CB — GA
AB
on a donc encore ici
GB
CA
AB'
R étant la résultante des forces F et F'. On voit qu'ici encore chacune des forces est proportionnelle à la distance des points d'application des deux autres.
44. Forces parallèles, égales et de sens con^ traires. — Deux forces parallèles, égales et de sens contraires, non directement opposées, forment un système appelé-couple.
45. Théorème. — Un couple n*a pas de résultante. Pour démontrer qu'un couple n'a pas de résultante,
il suffit de prouver qu'il n'a pas d'équilibrante, car, s'il avait une équilibrante, il aurait une résultante égale et de sens contraire.
Soit un couple (fig. 24) formé de deux forces F, F' égales et de sens contraires. Supposons qu'il existe
Fig. a4.
FORCES PARALLSLES
Fig. a5.
une équilibrante ; nous allons montrer qu'elle devrait être dans le plan des deux forces. En effet, considérons une droite quelconque D dans le plan des deux forces. Puisque le corps est en équilibre sous l'action des forces F, F' et de l'équilibrante E, on ne change pas son état d'équilibre en fixant la droite D; mais les deux forces F, F' rencontrant la droite D sont détruites par la résistance de la droite D qui est fixe. Il reste l'équilibrante E qui tend à faire tourner le corps autour de l'axe D. Pour qu'il y ait équilibre, il faut que l'équilibrante rencontre la droite D (n®' 30 et 31) ou lui soit parallèle. Mais, comme on a pris D quelconque dans le plan des deux forces, ceci ne peut avoir lieu que si l'équilibrante E des deux forces F, F' est dans le plan de ces deux forces.
Deux cas peuvent alors se présenter : ou bien l'équilibrante, qui est dans le plan des deux forces, ne leur est pas parallèle, ou bien l'équilibrante leur est parallèle.
I** Si l'équilibrante E située dans le plan de deux forces F, F', ne leur est pas parallèle ((îg. 25), les forces E et F se rencontrent en un point O. Transportons-les au point O et composons-les : nous obtenons une résultante OR. Le corps soumis au deux forces OR, BF' devrait être en équilibre, ce qui est impossible puisque OR étant inclinée sur AF ne peut être directement opposée à BF'.
2^ Si l'équilibrante E située dans le plan des deux
forces F, F' est parallèle aux deux forces (fig. 26), supposons-la de même sens que la force F. Les
forces F et E parallèles et de même sens ont une résultante R = F + E (n^ 41). Le corps soumis aux deux forces DR et BF' ne peut ôtre;^en équilibre, car, puisque
on a :
et, comme
on a aussi
Fig. a6.
Les deux forces R et F' d'intensités différentes ne peuvent pas se faire équilibre.
Donc, dans aucun cas, un couple ne peut avoir d'équilibrante, et, par suite, de résultante.
46. Composition d'un nombre quelconque de forces parallèles. — Pour avoir la résultante de forces parallèles entre elles dont les unes agissent dans un sens et les autres dans le sens opposé, on compose d'abord toutes celles qui agissent dans le même sens. Pour composer plusieurs forces parallèles F^, F2, Fg, F4,... de même sens, appliquées à des points différents d'un corps solide, on commence par composer d'eux d'entre elles, Fj et Fg par exemple ; on obtient ainsi une première résultante R^, d'intensité
Ri = F. + F,.
On compose ensuite cette résultante R^ avec une troisième force Fg, ce qui donne une seconde résultante R2 d'intensité
On la compose avec la quatrième force F^, et l'intensité de la troisième résultante R3 obtenue est
et ainsi de suite.
La dernière résultante trouvée R est celle du système des forces agissant dans le même sens : elle est parallèle aux composantes et égale à leur somme. Elle agit d'ailleurs dans le même sens que les forces proposées.
On compose de la même façon toutes les forces qui agissent en sens contraire ; elles ont une résultante R' qui leur est parallèle, de même sens et est égale à leur somme.
On obtient ainsi deux résultantes R et R' parallèles entre elles et de sens opposés. Trois cas peuvent alors se présenter :
1° Les deux résultantes R et R' ont des intensités différentes, elles ont alors une résultante unique dirigée dans le sens de la plus grande et dont l'intensité est la différence des intensités des deux forces R et R' (n^ 43) ;
2® Les deux résultantes R et R' sont égales et non directement opposées, elles constituent un couple et le système des forces données n'a pas de résultante (n» 45) ;
3*^ Les deux résultantes R et R' sont égales et directement opposées, le système est alors en équilibre.
Donc, étant donné un nombre quelconque de forces parallèles appliquées à un corps solide, elles peuvent se réduire soit à une résultante unique qui leur est parallèle, soit à. un couple, soit enfin, se faire équilibre.
