff ^ la distance de son centre de gravit^ kl^ base ABC, et par x' la hauteur du centre de gravité de la pyramide bd^d au-dessus du plan ABC, celle du centre de gravité de la pyra^iide Sa&c, au-dessus du

même plan sera — +y, de sorte qu'en prenant les mo-

ments par rapport au plan ABC,

i"* Le moment de la py^ramide totale sera Y^;

^ Les moments des pysaraidei baïk!^ Sabe^ seront

ia8 CHAPITBB IT.

-je-> -g- { k-\ — \ et leur somme sera donc

3** Les moments des prismes, dont les bases sont de'C.

abc\ seront --r-* — > -5-— n- -; car la hauteur du pre-

mier est - de - , et celle du second est -x de - : leur 22' 32'

3V A 3V A somme sera donc -7- • 7 + -0- • •?.

On aura donc {i^Q)

Vf h 3V A Vx' V /, af

^^=TÏ-^ï-é+-F + 8-(*-*-r>

d*où Ton tire, en réduisant et divisant par V ,

Concevons maintenant qu'on fasse dans la pyramide bclBc'y la même construction que dans la pyiamide SABG ; comme la hauteur de la pyramide décomposée 1

est - j en nommant x" la distance analogue à celle qu on

a désignée par cc\ on aura, comme tout à l'heure ,

de sorte qu'en continuant indéfiniment la même construction , on aura la suite d'équations

"'-Sal + T

DUS CBNÏRBS DE GRAVITB. lap

or, les distances a:', a:'\ x"\ des centres de gravité des pyramides partielles au plan ABC, étant toujours moindres que le^ hauteurs des pyramides relatives, vont sans cesse en diminuant , et la dernière j:„ peut être rendue plus petite que toute quantité donnée. Donc si Ton substitue dans la première équation à x\ x'\. • • les valeurs tirées des équations subséquentes , ce qui donne

on en conclura rigoureusement (i46)

jr = -7 A.

Comme on obtient le même résultat en prenant Tune quelconque des autres faces pour base, il en résulte que le centre de gravité de la pyramide est au-dessus de chacune des quatre faces, à une distance égale au quart de la hauteur du sommet opposé.

De là on peut aisément conclure qu'il est situé au point déterminé comme précédemment (i52, i"").

i54* Corollaire. Za distance du centre de graifité d^une pyramide triangulaire, à un plan situé d^une manière quelconque dans V espace , est égale à la moyenne distance de ses quatre sommets au plan.

Car si Ton conçoit quatre masses égales qui aient leurs centres de gravité aux quatre sommets de la pyramide , la distance du centre de gravité du système à un plan quelconque égalera (iSj) la moyenne distance des centres de gravité des quatre masses à ce plan. Or, on obtient le centre de gravité du système en déterminant d abord le centre de gravité de trois quelconques des masses^ qui est (i47) '^ centre de gravité de Ja face même aux sommets de laquelle les masses sont situées.

M. Statique. 9

l3o CHAPITEB IVk

Divisant alors, dans le rapport de 3 à i, la droite joi* gnant ce centre de gravité à celui de la quatrième masse, bh obtient le centre de gravité du système. Or, celui de Itl pyramide se déterminant (iSa) par la même comtrtlctiots , on éh conclut Ténoncé du corollaire.

i55. Bjbmahqub. Le cône pouvant être coiisidéré comme une pyramide^ dont la basa est uû pdlygbne d'une infinité de côtés, on voit que

Le centre dé gras^ité (Tun cône à base quelconque est situé sur la ligne menée du sommet au Centre de gravité de la base , et au quart de cette ligne en partant tie la base.

i56. Probijbmb VI. Déterminer le centre de gravité d^un tronc de pyramide?

Concevons une pyramide P dont dn ait retranché une pyramide semblable , par une sectioh parallèle à la base, pour former le tronc en question. Le sommet èômmun des deux pyramides et les centres de ghivité de leurs bases seront sur une même droite, qui èontieDdta dbnc aussi le centre de gravité du troncé II l*àgit de déteirininerj sbit sa distance ;r à la base inférieure, éoit sa distance / à la base supérieure , ou bien , ce qui est plus simple ici, comme au n"" 148, le rapport de x à/.

Or, si Ton désigne par H, A, les hauteurs des pyîsmides P, /;, et par H^ le volume ou le poids de la g[fande, h^ sera le poids de la petite^ et H^. — k^ celui du tronc. Les moments de ces poids ^ par ra|>port à la base inférieure, seront respectivement

On aura donc

DIBA CBlfTE^S BM ^kÂYlTÉ. x3x

OU bien

4(H'— A')ar=H* — 4A^H+3À*.

On trouverait de la même manière une équation en /, mais oii Tobtietit plus simplement . isu observant qu'on a /=(&— A)— ^:r, d'où jr=zH — A — y. Substituant à X cette valeur dans Téquatlon précëtletite, il vient 4(H'— A') (R^h—y) =H*— 4A'H4-3AS

ou 4(H*-^A')r=A*— 4ÏPA+3tl*.

