COUPLES

§ I. — Propriétés générales des couples

65. DéSnitions. — Un couple est un système de deux forces égales, parallèles, de sens contraires et non directement opposées (n® 44).

Un couple n'a pas de résultante, comme nous Tavons démontré plus haut (n^ 45).

On appelle bras de levier d'un couple la distance des deux forces qui constituent le couple; ainsi (fig. 38) la plus courte distance des deux forces

F, — F étant HH', HH' est le / bras de levier du couple.

On peut supposer, sans changer l'état du corps, qu'on a transporté les forces F, — F en H et H' puis- ~~--^/„« qu'on peut déplacer le point d'ap-

plication d'une force en un point quelconque de sa direction, il en résulte qu'on peut supposer que le bras de levier du couple est la distance des points d'application des forces^ ce qui revient à admettre que les deux forces sont perpendiculaires à la droite qui joint les points d'application.

66. Moment, — On appelle moment d'un couple le produit de l'intensité commune des deux forces qui

constituent le couple par la mesure de la longueur du bras de levier.

Ainsi le couple F, — F (fig. 38) a pour moment FxHH'; on écrit

OîL(zhF) = FxHir.

Lorsque Ton a plusieurs couples situés dans un même plan y on affecte leurs moments d'un signe. Si on imagine un observateur placé entre les deux forces, par exemple au point milieu de AB, debout sur le plan du couple, il voit tourner les deux forces dans le même sens ; un couple a donc un sens de rotation autour du point O. On dira, par exemple, que le mo- ! ment est positif pour un couple tournant de gauche

I à droite et qu'il est négatif pou un couple qui tourne

en sens contraire.

67. Théorème I. — On peut, sans changer l'effet d'un couple sur un corps solide, transporter ce couple parallèlement à lui-même.

En effet, soit un couple (F, — F) (fîg. 3g) agissant sur un corps solide en A et A' : prenons, dans ce corps, une droite BB' égale et parallèle à la droite AA' et démontrons que Ton peut transporter le couple (F, — F) parallèlement à lui-même de manière que les nouveaux points d'sipplication des forces soient B etB'.

Au point B, appliquons deux forces F, et F/ égales, de sens contraires, parallèles à F et de même intensité que F.

De même au point B', appliquons deux forces — F^ — F/, égales, de sens contraires, parallèles à — F et de même intensité que — F. L'introduction de ces quatre forces n'a pas changé l'état du système.

Or la figure AA' BB' est un parallélogramme, les

côtés opposés A A' et BB' étant égaux et parallèles; les diagonales AB' et BA' se coupent donc en leur milieu O.

Les deux forces — F/, et F égales, parallèles et de

même sens ont une

résultante R égale à leur somme 2 F et appliquée au point O milieu de AB'.

Les deux forces F/ et — F égales, parallèles et de même sens ont aussi une résultante — Régale à leur somme 2F et appliquée en O milieu de BA'.

Ces deux forces R et — R, égales et directement opposées, se font équilibre et il ne reste que le couple (Fj, — FJ. Mais ce couple n'est autre que le couple donné (F, — F) transporté parallèlement à lui-même de manière que la droite AA' vienne coïncider avec la droite BB'. Le théorème est donc démontré.

Fïg. 39.

68. Théorème IL — Sans change?^ Veffet d'un couple sur un corps solide^ on peut le faire tourner dans son plan autour du milieu de la droite qui joint les points d'application.

Supposons que la droite qui joint les points d'application soit le bras de levier (n* 65) et soit le couple (F, — F) (fîg. 4o) ayant pour bras de levier

Fig. 40.

AA'; soit le milieu de A A'. Menons par une droite quelconque et sur cette droite prenons deux longueurs OB et OB' égales à OA.

Appliquons au point B, dans le plan du couple, deux forces égales, directement opposées, perpendiculaires à BB' et de même intensité que F, soient F^ et F'^ ces deux forces; de même appliquons en B deux forces — Fj et — F'^, égales, directement opposées, perpendiculaires à BB' et de même intensité que — F.

Les directions des forces F et F', se coupent en G, celles de — F', et — F en C Joignons les points G et G' au point O.

Les triangles GBO et GOA rectangles en A et B sont égaux comme ayant l'hypoténuse OG commune et un côté de l'angle droit égal, OA = OB. Donc les

deux angles AOG et BOG sont égaux et OG est bissectrice de l'angle BOA; de même, les deux angles BGO et AGO sont égaux et GO est bissectrice de

l'angle BCA.

Pour les mêmes raisons OG' est bissectrice des

angles A'OB' et A'G'B'.

Il en résulte que GOG' est une ligne droite, bissectrice de deux angles opposés par le sommet.

Transportons F et F'^, en G, la résultante de ces

forces est dirigée suivant la bissectrice OC, soit CR cette résultante. De même, transportons — F et — - F',, en G' et soit G'R' leur résultante. Les deux forces GR, G'R' sont, par raison de symétrie, égales et directeïnent opposées: elles se font équilibre. Il ne reste que le couple (F^, — FJ. Ge couple n'est autre que le couple donné qu'on a fait tourner autour de d'un certain angle.

69. Conséquence. — On peut transporter un couple d'une manière quelconque pourvu que l'on ne change pas la direction de son plan; c'est-à-dire^ pourvu que son plan reste parallèle à lui-même.

Considérons un couple (F, — F) (fig. 4 1 ) situé dans un plan P; prenons un plan P' parallèle au plan P, et, dans

ce plan P',une droite A' B' égale à AB et placée arbitrairement. On peut transporter le couple (F, — F) dans le plan P' de manière que le bras de levier devienne A'B'.

En effet, soit Ole milieu de AB et soit O' le milieu de A'B'; transportons le couple (F, — F) parallèlement à lui-même de manière que le point O vienne en O', alors AB prend la position A^ B^ et le couple (F,— F) la position (F„ — FJ (n«67). Dans le plan P', faisons ensuite tourner le couple (F^, — FJ, de manière que le point A^ vienne en A' et B^ en B' ; le couple prendra la position (F', — F') (n*" 68).

Le plan P' peut coïncider avec le plan P; ce qui

Fig- 41.

montre que Ton peut déplacer un couple dang son propre plan.

70. Théorème III. — On peut, sans changer V effet d'un couple sur un corps solide faire varier le bras de levier du couple pourvu que Von modifie les forces de manière que le moment ne change pas.

En effet, soit un couple (F, — F) (fig. 4^) et supposons que la droite AB qui joint les points d'application soit le bras de levier. Soit O le milieu de AB et prenons sur AB deux points A' et B' tels que le milieu de A'B' soit le point O; démontrons que Ton, peut remplacer le couple (F, — F) par un autre ayant pour bras de levier A' B' et même moment. Soit x l'intensité commune des forces de ce nouveau couple, on doit donc avoir

a;xA'B' = FxAB

d*où on tire