OB
Ceci posé, considérons les deux forces F et — F^ parallèles et de même sens: elles ont une résultante •égale à leur sommé et appliquée au point O.
En effet, le point d'application de la résultante est un point 0', tel que Ton ait :
W= F ="F (^^rFi = FO. (3)
Comparant les relations (2) et (3), on en tire O^A OA OB OA . ^. ^^.
Les deux points 0' et O partageant tous deux la droite AB' dans un même rapport et étant tous deux entre A et B', coïncident. Donc les deux forces F et — F^, ont une résultante dont le point d'application est en O et d'intensité R= F -f- F^.
De même les deux forces — F et F^ ont une résultante R' égale à leur somme et appliquée en O.
Les deux forces R et R', égales et directement opposées, peuvent être supprimées sans changer l'état du corps et il reste le couple (F', — F') qui a même moment que le couple donné.
Le théorème est donc démontré.
71. Résumé, — En coinbiiiaiiiles résultats énoncés dans les n"** 69 et 70, on en conclut que :
On peut sans changer T effet d'un couple sur un corps solide transporter le couple d'une manière quelconque et le déformer pourvu qu'on ne fasse pas varier Les trois quantités suivantes :
' i^ La direction de son plan ;
2® Le sens de rotation du couple;
3® Le moment,
72 *. Axe d'un couple. — Ceci a conduit à représenter un couple sous une forme géométrique simple. Par le milieu de son bras de levier on élève une perpendiculaire au plan du couple, sur cette perpendiculaire, on prend une longueur OA proportionnelle au moment du couple et dirigée de façon qu'un observateur, ayant les pieds en O et la tête en A, voie tourner le couple de gauche adroite. C'est ce segment OA, caractéristique du couple, qu'on appelle Vaxe du couple (fig. 4^).
On peut donc représenter un couple en grandeur et en direc-
lA
tion par un seul segment, tout p. ^^
comme une simple force.
L'axe d'un couple ne change pas quand on fait sur un couple toutes les modifications permises puisque la direction du plan reste la même. Seule l'origine de l'axe peut changer.
Réciproquement, quand on connaît l'axe du couple, on connaît les trois éléments invariables de ce couple. Donc un couple est représenté sans ambiguïté par son axe, l'origine de l'axe restant arbitraire.
Ainsi le segment OA représente en grandeur et en sens, un couple situé dans le plan perpendiculaire en O à OA et ayant un moment exprimé par le même nombre que la mesure de OA.
Fig. 44.
73. Théorème. — Le moment (Tun couple est égal à la somme algébrique des moments des deux forces qui constituent ce couple par rapport à un point quelconque du plan du couple.
Soit un couple (F, — F) supposé situé dans le plan du tableau et soit (fig. 44) AB son bras de levier. Le
moment de ce couple est
OiL(:tF)=itABxF,
ce moment étant pris avec un signe convenable.
Prenons un point quelconque O dans le plan du couple et supposons-le d'abord en dehors des forces, menons Oir perpendiculaire à la direction des forces du couple, on a|
Oll,F = +FxOH, Oli^(F)=— FxOH'.
Ajoutant ces égalités membres à membres on a
OK, F + Olio (— F) = — F (OH' — OH) OTloF + ORj— F) = — FxHH'.
Mais — FxHH' est le moment du couple, on a donc
31teF + OKo(— F)=01l(:tF),
ce qui démontre le théorème.
Si Ton prenait le point entre les deux forces du couple, on arriverait au même résultat.
Remarque. — En rapprochant ce théorème du théorème de Varignon, on arrive à la conclusion suivante :
Lorsqà'un système de forces situées dans un même plan est équivalent à un couple unique^ la somme algébrique des moments des forces par rapport à un point quelconque du plan est constante et égale au moment du couple.
I 2. — Composition des couples
74. Composition de deux couples situés dans le même plan ou dans des plans parallèles. —
1^ Les deux couples ont même sens de rotation.
Soient deux couples, Tun (F, — F) situé dans un plan P et ayant pour bras de levier AB, l'autre (F', — F') situé dans un plan P' parallèle au plan P et ayant pour bras de levierA'B'
(fig.45).
On peut faire varier le bras de levier A'B' du couple (P, — F') de manière qu'il ait même longueur que le bras de levier du couple (F— F) (n° 70); puis on peut transporter ce
nouveau couple dans le plan P (n^ 69), de manière que les bras de levier des deux couples coïncident. Aux extrémités du bras de levier AB sont alors appliquées quatre forces. Les deux forces F et F^ appli-
BouRLET. Cours de statique, ii. ^
Fig. 4
--- —m^—jf^-.
quées en A ayant même ligne d'action et étant dirigées dans le même sens se composent en une force AR égale à leur somme F -j- F^ ; de même les deux forces — F et — F^ appliquées en B se composent en une force — R égale à F + F^.
Le deux forces R et — R, égales, parallèles, de sens contraires et non directement opposées constituent un couple qui est le couple résultant.
Evaluons le moment de ce couple résultant (R,— R). On a
RXAB={F + FJ AB = FXAB+F,XAB
Donc
DTL (:± R) = 011- (:± F) + OÏL (± F') .
Le moment du couple résultant est la somme des moments des couples composants.
'2.^ Les deux couples ont des sens de rotation contraires.
Faisons sur les deux couples les mêmes opérations que dans le cas précédent de façon qu'ils aient même
bras de levier AB.
"^ Les deux forces F et F^, de sens
-R-F-F, contraires, appliquées au point A (fîg. 46) ont une résultante R égale
^ à leur différence F — F^ et dirigée
-P^ dans le sens de la plus grande. De ^'^'^^ même, les deux forces — F et — F^
pl appliquées au point B ont une résul-
Fig. 46. tante — R égale à F — F^ et les deux
couples sont encore remplacés par
un seul couple (R, — R) qui est le couple résultant.
Evaluons aussi le moment du couple résultant: on a
RXAB = (F— F,)AB=FxAB — F.XAB
ce qui s'écrit
DK[± R) = OnL(±:F) + Dli(±: F'),
car si le moment du couple F,, — F est positif, celui de l'autre couple est négatif.
