X : R : : r : Tj

On aura de même, en nommant Y la tensiQn du cordon suivant ,

Enfin y le dernier tour donnera

Multipliant toutes ces proportions par ordre, il vient

Donc , lorsqu'il y a équilibre , la puissance est à la ré^ sistance comme le produit des rayons des cylindres est au prçduit des rayons dtfS rçues.

l68 CHAPITRE y.

ri

Des roues dentées.

igS. Dans la pratique, on n'emploie pas les systèmes

de tours, à cause de Tembarras que causeraient les cordes. Mais si Ton conçoit les tours successifs d*un système rapprochés de manière que la roue du premier touche le cylindre du second , la roue de celui-ci le cylindre du troisième , ainsi de suite ; et si Ton admet que chaque roue ne puisse tourner sans mettre en mouvement le cylindre contigu, et réciproquement; alors, on pourra supprimer tous les cordons intermédiaires , sans changer la valeur du rapport établi (194) entre la puissance et la résistance. Or, à l'aide des engrenages , on peut solidement relier chaque roue au cylindre contigu. Fig. 76. Le procédé consiste à garnir leurs circonférences de dents ou filets saillants , également espacés entre eux, et parallèles aux axes des cylindres. Ces dents engrènent de telle sorte les unes dans les autres, qu'une roue et un cylindre contigus en étant garnis, l'un ne peut tourner sur son axe, que l'autre ne tourne en même temps sur le sien. La roue s'appelle alors roue dentée, et le cylindre se nomme \e pignon de la roue.

Ainsi, pour qu'il y ait équilibre entre une puissance et une résistance réagissant l'une sur l'autre , au moyen d'un système de roues dentées et de pignons , on aura la condition suivante :

La puissance est a la résistance comme le produit des rayons des pignons est au produit des rayons des roues,

196. Cette proportion pourrait s'établir directement, comme on Ta fait pour un système de tours. Mais il est à remarquer que les roues de plusieurs tours successifs tournent toutes dans le même sens , tandis que,

DES MACHINSS. 169

^ans les engrenages, les roues impaires tournent dans Un sens , et les roues paires dans le sens opposé.

Il faut encore savoir qu'on doit prendre pour le rayon dune roue dentée, non la distance du centre à l'extrémité des dents, mais bien la distance du centre au point de contact de la dent avec celle de la roue qu'elle engrène (*).

Du cric,

197. Le cric simple se compose d'un pignon que l'on Fig. 77. peut faire tourner sur son axe, au moyen d'une manivelle , et d'une crémaillère ou barre inflexible , dentée d'un côté, où engrène le pignon. La crémaillère est maintenue dans une coulisse qui ne lui permet de mouvement que dans le sens de sa longueur, et lorsque le pignon tourne sur son axe , il oblige la crémaillère à prendre ce mouvement. La puissance P est appliquée à l'extrémité du rayon r de Ja manivelle, et dirigée suivant la tangente à l'arc décrit par cette extrémité. La résis-

(*) Dans la pratique, il convient que les dents aient d'assez faibles dimensions, eu égard au diamètre de la roue, ce qui augmente leur nombre à la circonférence. Lorsque les dents pèchent par excès de longueur, si elles sont trop rapprochées, elles se brisent; si elles sont trop écartées, l'engrenage ballotte. Or celui-ci doit être le plus juste possible pour le bon effet de la machine, sans toutefois que le désengrenage éprouve aucun obstacle. A cet effet, on taille les dents de manière que la section de chaque face soit une épicycloïde. Mais comme l'exécution n'est jamais parfaite, le frottement qui a encore lieu finit par déformer la dent, et l'engrenage devient défectueux. On approche de la perfection avec de très -petites dents que l'on fait à peu près rectangulaires, et qui prennent par l'usage la forme convenable.

17^ eHAMTAB ▼•

tance R, qui a oppose au mouyement de la crémaillère, peut être regardée comme une force perpendiculaire à Textrémité du rayon p du pignon. On doit donc aïoir (195) pour l'équilibre y

ce qui s'énonce : La puissance est à la résistance comme le rayon du pignon est au rayon de la manivelle.

