Donc, dans tous les cas

Etant donnés deux couples situés dans un même plan OU dans des plans parallèles^ on peut les remplacer par un autre couple situé dans ce plan ou dans un plan parallèle et dont le moment est égala la somme algébrique des moments des deux couples.

Remarque. — Si, dans le second cas, les forces (fig. 46) F et Fj sont égales et de sens contraire, il y a équilibre et le couple résultant est nul.

Donc si les moments des deux couples sont égaux et de signes contraires^ le moment résultant est nul et les deux couples se font équilibre.

76. Gomposition de deux couples situés dans des plans non parallèles. — Soient deux coup]es, Tun (F, — F) situé dans un plan P et ayant pour bras de levier AB ; l'autre (F', — F') situé dans un plan P'non parallèle au plan P et ayant pour bras de levier A'B' (fig. 47)» L^s deux plans non parallèles se coupent suivant une droite xy ; prenons sur cette droite deux points M,N. Transportons le couple (F, — F) dans son plan jusqu'à ce que son bras de levier coïncide avec xy [n^ 69) et remplaçons-le par un couple (/*, — f) dont le bras de levier est MN et ayant même moment (n° 70).

De même, transportons le couple (F', — F') dans son plan jusqu'à ce que son bras de levier coïncide

avec xy et remplaçons-le par un couple (/*', — /"') dont le bras de levier est MN.

Au point M on a ainsi deux forces concourantes fy f^ qu'on compose d'après le parallélogramme des forces et qui donnent une résultante R; de même au point N, les deux forces concourantes — /"et — f^ donnent une résultante — R.

Fig. 47.

Les deux forces R et — R forment un couple ; en effet, les parallélogrammes M/*R/'' et N — f' — R — f sont symétriques par rapportau milieu de la droite MN, leurs diagonales sont donc aussi symétriques et forment un couple qui est dit couple résultant.

Donc on peut remplacer deux couples agissant dans des plans différents par un seul couple»

77. Composition d'un nombre quelconque de couples. — Soit un corps solide soumis à un nombre quelconque de couples, quatre par exemple, C^, Ca,

Composons les deux couples G^ et Q et soit R^ le couple résultant ; puis composons R^ et C„ soit Rj le couple résultant et enfin composons R, et Q, soit R le couple résultant final.

Donc étant donné un nombre quelconque de couples appliqués à un corps solide et distribués d*une façon arbitraire dans ce corps ^ on peut toujours les remplacer par un seul couple qu'on appelle le couple résultant.

Il peut arriver que le couple résultant ait Un moment nul et que, par conséquent, les deux forces qui constituent ce couple se fassent équilibre; tous les couples proposés se font alors équilibre.

78. Remarque. — Lorsque tous les couples sont dans un même plan^ le couple résultant est situé dans ce plan et son moment est égal à la somme algébrique des moments de tous les couples donnés.

En effet, soient quatre couples, G^, G.2, G,, G^ situés dans un même plan. Nommons R^, R^, R les couples que Ton obtient successivement en composant G^ et G2, R, et G3, R^ et G,. On a (n° 75) :

oflR, = OTiG, + «mG„ ;)rLRj = oiiR^ + oiiG,, orcR = oiiRj -f oiiG^.

En additionnant membre à membre ces égalités et supprimant les termes communs, il vient

orr= on g, + 01^0^ + oïL G, + oilG^.

79* Théorème* — Vaxe du couple résultant de plusieurs couples s'obtient en composant les axes de ces divers couples^ placés de façon à avoir même origine, comme si ces axes étaient des forces.

Prenons d'abord le cas de deux couples (fîgl 47) et plaçonsles, comme plus haut, de façon à avoir même bras de levier MN. Nous pouvons toujours supposer que la longueur MN a pour mesure i , puisque nous pouvons la prendre arbitrairement.

Prenons le point M pour origine commune des axes M<p, Mcp et Mp des couples (/*, — /*), (/*', — /') et du couple résultant

Comme MN = i , on a :

M9 = /*, U^' = r et Mp = R.

De plus, comme chaque axe est perpendiculaire au plan du couple correspondant, on en conclut que Mo, Mcp' et Mp s'obtiennent en faisant tourner, respectivement, M/*, M/*' et MR autour de MN d'un angle droit dans le même sens. Comme la figure M/'R/*' est un parallélogramme, la figure Mçp^p' qu'on en déduit par une rotation d'un angle droit autour de MN est encore un parallélogramme. Ce qui prouve que Mp est la résultante de Mcp et Mcp'.

Le théorème étant vrai pour deux couples, s'étend, sans difficulté, de proche en proche, à un nombre quelconque de couples.

pn^