Théorème. Lorsque deux forces parallèles y agiS

â8 CHAPITRE f.

sant dans le même sens, sont appliquées h deux points liés entre eux d'une manière im^ariable ^ i° ces forces ont toujours une résultante unique , parallèle à leur direction, égale à leur somme et agissant dans le même sens ; 2° la direction de cette résultante divise la droite qui joint les points d'application , en deux parties réciproquement proportionnelles aux intensités des composantes. Fig. i4* Soient les deux forces parallèles P, Q, appliquées l'une au point A, lautre au point B d'une droite rigide AB , et représentées par les lignes AC , BD.

i" Prenons des deux côtés de AB , et sur son prolongement, deux longueurs égales Aa, Bi, pour représenter deux forces égales et contraires. La force AC ou P pourra se décomposer en deux forces, Tune Aa, l'autre Ac, déterminée en intensité et en direction par le côté Ac du parallélogramme AaCc , construit sur Aa comme coté, et sur AC comme diagonale. De même la force BD ou Q pourra se décomposer dans les deux forces Bi, B^?, représentées par les côtés du parallélogramme BôDrf. Or les deux forces Aa, Bè se font équilibre, puisque leurs points d'application A, B sont invariablement liés entre eux. Donc le système des deux forces P, Q pourra se remplacer par celui des deux forces Ac, B^?, qui, étant situées entre les parallèles AC, BD , avec lesquelles chacune a un point commun, doivent nécessairement se rencontrer en un point O, compris entre les mêmes parallèles. Par conséquent, si l'on suppose le point O lié invariablement avec les points A et B, on pourra le prendre pour point d'application commun aux deux forces Ac, Brf, qui viendront en Oc et Od' . Menons maintenant par le point O une parallèle a!b' à AB, et appliquons au point O, suivant cette parallèle, deux forces contraires Oa', Ob' égales entre elles et aux forces Aa, Bi, l'effet des deux forces Oc', Od' ne sera pas

troublé. Nous aurons donc alors les quatre forces Oa', Oc', Ob\ Oefj respectivement égales aux quatre forces primitives A«, Acy Bi, Brf, et parallèles à ces forces ou de même direction , mais appliquées au même point O. Par conséquent les deux forces Oa, Oc' auront une résultante OC égale et parallèle à la force AC ou P, et agissant dans le même sens ^ de même les deux forces Ob' y Od' auront une résultante OD' égale et parallèle à BD ou Q. Ainsi le système des deux forces données P, Q se trouve remplacé par celui des deux forces OC, OD', qui, ayant la même direction, peuvent se composer en une seule force R égale à OC + OD' ou à P -1- Q.

Donc, 1° les deux forces proposées P, Q ont une resultante R unique , parallèle à leur direction , égale à leur somme ^ et agissant dans le même sens que ces forces,

7? Pour déterminer le point L, où la direction de la résultante rencontre la droite AB, nous remarquerons que les triangles «AC, iBD étant respectivement semblables aux triangles ALO, BLO , on a les proportions

«A: AL::ACouP:LO (i)

LB:Bè::LO:BDouQ

ou bien , à cause de Bb = aK ,

LB:aA::LO:Q (2)

Multipliant les proportions (i) et (2) terme à terme , il

vient