198. L'effet du cric simple dépendant aussi de la petitesse du rayon du pignon, par rapport à celui de la manivelle, et ce rapport se trouvant renfermé dans detroites limites par la nature même de la machine , on a cherché à augmenter son pouvoir, sans allonger le rayon de la manivelle, et sans diminuer celui du pignon. Or, on obtient un très-bon résultat, en disposant une ou

Fig. 78. plusieurs roues dentées entre le pignon C de la manivelle et la crémaillère AB , comme on le voit représenté sur la 6gure 78. Dans cet appareil^ qui prend le nom de cric composé j la puissance P transmet son action à, la dernière roue, dont le pignon G engrène avec la crémaillère.

La condition d'équilibre est alors, comme pour un système de roues dentées ,

La puissance est à la résistance comme le produit des rayons des pignons est au produit des rayons des roues par le rayon de la manivelle.

Du plan incliné»

199. Nous avons démontré (121) que, pour l'équilibre d'un corps sollicité par des forces quelconques , et s'appuyant contre un plan fixe par plusieurs points, il faut et il suffît que ces forces se réduisent à une seule normale au plan , et le rencontrant en un point situe dans l'intérieur du polygone déterminé par les point»

d appuL Nous allons mainteoant ^Laminer comment ces conditions générales se modifient dans le cas d un corps pesant, retenu par une seule force sur un plan incliné à l'horizon, doù est venu le nom de la machine.

Soient R le poids du corps ou la résistance à vaincre Fig. 79. pour Tempécher de glisser le long du plan incliné IKL , 5tP la puissance ou la force qui le retient sur ce plan. Il faut , pour l'équilibre , que les deux forces P, R , aient une résultante N, qui soit normale au plan, et le rencontre en un point de la surface de contact du corps et du plan. Ainsi d'abord les directions des deux forces, qui sont Tune OP, Vautre la verticale OR passant par le centre de gravité G du corps , se couperont en un point O, et seront situées dans un plan POR perpendiculaire au plan IKL , puisqu'il passe par la normale ON. De plus, ce même plan POR, passant par la verticale OR , sera perpendiculaire à tout plan horizontal IKH coupant le plan IKL suivant IK , et , par conséquent, sera perpendiculaire à IK. Donc les intersections AB , AC , des plans IKL , IKH, par le plan POR, seront ellesmêmes perpendiculaires à IK , et con)prendront un an> gle BAC précisément égal à langle que le plan incliné [KL fait avec le plan horizontal IKH.

Pour plus de simplicité, représentons le plan IKH par Fijg. 80, l'horizontale AC, le plan incliné par l'oblique AB, et de ['un de ses points, tel que B, menons sur AC la perpendiculaire BC. Nous aurons alors un triangle rectangle BAC, dont rhypoténusê AB et les côtés AC, BC , seront ce qu'on nomme respectivement la longueur^ la base 0t la hauteur du plan incliné.

Cela posé, le théorème étabU plus haut (182) donne imnaédiatement les rapports qui existent, dans l'état d'équilibre, entre les forces P, R , et la pression N exercée sur le plan incliné» G|r si » à i^ne distance quçlcon-

172 CHAPITRE y.

que du point A, on mène sur OP la perpendiculaire DE, qui rencontre AC en D, et AB en E, on formera un triangle auxiliaire ADE , dont les côtés seront respectivement perpendiculaires aux directions des trois forces P, R, N, et, d après le théorème cité, on aura

(i) P:R::DE:AD, P:N::DE:AE (2).

200. Examinons maintenant les deux cas particuliers suivants :

i*"" CAS. — La direction de la puissance parallèle au plan incliné.

Fig. 81. Le triangle auxiliaire ADE , devenant rectangle en E, est alors semblable au triangle rectangle ABC , qui a le même angle aigu A; on a donc DE :AD::BC:AB, et la proportion (i) devient