BC

Gomparant les relations (i) et (2), on en tire

bc~ f' '■

c est donc bien le point d'application de la résultante des deux forces fei f.

Si on considère un nombre quelconque de forces

parallèles et leur résultante^ et si on les projette sur un plan parallèle à toutes ces forces y la projection de la résultante peut être considérée comme la résultante des projections de toutes les forces.

« En effet, l'énoricé, étant vrai pour deux forces, est vrai pour les deux premières forces et leur résultante R^; il est vrai pour la troisième force, la résultante R^ et leur résultante R, ; et ainsi de suite de proche en proche.

62. — Ces deux remarques faites, le théorème devient évident.

Considérons un nombre quelconque de forces parallèles, quatre par exemple, F,, Fg, F^, F^ et leur résultante R et démontrons que le moment de la résultante par rapport à un plan P, parallèle aux forces, est égal à la somme algébrique des moments des diverses forces.

Menons un plan Q perpendiculaire au plan P et parallèle aux forces et projetons la figure sur le plan Q : les forces F,, Fg, Fg, F^ ont pour projections ^, ^, /j, f et la résultante R a pour projection la force /• qui est la résultante des forces /J, ^, /^, f (n"" 61). Prenons un point O sur Tintersection xy des deux plans P et Q (fig. 35). On a (n^ 60)

01IpF, = ailL/, 01ipF2 = 01l/„ 0]LpF3=0K/3, \ (i)

OHpR = ^\L^r .

Mais, d'après le théorème de Varignon (n^52), on a, entre les forces /j, ^, /g, f situées dans un plan.

Gr:

leur résultante /• et un point du plan, la relation

En tenant compte des égalités (i), cette relation devient :

OKpR = DXipF^ + OnLpF, + 0nLpF3 + OPLpF^.

Ce qui démontre le théorème, dans tous les cas, en grandeur et en signe.

63. Moment par rapport à un axe. — Etant donnée une force AF (fig. 87) et un axe xi/y par un point quelconque O de xy menons un plan P perpendiculaire à cet axe et projetons la force AF en af sur le plan.

Nous appellerons moment de la force AF par rapport à Vaxe xy le moment, en grandeur et en signe, de la force af par rapport au point O.

Nous écrirons donc :

Fig. 37.

oiL^,F = on./.

64. Remarque. — Décomposons la force AF en deux : Tune AFj parallèle à Taxe xy ; Fautre AF, rectangulaire dans l'espace avec cet axe. La force AF, est égale à af Le moment de la force AF par rapport à Taxe xy est alors égal au produit de l'intensité de AF, par sa plus courte distance IK à Taxe. Car IK est égale à la distance OH du point O à la force AF. On a

donc :

OK^,F=d:AF,XlK,

avec un signe convenable suivant le sens dans lequel

la force tend à faire tourner le corps sur lequel elle agit autour de Taxe.

Le moment de la force F ne peut être nul que dans deux cas : ou bien si AFj = o, ce qui arrive lorsque la force est nulle ou parallèle à l'axe xy ; ou bien si IK = OH==o, ce qui a lieu lorsque la ligne d'action de la force rencontre l'axe.

En résumé, le moment d'une force par rapport à un axe est nul : soit lorsque cette force est nulle^ soit lorsque sa ligne d'action rencontre Vaxe ou lui est parallèle.

On peut remarquer que les conditions où le moment est nul sont précisément celles où, Taxe xy étant fixe, le corps est en équilibre sous l'action de la seule force AF.

On peut donc dire que :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un corps qui peut tourner autour d'un axe fixe et est soumis à une seule force soit en équilibre^ est que le moment de cette force par rapport à cet axe soit nul.