MOMENTS
§ I . — Moments par rapport a un point
47. Définition* — On appelle moment d'une force par rapport à un point le produit de l'intensité de cette force par la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur sa ligne d'action.
Ainsi étant données la force A F et le point O, abaissons la perpendiculaire OH sur A F :
le moment de la force F par rapport au point O (iig. 27) est le produit F x OH. p.
48. Notation. — On désigne le moment d'une force F par rapport à un point parla notation O^^F.
Ainsi on écrit pour l'exemple précédent
DK. F = F. X OH.
49. Unité, -^ Si Tunité de force est le kilogramme et Tunité de longueur le mètre, Tunité de moment est le kilogrammomètre.
50. Signé d'un moment. — Lorsqu'on prend les moments de plusieurs forces situées dans un même planj par rapport à un même point du plan, on affecte ces moments d'un signe.
4o COURS DE STATIQUE
Etant données des forces situées dans un plan et un point O dans ce plan (fig. 28), on convient de considérer comme positifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps dans un certain sens (d'ailleurs arbitraire) autour du point O et comme négatifs les moments des forces qui tendent à faire tourner dans le sens contraire.
Ainsi sur la figure 28, si les moments de F et F' sont positifs, celui de F'' est négatif.
Fig. 28.
51 . Remarque. — Le moment d'une force par rapport à un point n'est nul que dans deux circonstances. En effet ce moment est donné par le produit (fig. 27) F. OH.
Ce produit ne sera nul que si la force F est nulle, ou si la perpendiculaire OH abaissée du point sur la force est nulle.
Donc, le moment d'une force par rapport à un point n'est nul que si V intensité de la force est nulle ou si la direction de la force passe par le point.
52. Théorème de Varignon» — Lorsque plusiews forces j situées dans un même plan ^ ont une résultante unique^ le moment de la résultante par rapport à un point quelconque du plan est égal à la somme algébrique des moments des différentes forces.
53. Cas de deux forces concourantes — Soient (fig. 29) F, F' deux forces appliquées en un point A, et R leur résultante. Prenons un point O dans le plan
des forces ; nous allons prouver.que Ton a :
A cet effet, faîsons d'abord la remarque suivante : Etant donnée une force AF (fig. 27) et un point O, si on suppose que r échelle des forces est la même que celle des longueurs, le moment de la force F par rapport au point O est le double de la surface du triangle AOF.
En effet, on a
DK^ F = AF X OH = 2 surf. AOF.
Ceci posé, nous distinguerons plusieurs cas suivant la position du point O dans le plan.
I** Supposons d'abord que O ne soit pas situé (fig. 29) dans l'angle FAF' ni dans son opposé par le sommet. Dans ce cas, les forces tendent à faire tourner le corps dans le même sens autour
de O et nous pouvons prendre ce sens pour sens positif.
On a, alors
^, R =+ 2 surf. AOR, OULq F = + 2 surf. AOF, 51L^P= + 2surf.A0F',
et la relation (i) peut s'écrire
2 surf. A0R = 2 surf. AOF + 2 surf. AOP.
ar.-;
Les trois triangles AORj AOF, AOF' peuvent être regardés comme ayant pour base commune AO et pour sommets les points R, F, F' et Ton obtiendra leurs hauteurs aVy af^ af en projetant sur un axé xy perpendiculaire à la base OA les points R, F, F'.
La relation (a) peut s'écrire
0Ax«/=0AXfl5/+ OXXaf et, en divisant le tout par OA,
ar = af+ af. (3)
Mais la figure donne, puisque les droites fr et af sont égales comme projections sur un même axe de deux droites FR, AF' égales et parallèles,
«/*+ af =.af-\-fr =^ar.
La relation (3) est donc démontrée et par conséquent la relation (i) équivalente.
2** Prenons maintenant le point dans Tintérieur
Fi g. 3o.
de Tangle FAF'(fig. 3o) et répétons la même construction que pour le cas qui précède.
Les deux forces R, F' tendent à faire tourner le corps dans un sens, et la force F dans le sens contraire, autour du pointO. Si on considère les moments
Sî '
des forces R et F' comme positifs, le moment de F sera négatif et on aura :
OR^ R= -f 2 surf. AOR, Oliy,F = — 2surf. AOF, Oîl^F' = +2Surf. AOF',
La relation (i) peut s'écrire, dans ce cas, 2 surf. AOR = 2 surf. AOF' — 2 surf. AOF. (4)
Les trois triangles AOR, AOF', AOF ayant pour base commune AO et pour hauteurs ar, af\ afy l'égalité (4) peut s'écrire :
ou
AOxar=^OKxaf' —OXxaf ar=^af' — af.
Mais la figure donne, puisque les droites af et // sont égales comme projections sur un même axe de deux droites AF, F'R égales et parallèles,
af' — af= af — //' = ar,
La relation (5) est donc démontrée et par conséquent la relation (i) équivalente.
On arriverait au même résultat si Ton prenait le point O dans l'intérieur de l'angle opposé par le sommet à l'angle FAF'. '
3** Considérons enfin le cas particulier où le point O est pris sur la direction de la résultante (fig. 3i). Alors le moment de la résultante est égal à zéro et les moments des composantes
Fig. 3i.
sont les doubles des surfaces des triangles AF'R et AFR.
Or, ces triangles sont équivalents comme ayant même base OA et des hauteurs égales puisque les droites af^ ap sont égales comme projections sur xy de deux droites AF, RF' égales et parallèles ; donc les deux moments sont égaux en valeur absolue et comme ils sont de signes contraires leur somme est égale à zéro, c'est-à-dire au moment de la résultante.
54. Cas de deux forces parallèles et de même SENS. — Soient F, F', deux forces parallèles, de même sens, appliquées aux points A et B et soit R leur
résultante appliquée en G,
(fig. 32).
Prenons un point O dans le plan des forces.
Abaissons de ce point sur les directions des forces la perpendiculaire OK.
Entre les points K, H, G
il y a la même relation qu'entre
les points A, G, B, car on
peut transporteries forces F',
R, F parallèlement à elles-mêmes, de manière que
leurs points d'application soient K, H, G.
On a donc