Divisant, membre à membre, les deilt ë(}Uatiôillt en x et en jTj ^ ^ent

ar H^~4A'H+3A^

d*oû Ton tins, feh<!iU|>pnmant le facteur icommiih (H— ^)^^ xiy:: H»+ 2HA + 3A* : A*+ aAH+ 3H\

Mais les pjrainides P, j9, étant semblables, on petit i^nt* plafcer les carrés des hauteurs H*, h\ par les bases B, 6, qui leur sont proportionnelles, et, par suite, HA par une

base l/^B&, moyenne proportionnelle entre B et &; on aura donc enfin

a?:/::B4-2|/5Î4-3ô: i-l-aV/Bô + 3B,

ce qu'on peut énoncer ainsi :

Le Centre de grai^Ué d!im tronc de pyramide est sur la droite joignant les centrss de gravité des deux bases ^ et divise cette droite en deux parties proporUonHellet aux deux sommes y Vune formée par la base inférieure y trois fois la base supérieure et deux fois une mùyenhe propor* tionnelle entre ces deux bases , Vautre formée par la base supérieure^ trois fois la base inférieure y et deux fois ia même moyenne proportionnelle*

iSj. Remarque. On peut observer que

I ^ La proportion précédente s'applique à tous les troncs

l3a CHAPITRB IV.

de pyramide qui ont des bases proportionnelles; car elle ne dépend pas de la hauteur du tronc, mais seulement du rapport des bases.

Elle s'applique également au tronc de cône , dont les bases peuvent être considérées comme des polygones d'une infinité de côtés.

a** Lorsque les bases sont égales , on a xzzzy. En e£Fet, le tronc de pyramide devient alors un parallélipipède.

3** Lorsque Tune des bases b est nulle, on a j;=^,

comme cela doit être; car alors le tronc devient une pyramide dont la base est B.

1 58. Problème VIL Déterminer le centre degrauité d\un polyèdre j et y en général y d!un assemblage de polyèdres disposés comme on voudra dans V espace?

Tout polyèdre pouvant se décomposer en pyramides, au moyen de plans menés suivant les diagonales, si l'on détermine les centres de gravité de toutes les pyramides dont se compose le système proposé, les poids de ces pyramides seront des forces verticales P, P', P",. . . proportionnelles à leurs volumes, et appliquées à leurs centres de gravité. Cherchant alors le centre des forces parallèles P, P', P",... soit par la composition successive de ces forces , soit par la théorie des moments , on aura le centre de gravité du polyèdre.

iSp. Remarque générale. Lorsqu'on veut déterminer le centre de gravité d'un polygone ou d'un polyèdre par la composition successive de deux forces parallèles en une seule , le procédé général de construction peut se simplifier comme il suit :

Fig, 54. !• Polygones. — Soit d'abord un quadrilatère ÂBGD. On le divise par la diagonale ÂG en deux triangles ABC , ADC , dont on détermine les centres de gravité g^ g'. On mène la droite gg\ qui coupe AC au point F, et

DBS gbutabs de gbavite. k33

Ion prend sur g^ ^ à partir du point g^ une longueur •

gfGzzzgF. Le point G seia le centre de gravité du quadrilatère ABCD.

Car^ par suite de la construction (14S9 i^), gg' étant parallèle à la diagonale BD qui coupe AG au point O, on a

Or, les triangles ABC, ADG, ayftnt une base commune , donnent

tri. ABC : tri. ADG : : BO :0D.

Et Ion a , par suite jg'GigG:: tri. ABC : trî. ADC.

Donc le centre de gravité du quadrilatère est au point 6 , centré des deux forces parallèles qui représentent les deux triangles.

Soit encore le pentagone ABGDE. Si on le divise par Fig. 55* la diagonale AD, en un quadrilatère ABCD, et en un triangle ADE, dont les centres de gravité, déterminés comme ci-dessus , sont g et g'j il est clair que le centre de, gravité du pentagone sera sur la droite gg'. Par la même raison , il devra se trouver sur la droite yy', joignant les centres de gravité du quadrilatère AEDG , et du triangle ABC , qu*on obtient en menant une autre diagonale AG du pentagone. Donc le centre de gravité sera au point d*intersection G de ces deux droites.

Il est facile d'étendre , de proche en proche , le même procédé à un polygone d*un nombre quelconque de côtés j dont le centre de gravité sera toujours déterminé par l'intersection de deux droites.

II. Polyèdres. Les mêmes considérations s'appliquent à la détermination du centre de gravité d'un polyèdre.

Soit d'abord le polyèdre ABGDE , composé seulement Fig. 56. de deux pyramides P, P', qu'on obtient en menant le plan BDE. On détermine leurs centres de gravité g^ g^^ et après avoir mené la droite gg\ qui coupe le plan BDE

lS4 eSAFRU IT.

tu point F, on prend sur cette droitç une longaenr g^isigF. Le point 6 sera le centre dp gravité du polyèdre.

Car, psuf^ suite de la construction , la dvoite gg^ itxaX parallèle à la diagonale AG , qui renooqtré le plan BDB au point H , on n

Or, les pyramides P, F, ayant une base commune BDB, donnent