AE'" = AD* + DE% AF^ = AE"* + EF

d'où

AF^'rzzAD^ + DE +EF =AB + AC +AD^

ou bien

R*=P^ + Q*-+-S% et par suite

On peut, comme au n° 28 , exprimer les trois composantes en fonction de la résultante et des angles qu'elles forment avec sa direction. Car si l'on désigne par a l'angle

COMPOSITION ET DECOMPOSITION DES FORCES. a5

FAB que la résultante R fait avec la composante P, en menant la droite FB on formera un triangle ABF qui sera rectangle en B et donnera i :cosa::R:P, doù

P zz: R cos a.

Si de même on désigne par ^ et y les angles que fait la résultante R avec les composantes Q, S, on trouvera pareillement Q = R cos ê , S = R cos y.

a8. Remarque. Twis forces appliquées a un même point ^ et non situées dans un même plan^ ne peu^^ent donner une résultante nulle , à moins que chacune déciles ne soit nulle en particulier.

Car lorsque les trois forces ne sont pas nulles, on peut toujours construire, sur les trois lignes qui les représentent, un parallélipipède dont la diagonale est la résultante des trois forces données.

Lorsqu'une seule des trois forces est nulle , les deux autres^ qui, par hypothèse^ ne sont pas en ligne droite, ont une résultante.

Lorsque deux des trois forces sont nulles, la troisième est la résultante.

La résultante ne peut donc être nulle que dans le seul cas où les composantes sont toutes trois nulles à la fois.

29. Problème. Déterminer la résultante d^un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et dirigées d'une manière quelconque dans l'espace P

Soient P, Q, S, T,. . . .Z les forces données. On pren^ dra d'abord deux quelconques d'entre elles, P, Q, par exemple, et comme elles sont dans un même plan, on saura déterminer leur résultante R (20). Le système des forces proposées sera donc remplacé par celui des forces R, S, T,. . . .Z, dont le nombre est moindre d'une unité: On prendra de même la résultante R^ des deux

a6 GRÂPITRB I.

forces R, S, et les forces proposées seront remplacées par les forces R,, T,. . . .Z, dont le nombre est moindre de deux unités. En continuant à composer ainsi de proche en proche deux forces en une seule, on parviendra nécessairement à une force unique R„, qui sera la résultante des forces proposées.

3o. Remarque I. Si toutes les forces données sont dans un même plan , il est clair que les résultantes successives, et par conséquent la résultante finale^ seront aussi dans le même plan.

3i. Remarque II. Dans la pratique on peut se dispenser de construire en entier les parallélogrammes successifs, et même de mener leurs diagonales.

Car si l'on veut d abord composer en une seule les Fig. 12. deux forces P, Q, représentées par les lignes AB, AC, il suffit de mener par l'extrémité B de Tune d'elles la parallèle BD à l'autre force AC, et de prendre BD = AC. Il est évident que le point D déterminera en direction et en intensité la résultante cherchée.

D'après cela, si l'on a, par exemple, cinq forces, repré- Fig. i3. sentées par les lignes AB, AC, AD, AE, AF, on mènera par l'extrémité B de Tune quelconque d'entre elles, une ligne BC égale et parallèle à AC; de même on mènera par le point G une ligne CD' égale et parallèle à AD, par le point D' une ligne D'E' égale et parallèle à AE , enfin par le point E' une ligne E'F' égale et parallèle à AF ; la droite AF', menée du point d'application au dernier point F' ainsi obtenu, sera évidemment la résultante des cinq forces proposées , laquelle agit dans le sens AF'.

Lorsque la parallèle E'F' à la dernière des forces proposées vient aboutir au point d'application A, le contour polygonal ABC'D'E'F' se ferme de lui-même , et la résultante AF' se réduit à zéro, c'est-à-dire que les^forces données se font équilibre.

De là résulte la proposition suivante :

Si Von décrit dans V espace un contour polygonal dont les côtés successifs soient respectiifement parallèles et proportionnels à des forces données agissant sur un même point , le dernier côté de ce contour est parallèle et proportionnel à la résultante de toutes les forces ; de sorte que si le polygone se ferme de lui-même , la résultante est nulle y et les forces proposées sont en équilibre autour de leur point d^ application.

32. Remarque générale. Dans tout ce qui précède, on a supposé les forces appliquées à un même point de l'espace; mais les propositions démontrées ont encore lieu loi*sque les forces sont appliquées à différents points d'un corps, pourvu que leurs directions, prolongées s'il est nécessaire, concourent en un même point. Car on peut , sans altérer l'effet des forces , transporter leurs points d'application au point de concours.

Par conséquent , si plusieurs forces ont des directions qui concourent en un point y ou bien elles ont une résul" tante unique ^ ou bien elles se font équilibre.

Dans ce dernier cas, chaque force est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres. Lorsque les forces données ont une résultante unique, on leur fait équilibre en appliquant au point de concours une force égale et directement opposée à la résultante.

SECTION IIL